信號(hào)與線性系統(tǒng)分析 課件(第四版)吳大正_第一章_信號(hào)與系統(tǒng)

1、本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 1.1 緒言 一、信號(hào)的概念 二、系統(tǒng)的概念 1.2 信號(hào)的描述與分類 一、信號(hào)的描述 二、信號(hào)的分類 1.3 信號(hào)的基本運(yùn)算 一、加法和乘法 二、時(shí)間變換第一章第一章 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng) 三、沖激函數(shù)的性質(zhì) 四、序列(k)和(k) 1.5 系統(tǒng)的描述 一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 二、系統(tǒng)的框圖表示 1.6 LTI系統(tǒng)分析方法概述1.1 緒論 一、信號(hào)的概念 1. 消息 人們常常把來自外界的各種報(bào)道統(tǒng)稱為消息。 （感覺、思想、意見等） 2. 信息 通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息。 本課程中對(duì)“信息”和“消息”兩詞不加嚴(yán)格區(qū)分。 信號(hào)是信息的載體。通過信號(hào)傳遞信息。 信號(hào)我

2、們并不陌生，如鈴聲聲信號(hào)，表示該上課了； 十字路口的紅綠燈光信號(hào)，指揮交通； 電視機(jī)天線接受的電視信息電信號(hào)； 廣告牌上的文字、圖象信號(hào)等等。 為了有效地傳播和利用信息，常常需要將信息轉(zhuǎn)換成便于傳輸和處理的信號(hào)。3. 信號(hào) 一般而言，系統(tǒng)(system)是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。 如手機(jī)、電視機(jī)、通信網(wǎng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成信號(hào)。 信號(hào)的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起。 信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。 系統(tǒng)的基本作用是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行加工和處理，將其轉(zhuǎn)換為所需要的輸出信號(hào)。二、

3、系統(tǒng)的概念 一、信號(hào)的描述一、信號(hào)的描述 信號(hào)是信息的一種物理體現(xiàn)。它一般是隨時(shí)間或位置變化的物理量。 信號(hào)按物理屬性分：電信號(hào)和非電信號(hào)。它們可以相互轉(zhuǎn)換。電信號(hào)容易產(chǎn)生，便于控制，易于處理。 本課程討論電信號(hào)本課程討論電信號(hào)-簡稱簡稱“信號(hào)信號(hào)”。 電信號(hào)的基本形式：隨時(shí)間變化的電壓或電流。 描述信號(hào)的常用方法（1）表示為時(shí)間的函數(shù) （2）信號(hào)的圖形表示-波形 “信號(hào)”與“函數(shù)”兩詞常相互通用。1.2 信號(hào)的描述和分類二、信號(hào)的分類 1. 確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào) 可以用確定時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，稱為確定信號(hào)或規(guī)則信號(hào)。如正弦信號(hào)。 若信號(hào)不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時(shí)刻的取值都具有不確定性，只

4、可能知道它的統(tǒng)計(jì)特性，如在某時(shí)刻取某一數(shù)值的概率，這類信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)或不確定信號(hào)。 電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號(hào)就是兩種典型的隨機(jī)信號(hào)。 研究確定信號(hào)是研究隨機(jī)信號(hào)的基礎(chǔ)。 本課程只討論確定信號(hào)。確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)波形確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)波形 在連續(xù)的時(shí)間范圍內(nèi)(-t）有定義的信號(hào)稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡稱連續(xù)信號(hào)。 這里的“連續(xù)”指函數(shù)的定義域時(shí)間是連續(xù)的，但可含間斷點(diǎn)，至于值域可連續(xù)也可不連續(xù)。 時(shí)間和幅值都為連續(xù)的信號(hào)稱為模擬信號(hào)。2. 連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)根據(jù)信號(hào)定義域的特點(diǎn)可分為連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)。離散時(shí)間信號(hào) 僅在一些離散的瞬間才有定義離散的瞬間才有定義的信號(hào)稱為離散時(shí)間

5、信號(hào)，簡稱離散信號(hào)。若幅值也離散就為數(shù)字信號(hào)。 這里的“離散”指信號(hào)的定義域時(shí)間是離散的，它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余無定義。 如右圖的f(t)僅在一些離散時(shí)刻tk(k = 0,1,2,)才有定義，其余時(shí)間無定義。相鄰離散點(diǎn)的間隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等間隔T，離散信號(hào)可表示為f(kT)，簡寫為f(k)，這種等間隔的離散信號(hào)等間隔的離散信號(hào)也常稱為序列。其中k稱為序號(hào)。 上述離散信號(hào)可簡畫為 用表達(dá)式可寫為或?qū)憺閒(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，通常將對(duì)應(yīng)某序號(hào)通常將對(duì)應(yīng)某序號(hào)m的序列值稱為第的序列值稱為第m個(gè)樣點(diǎn)的個(gè)樣點(diǎn)的“樣樣值值”。3.

