!壓桿穩(wěn)定性要點

1、15-1兩端為球錢的壓桿，當(dāng)它的橫截面為圖示各種不同形狀時，試問桿件會在哪個平面 內(nèi)失去穩(wěn)定(即在失穩(wěn)時，桿的截面繞哪一根軸轉(zhuǎn)動)？題15-1圖解：(a),(b),(e)任意方向轉(zhuǎn)動，(c),(d),(f)繞圖示Z軸轉(zhuǎn)動。15-2圖示各圓截面壓桿，橫截面積及材料都相同，直徑 d= 1.6cm,桿材A3鋼的彈性模 量E=200MPa ,各桿長度及支承形式如圖示，試求其中最大的與最小的臨界力之值。解：(a)柔度：丸=230=1500.4相當(dāng)長度：/ =2 0.3 -0.6m(b)柔度：九=-=125 0.4相當(dāng)長度： T =1 0.5 =0.5m(c)柔度： 九=0.7父70 =122.50.4相

2、當(dāng)長度： T =0.7 0.7 = 0.49m0.5 90(d)柔度：k=112.50.4相當(dāng)長度：l =0.5 0.9 -0.45m1 45(e)柔度：九=112.50.4相當(dāng)長度：l =1 0.45 = 0.45m2 .由E=200Gpa及各柔度值看出：各壓桿的臨界力可用歐拉公式計算。即：Pcr =與 各壓l桿的EJ均相同，故相當(dāng)長度最大的壓桿(a)臨界力最小，壓桿(d)與(e)的臨界力最大，分別為：22 200 1091.64 10”D EJ64cr 一 7 2 一0.62-17.64 103N二2EJ2二2 2 00 1 09 1.64 10-6420.452= 31.30 103N1

3、5-3 某種鋼材 Qp=230MPa, