涂色問(wèn)題的解題思路2

1、.解決排列組合中涂色問(wèn)題的常見(jiàn)方法及策略與涂色問(wèn)題有關(guān)的試題新穎有趣,其中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想。解決涂色問(wèn)題方法技巧性強(qiáng)且靈活多變，故這類問(wèn)題的利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、分析問(wèn)題與觀察問(wèn)題的能力，有利于開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力。本文擬總結(jié)涂色問(wèn)題的常見(jiàn)類型及求解方法。一、區(qū)域涂色問(wèn)題1、 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，對(duì)各個(gè)區(qū)域分步涂色，這是處理染色問(wèn)題的基本方法。例 1、 用 5 種不同的顏色給圖中標(biāo)、的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？分析：先給號(hào)區(qū)域涂色有5 種方法，再給號(hào)涂色有4 種方法，接著給號(hào)涂色方法有3 種，由于號(hào)與、不相鄰，因此號(hào)有4 種涂法，根據(jù)分步計(jì)

2、數(shù)原理，不同的涂色方法有543 42402、 根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計(jì)算出各種出各種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同的涂色方法種數(shù)。例 2、（ 2003 江蘇卷）四種不同的顏色涂在如圖所示的分析：依題意只能選用 4 種顏色，要分四類：（ 1）與同色、與同色，則有A44；6 個(gè)區(qū)域，且相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色。（ 2）與同色、與同色，則有A44 ；（ 3）與同色、與同色，則有A44 ；（ 4）與同色、與同色，則有A44；（ 5）與同色、與同色，則有A44；所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5 A44=120例 3、（ 2003 年全國(guó)高考題）如圖所示，一個(gè)地區(qū)分為5 個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，

3、要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4 種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？分析：依題意至少要用3 種顏色1)當(dāng)先用三種顏色時(shí)，區(qū)域2 與 4 必須同色，22)區(qū)域 3 與 5 必須同色，故有A43 種；3153)當(dāng)用四種顏色時(shí)，若區(qū)域2與 4同色，44)則區(qū)域3 與 5 不同色，有 A44種；若區(qū)域3 與 5 同色，則區(qū)域2 與 4 不同色，有 A44種，故用四種顏色時(shí)共有2 A44 種。由加法原理可知滿足題意的著色方法共有A43+2 A44=24+2 24=723、 根據(jù)某兩個(gè)不相鄰區(qū)域是否同色分類討論，從某兩個(gè)不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，分別計(jì)算出兩種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同

4、涂色方法總數(shù)。例 4 用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個(gè)區(qū)域內(nèi)，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？分析：可把問(wèn)題分為三類：21.34.（ 1） 四格涂不同的顏色，方法種數(shù)為A54 ；（ 2） 有且僅兩個(gè)區(qū)域相同的顏色，即只有一組對(duì)角小方格涂相同的顏色，涂法種數(shù)為2C51 A42 ；5) 兩組對(duì)角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數(shù)為A52，因此，所求的涂法種數(shù)為 A522C51 A42A522604、 根據(jù)相間區(qū)使用顏色的種類分類例 5 如圖，6 個(gè)扇形區(qū)域A 、 B 、 C、 D、 E、 F，現(xiàn)給這6 個(gè)區(qū)域著色，要求同一區(qū)

5、域涂同一種顏色，相鄰的兩個(gè)區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4 種不同的顏色可A1 解（ 1）當(dāng)相間區(qū)域 A 、C、E 著同一種顏色時(shí)，CBD有 4 種著色方法，此時(shí)，B 、 D、 F 各有 3 種著色方法，A此時(shí)， B 、 D、 F 各有 3 種著色方法故有 43 3 3108E種方法。F（ 2）當(dāng)相間區(qū)域 A 、C、E 著色兩不同的顏色時(shí)，有C32 A42種著色方法，此時(shí) B 、D 、F 有 3 2 2 種著色方法，故共有C32 A423 22432種著色方法。（ 3）當(dāng)相間區(qū)域 A 、 C、E 著三種不同的顏色時(shí)有A43 種著色方法，此時(shí)B、D、F 各有 2 種著色方法。此時(shí)共有 A432 2

6、2 192 種方法。故總計(jì)有 108+432+192=732 種方法。說(shuō)明：關(guān)于扇形區(qū)域區(qū)域涂色問(wèn)題還可以用數(shù)列中的遞推公來(lái)解決。如：如圖，把一個(gè)圓分成n(n2) 個(gè)扇形，每個(gè)扇形用紅、白、藍(lán)、黑四色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？A1 A2解：設(shè)分成 n 個(gè)扇形時(shí)染色方法為an 種A3當(dāng) n=2 時(shí) A1 、 A2 有 A42AnA3（ 1）=12 種，即 a2 =12LA4（ 2）當(dāng)分成 n 個(gè)扇形，如圖，A1 與 A2 不同色， A2 與 A3不同色， L ， An 1與 An 不同色，共有 4 3n 1 種染色方法，但由于 An 與 A1 鄰，所以應(yīng)排除 An 與 A1