6、 周期信號(hào)和非周期信號(hào) 周期信號(hào)(period signal)是定義在(-，)區(qū)間，每隔一定時(shí)間T (或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。 連續(xù)周期信號(hào)f(t)滿足f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2, 離散周期信號(hào)f(k)滿足f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2, 滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號(hào)的周期。 不具有周期性的信號(hào)稱為非周期信號(hào)。 解：兩個(gè)周期信號(hào)x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號(hào)x(t)+y(t)仍然是周期信號(hào)，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。 （1）sin2t是周期信號(hào)，其角頻率和周期

7、分別為 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s 由于T1/T2= 3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號(hào)，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2。 （2） cos2t 和sint的周期分別為T1=s， T2= 2 s，由于T1/T2為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號(hào)。例1 判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint 解f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m =0

8、,1,2,例2 判斷正弦序列f(k) = sin(k)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。式中稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位：rad。由上式可見：當(dāng)2/ 為整數(shù)時(shí)，正弦序列周期N = 2/ 。當(dāng)2/ 為有理數(shù)時(shí)，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N= M(2/ )，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。當(dāng)2/ 為無理數(shù)時(shí)，正弦序列為非周期序列。)(sin)2(sinmNkmk 解（1） sin(2k) 的數(shù)字角頻率為1 = 2 rad；由于2/ 1 =為無理數(shù)，故f2(k) = sin(2k)為非周期序列。 （2） sin(3k/4) 和cos(0.5k)的數(shù)字角頻率分別為1 = 3/4 rad， 2 =

9、0.5rad 由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4為有理數(shù)，故它們的周期分別為N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。 由上面幾例可看出：連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)， 而正弦序列不一定是周期序列。兩連續(xù)周期信號(hào)之兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào)，和不一定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期而兩周期序列之和一定是周期序列。序列。例3 判斷下列序列是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1） f2(k) = sin(2k) （2）f1(k) = sin(3k/4) + cos(0.5k)4能量信號(hào)與功率信號(hào) 將信號(hào)f (t)施加于1電阻上

10、，它所消耗的瞬時(shí)功 率為| f (t) |2，在區(qū)間( , )的能量和平均功率定義為 （1）信號(hào)的能量 （2）信號(hào)的功率若信號(hào)f (t)的能量有界，即E ,則稱其為能量有限信號(hào)，簡稱能量信號(hào)。此時(shí)P = 0若信號(hào)f (t)的功率有界，即P ,則稱其為功率有限信號(hào)，簡稱功率信號(hào)。此時(shí)E = 相應(yīng)地，對(duì)于離散信號(hào)，也有能量信號(hào)、功率信號(hào)之分。時(shí)限信號(hào)時(shí)限信號(hào)(僅在有限時(shí)間區(qū)間不為零的信號(hào))為能量信號(hào); 周期信號(hào)屬于功率信號(hào)，而非周期信號(hào)可能是能量信號(hào)，也可能是功率信號(hào)。有些信號(hào)既不是屬于能量信號(hào)也不屬于功率信號(hào)，如 f (t) = e t。 從數(shù)學(xué)表達(dá)式來看，信號(hào)可以表示為一個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)，稱

11、為一維或多維函數(shù)。 語音信號(hào)可表示為聲壓隨時(shí)間變化的函數(shù)，這是一維信號(hào)。 而一張黑白圖像每個(gè)點(diǎn)(像素)具有不同的光強(qiáng)度，任一點(diǎn)又是二維平面坐標(biāo)中兩個(gè)變量的函數(shù)，這是二維信號(hào)。還有更多維變量的函數(shù)的信號(hào)。 本課程只研究一維信號(hào)，且自變量多為時(shí)間。5一維信號(hào)與多維信號(hào)6因果信號(hào)與反因果信號(hào) 常將t = 0時(shí)接入系統(tǒng)的信號(hào)f(t) 即在t 0，則將f ()右移；否則左移。 如平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合 已知f(t)如下圖所示，請(qǐng)畫出f(2-t)法一：先平移f (t) f (t +2), 再反轉(zhuǎn)f (t +2) f ( t +2) 法二：先反轉(zhuǎn) f (t) f ( t)再平移f ( t) f ( t +2)=

12、f (t 2)通信系統(tǒng)通信系統(tǒng)為傳送消息而裝設(shè)的全套技術(shù)設(shè)備（包括傳輸信道）。為傳送消息而裝設(shè)的全套技術(shù)設(shè)備（包括傳輸信道）。發(fā)送發(fā)送設(shè)備設(shè)備信息源信息源發(fā)送端發(fā)送端接收端接收端消息消息信號(hào)信號(hào)信號(hào)信號(hào)消息消息信宿信宿信道信道接收接收設(shè)備設(shè)備噪聲源噪聲源3. 尺度變換（橫坐標(biāo)展縮） 將f (t) f (a t) ， 稱為對(duì)信號(hào)f (t)的尺度變換。 若a 1 ，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0 a 1 ，則展開。如 信號(hào)的尺度變換在實(shí)際生活中的例子對(duì)于離散信號(hào)，對(duì)于離散信號(hào)，由于由于f (a k) 僅在為僅在為a k 為整數(shù)時(shí)才有意為整數(shù)時(shí)才有意義，義， 進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此一進(jìn)行

13、尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此一般不作波形的尺度變換。般不作波形的尺度變換。見見p10 三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意始終對(duì)時(shí)間t 進(jìn)行。 例：已知例：已知f (t)，畫出，畫出f ( 4 2t)。平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù) 階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)，稱為奇異函數(shù)。研究奇異函數(shù)的性質(zhì)要用到廣義函數(shù)（或分配函數(shù)）的理論。 這節(jié)課首先直觀地引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)這節(jié)課首先直觀地引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。 一、階躍函數(shù)一、階躍函數(shù) 下面采用求函數(shù)序列極

14、限 的方法定義階躍函數(shù)。的方法定義階躍函數(shù)。 選定一個(gè)函數(shù)序列n(t)如圖所示。階躍函數(shù)性質(zhì)：階躍函數(shù)性質(zhì)： （1）可以方便地表示某些信號(hào) r(t)=t (t),斜升函數(shù)斜升函數(shù)f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2)（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間 問：如何用階躍函數(shù)表示如下信號(hào)問：如何用階躍函數(shù)表示如下信號(hào)二、沖激函數(shù) 單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對(duì)強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義（由狄拉克最早提出）也可采用下列直觀定義：對(duì)n(t)求導(dǎo)求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖pn(t) 。高度無窮大，寬度無窮小，面積為高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的

15、對(duì)稱窄脈沖。的對(duì)稱窄脈沖。沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在。如f(t) = 2(t +1)-2(t -1) f(t) = 2(t +1)-2(t -1)三、沖激函數(shù)的性質(zhì)（1） 1. 與普通函數(shù)f(t) 的乘積取樣性質(zhì) 若f(t)在t = 0 、t = a處存在，則？沖激偶信號(hào)沖激偶信號(hào) 對(duì)沖激信號(hào)(t)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得到一個(gè)新的奇異信號(hào)，即沖激偶信號(hào)，其表示式為 ( )( )dttdt0t(t)見書見書p14門函數(shù)門函數(shù) 下圖所示矩形脈沖g(t)常稱為門函數(shù)。g(t)1-/2-/20 t特點(diǎn)特點(diǎn):寬度為，幅度為1。2|, 02|, 1)(tttg利用移位階躍函數(shù)

16、，門函數(shù)可表示為：利用移位階躍函數(shù)，門函數(shù)可表示為：)2()2()(tttg二、沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義二、沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義 廣義函數(shù)廣義函數(shù) 選擇一類性能良好的函數(shù)(t)(檢驗(yàn)函數(shù))，一個(gè)廣義函數(shù)g(t)作用在(t)，得到一個(gè)數(shù)值Ng(t), (t)。 廣義函數(shù)廣義函數(shù)g(t)可以寫成可以寫成)(),()()(ttgNdtttg沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義)0()()(dttt)()()(11tdtttt移位移位沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(t) (t) 也稱沖激偶 (t)的定義：)0( )()( fdttft ?)( dtt)()()(11tdtttt移位移位0的定義：例題例題?)(