7、同色的情形； An 與 A1同色時(shí)，可把 An 、 A1 看成一個(gè)扇形，與前 n2 個(gè)扇形加在一起為 n1個(gè)扇形，此時(shí)有 an 1 種染色法，故有如下遞推關(guān)系：an 43n 1an 1anan 14 3n 1( an 24 3n 2 ) 4 3n 1.an 24 3n 24 3n 1an 3 4 3n 34 3n 24 3n 1L4 3n 1 3n 2 L( 1)n 3( 1)n33n二、點(diǎn)的涂色問(wèn)題方法有：（ 1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論， （ 2）根據(jù)相對(duì)頂點(diǎn)是否同色分類討論， （ 3）將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問(wèn)題。例 6、將一個(gè)四棱錐SABCD 的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使

8、同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5 種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法一：滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。（ 1）若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn)S，再?gòu)挠嘞碌乃姆N顏色中任選兩種涂A 、 B、 C、 D 四點(diǎn)，此時(shí)只能A 與 C、 B 與 D 分別同色，故有C51 A4260 種方法。（ 2）若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn)S，再?gòu)挠嘞碌乃姆N顏色中任選兩種染A 與 B ，由于 A、 B 顏色可以交換，故有 A42種染法；再?gòu)挠嘞碌膬煞N顏色中任選一種染 D 或 C，而 D 與 C，而 D 與 C 中另一個(gè)只需染與其相對(duì)頂點(diǎn)同色即可，故有C

9、51 A42C21C21240 種方法。（ 3）若恰用五種顏色染色，有A55120種染色法綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420 種。解法二：設(shè)想染色按 S A B C D 的順序進(jìn)行，對(duì)S、A、B 染色，有5 43 60 種染色方法。由于 C 點(diǎn)的顏色可能與 A 同色或不同色，這影響到D 點(diǎn)顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：C 與 A 同色時(shí)（此時(shí) C 對(duì)顏色的選取方法唯一） ，D 應(yīng)與 A（ C）、 S 不同色，有3種選擇； C與A 不同色時(shí)， C 有 2 種選擇的顏色， D 也有 2 種顏色可供選擇，從而對(duì)C、D 染色有 1 322 7 種染色方法。由乘法原理，總的染色

10、方法是 60 7 420解法三：可把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問(wèn)題：如圖，對(duì)這五個(gè)區(qū)域用5 種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？D解答略。AS三、線段涂色問(wèn)題C對(duì)線段涂色問(wèn)題，要注意對(duì)各條線段依次涂色，主要方法有：B1)根據(jù)共用了多少顏色分類討論2)根據(jù)相對(duì)線段是否同色分類討論。例 7、用紅、黃、藍(lán)、白四種顏色涂矩形ABCD 的四條邊，每條邊只涂一種顏色，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解法一：（ 1）使用四顏色共有A44 種（ 2）使用三種顏色涂色，則必須將一組對(duì)邊染成同色，故有C14C21 A32 種，（ 3）使用二種顏色時(shí)，則兩組對(duì)邊必須分別同

11、色，有A42 種因此，所求的染色方法數(shù)為A44C41C21 A32A4284 種.解法二：涂色按AB BC CDDA 的順序進(jìn)行，對(duì)AB 、 BC 涂色有 4312 種涂色方法。由于 CD 的顏色可能與AB 同色或不同色，這影響到DA 顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：當(dāng) CD 與 AB 同色時(shí)，這時(shí)CD 對(duì)顏色的選取方法唯一，則DA 有 3 種顏色可供選擇CD 與AB 不同色時(shí)， CD 有兩種可供選擇的顏色，DA 也有兩種可供選擇的顏色，從而對(duì)CD 、 DA 涂色有1 3227種涂色方法。由乘法原理，總的涂色方法數(shù)為12784種例 8、用六種顏色給正四面體ABCD 的每條棱染色，要求每條棱只染一

12、種顏色且共頂點(diǎn)的棱涂不同的顏色，問(wèn)有多少種不同的涂色方法？解：（ 1）若恰用三種顏色涂色，則每組對(duì)棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有 A63 種方法。（ 2）若恰用四種顏色涂色，則三組對(duì)棱中有二組對(duì)棱的組內(nèi)對(duì)棱涂同色，但組與組之間不同色，故有C63 A64 種方法。（3）若恰用五種顏色涂色，則三組對(duì)棱中有一組對(duì)棱涂同一種顏色，故有C31 A65 種方法。（4）若恰用六種顏色涂色，則有A66種不同的方法。綜上，滿足題意的總的染色方法數(shù)為A63C32 A64C31 A65A664080種。四、面涂色問(wèn)題例 9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個(gè)正方體的 6 個(gè)面涂色，每?jī)蓚€(gè)具有

13、公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？分析：顯然，至少需要3 三種顏色，由于有多種不同情況，仍應(yīng)考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進(jìn)行討論解：根據(jù)共用多少種不同的顏色分類討論（ 1）用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5 種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余 4 種顏色中的某一種所涂面為左側(cè)面，則其余 3 個(gè)面有 3！種涂色方案，根據(jù)乘法原理n153!30（ 2）共用五種顏色，選定五種顏色有C 656種方法，必有兩面同色（必為相對(duì)面），確定為上、下底面，其顏色可有5 種選擇， 再確定一種顏色為左側(cè)面，此時(shí)的方法數(shù)取決于右側(cè)面的顏色，有3 種選擇（前后面可通過(guò)翻轉(zhuǎn)交換）n2C 655390(3)共用四種顏色,仿上分析可得n3C 64 C 4290(4)共用三種顏色, n4C 6320例 10、四棱錐 PABCD ，用 4 種不同的顏色涂在四棱錐的各個(gè)面上，要求相鄰不同色，有