17、)(tn(t) 的尺度變換？復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù) 實(shí)際中有時(shí)會(huì)遇到形如f(t)的沖激函數(shù)，其中f(t)是普通函數(shù)。并且f(t) = 0有n個(gè)互不互不相等的實(shí)根相等的實(shí)根ti ( i=1，2，n)；)(.)( 21)()()(2iiiiiiitttftttftttftftf見書見書p22f(t)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)可以展開成泰勒級(jí)數(shù) 若若f(t)=0的的n個(gè)根個(gè)根t=ti都是單根，即在都是單根，即在t=ti處處f(ti) 0，則則在在t=ti附近附近有：有：)(| )( |1)( )(iiiitttftttftf)(| )( |1)(1iinitttftf是位于各是位于各ti處，處，n個(gè)沖激函數(shù)

18、構(gòu)成的沖擊函數(shù)序列。個(gè)沖激函數(shù)構(gòu)成的沖擊函數(shù)序列。例：若f(t)=4t2-1,則有)21(41)21(41 142ttt1.4 1.4 系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的描述 系統(tǒng)分類：系統(tǒng)分類： 按數(shù)學(xué)模型的不同,系統(tǒng)可分為:即時(shí)系統(tǒng)即時(shí)系統(tǒng)與動(dòng)態(tài)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng);連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng);線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng);時(shí)變系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變時(shí)不變( (非時(shí)變非時(shí)變) )系統(tǒng)系統(tǒng)等等. 1 1、即時(shí)系統(tǒng)、即時(shí)系統(tǒng)指的是指的是在任意時(shí)刻的響應(yīng)(輸出信號(hào))僅決定與該時(shí)刻的激勵(lì)(輸入信號(hào)),而與它過去的歷史狀況無關(guān)的系統(tǒng)。 2、如果系統(tǒng)在任意時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)而且與它過去的歷史狀況有關(guān),就稱之為動(dòng)態(tài)

19、系統(tǒng)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的框圖表示系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的描述3、當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)是連續(xù)信號(hào)時(shí),若響應(yīng)也是連續(xù)信號(hào),則稱其為連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)。4、當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)是離散信號(hào)時(shí),若其響應(yīng)也是離散信號(hào),則稱其為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)。5、連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)常組合使用,可稱為混合混合系統(tǒng)系統(tǒng)一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型: :系統(tǒng)基本特性的數(shù)學(xué)抽象系統(tǒng)基本特性的數(shù)學(xué)抽象, ,是以是以數(shù)學(xué)表達(dá)式來表征系統(tǒng)的特性數(shù)學(xué)表達(dá)式來表征系統(tǒng)的特性. . 描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程微分方程, 而描述離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。差分方程。系統(tǒng)分析的基本思想：系統(tǒng)分析的基本思想：1. 根據(jù)工程實(shí)際

20、應(yīng)用，對(duì)系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)工程實(shí)際應(yīng)用，對(duì)系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型。通常表現(xiàn)為通常表現(xiàn)為描述描述輸入輸出關(guān)系的方程。輸入輸出關(guān)系的方程。2. 建立求解這些數(shù)學(xué)模型的方法。建立求解這些數(shù)學(xué)模型的方法。)()()()(tutututuscRL)()(tuCtic)()()(tuRCtRitucR)()()(tuLCtiLtucL )(1)(1)()(tuLCtuLCtuLRtusccc 例：寫出右圖示電路的微分方程。例：寫出右圖示電路的微分方程。Us（t）LR+ - +-Uc（t）C解：根據(jù)解：根據(jù)KVL有有利用以上各元件端電壓與電流的關(guān)系可得：利用以上各元件端電壓與電流的關(guān)系可得：二、系統(tǒng)的框圖表示

21、二、系統(tǒng)的框圖表示 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型所包括基本運(yùn)算： 相乘、微分、相加運(yùn)算。 將這些基本運(yùn)算用一些理想部件符號(hào)表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運(yùn)算關(guān)系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡稱框圖。積分器的抗干擾特性比積分器的抗干擾特性比微分器的好。微分器的好。1 1、表示系統(tǒng)功能的常用基本單元有、表示系統(tǒng)功能的常用基本單元有: :積分器：積分器：見書見書p25系統(tǒng)模擬： 實(shí)際系統(tǒng)實(shí)際系統(tǒng)方程方程模擬框圖模擬框圖 實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì) 例1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，畫框圖。 解：將方程寫為y”(t) = f(t) ay(t) by(t)

22、例二（見書例二（見書p25）已知某連續(xù)系統(tǒng)如下圖所示，寫）已知某連續(xù)系統(tǒng)如下圖所示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。出該系統(tǒng)的微分方程。 y(t)+ f(t)- x(t) x(t) x(t) a0 b0 b2 b1解：解：圖中有兩個(gè)積分器，因而系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。設(shè)右端積分器的輸出為x(t)，那么各積分器的輸入分別是 x(t),x(t)。左方加法器的輸出為)()()( )( 01tftxatxatx 為了得到系統(tǒng)的微分方程，要消去為了得到系統(tǒng)的微分方程，要消去x(t)及其導(dǎo)數(shù)。及其導(dǎo)數(shù)。右方加法器的輸出為右方加法器的輸出為)()( )( )(012txbtxbtxbty)() () (0001020 xab

23、xabxabya)() () (1011121xabxabxabya )( ) ( ) ( 012xbxbxby以上三式相加并整理得：以上三式相加并整理得：)()( )( )()( )( 01201tfbtfbtfbtyatyaty二、離散系統(tǒng) 設(shè)第k個(gè)月初的款數(shù)為y(k),這個(gè)月初的存款為f(k),上個(gè)月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為y(k-1), 則y(k)=y(k-1)+ y(k-1)+f(k) 即y(k)-(1+)y(k-1) = f(k) 若設(shè)開始存款月為k=0，則有y(0)= f(0)。 上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程差分方程。 所謂差分方程是指由未知輸出序列

24、輸出序列項(xiàng)與輸入序列輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程。未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。1. 解析描述建立差分方程例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為元/元，求第k個(gè)月初存折上的款數(shù)。 由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。 2. 差分方程的模擬框圖 基本部件單元有： 數(shù)乘器，加法器，遲延單元（移位器）例：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。例：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。 解：設(shè)輔助變量x(k)如圖x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2) 即x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1

25、) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) 方程框圖用變換域方法和梅森公式簡單，后面討論。根據(jù)框圖求解微分或差分方程根據(jù)框圖求解微分或差分方程的一般步驟：的一般步驟：(1)選中間變量x()。對(duì)于連續(xù)系統(tǒng),設(shè)其最右端積分器的輸出x(t);對(duì)于離散系統(tǒng)，設(shè)其最左端延遲單元的輸入為x(k)；（2）寫出各加法器輸出信號(hào)的方程；（3）消去中間變量x()二、離散系統(tǒng) 設(shè)第k個(gè)月初的款數(shù)為y(k),這個(gè)月初的存款為f(k),上個(gè)月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為y(k-1), 則y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)

26、即y(k)-(1+)y(k-1) = f(k) 若設(shè)開始存款月為k=0，則有y(0)= f(0)。 上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程差分方程。 差分方程差分方程是指由未知輸出序列項(xiàng)與輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程。未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程一階差分方程。1. 解析描述建立差分方程例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為元/月，求第k個(gè)月初存折上的款數(shù)。 由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。 2. 差分方程的模擬框圖 基本部件單元有： 數(shù)乘器，加法器，遲延單元（移位器)例：已知離散系統(tǒng)框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。例

27、：已知離散系統(tǒng)框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。 解：設(shè)輔助變量x(k)如圖x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2)， 即x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得2y(k-1)=2*4x (k-2) +2*5x(k-3) 3y(k-2)=3*4x(k-3)+3*5x(k-4) y(k)+ 2y(k-1)+ 3y(k-2), 得得:y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) 方程方程框圖用變換域方法和梅森公式比較簡單，后面討論?？驁D用變換域方法和梅森公式比較簡單，

28、后面討論。 解：解：設(shè)輔助變量x(t)如圖所示。 由左端加法器得例：已知框圖如下圖所示，寫出系統(tǒng)的微分方程。例：已知框圖如下圖所示，寫出系統(tǒng)的微分方程。 x(t) x(t) x(t) y(t)+ f(t)- 3 2 4 5)()(3)( 2)( tftxtxtx) 1 ()()(3)( 2)( tftxtxtx 由（2）式可知，響應(yīng)y(t)是x(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合，因而以y(t)為未知變量的微分方程左端的系數(shù)應(yīng)與式（1）相同。 由（2）式得 由右端加法器得由右端加法器得)2()( 4)(5)(txtxty)( 43)(53)(3)( 42)( 52)( 2)( 4)( 5)( txtx

29、tytxtxtytxtxty)(3)( 2)( 4)(3)( 2)( 5)(3)( 2)( txtxtxtxtxtxtytyty)( 4)(5tftf根據(jù)框圖求系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟：根據(jù)框圖求系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟：(1)選中間變量x()。 對(duì)于連續(xù)系統(tǒng),設(shè)其最右端積分器的輸出x(t); 對(duì)于離散系統(tǒng)，設(shè)其最左端延遲單元的輸入為x(k)；（2）寫出各加法器輸出信號(hào)的方程；（3）消去中間變量x()1.6 系統(tǒng)的特性和分析方法系統(tǒng)的特性和分析方法 連續(xù)的或離散的系統(tǒng)可分為：連續(xù)的或離散的系統(tǒng)可分為： 1、線性的和非線性的； 2、時(shí)變的和時(shí)不變（非時(shí)變）的； 3、因果的和非因果的； 4、穩(wěn)定的和非

30、穩(wěn)定的。 本書主要討論線性時(shí)不變系統(tǒng)本書主要討論線性時(shí)不變系統(tǒng) （1）線性性質(zhì) 系統(tǒng)的激勵(lì)f ()所引起的響應(yīng)y() 可簡記為y() = T f ()。 線性性質(zhì)包括兩方面：齊次性和可加性。 若系統(tǒng)的激勵(lì)f ()增大a倍時(shí)，其響應(yīng)y()也增大a倍，即T af () = a T f ()則稱該系統(tǒng)是齊次的。 若系統(tǒng)對(duì)于激勵(lì)f1()與f2()之和的響應(yīng)等于各個(gè)激勵(lì)所引起的響應(yīng)之和，即T f1()+ f2() = T f1()+T f2() 則稱該系統(tǒng)是可加的。線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)：滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)。 若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是線性的，即 Ta f1() + bf2() = a T f

31、1() + bT f2() ？（2）動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì) f () 有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)有關(guān)。初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵(lì)”。完全響應(yīng)可寫為y () = T f () , x(0) 當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)： 可分解性可分解性：y () = yzs() + yzi() = T f () , 0+ T 0，x(0) 零狀態(tài)線性零狀態(tài)線性： Ta f () , 0 = a T f () , 0 (齊次性) Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0 ( (可加性可加性) ) 或或 Taf1(t) +

32、bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0零狀態(tài)響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)為yzs() = T f () , 0零輸入響應(yīng)為零輸入響應(yīng)為yzi() = T 0，x(0) T0,ax(0)= aT 0,x(0) (齊次性) T0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0) ( (可加性可加性) ) 或或 T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)零輸入線性：零輸入線性：注：三個(gè)條件缺一不可注：三個(gè)條件缺一不可例題例題 解：（1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) +

33、 1 顯然， y (t) yzs(t) yzi(t)不滿足可分解性，可分解性，故為非線性。 （2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0)y (t) = yzs(t) + yzi(t)滿足可分解性； 由于Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yzs(t)不滿足零狀態(tài)線性。 故為非線性系統(tǒng)。例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1（2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)|（3） y (t) = x2(0) + 2 f (t) （3） yzs(t) =

34、2 f (t) , yzi(t) = x2(0) ，顯然滿足可分解性； 由于T 0,a x(0) =a x(0)2 a yzi(t)不滿足零輸入線性。 故為非線性系統(tǒng)。（3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 滿足可分解性； Ta f1(t)+ b f2(t) , 0例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，滿足零狀態(tài)線性滿足零狀態(tài)線性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-t x1(0)+ be-t x2(0)= aT0,x1(0)

35、+bT0,x2(0), 滿足零輸入線性滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng) 滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。 （1）時(shí)不變性質(zhì) 若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時(shí)間，其零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時(shí)間， 即若T0，f(t) = yzs(t) 則有 T0，f(t - td) = yzs(t - td) 系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為 時(shí)不變性或移位不變性） 解(1)令g (k) = f(k kd) T0，g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 ) 而y (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 顯然顯然T0，f(k kd) = y (k kd) 故該系統(tǒng)是時(shí)不變故該系統(tǒng)是時(shí)不變的的. . (2) 令g (t) = f(t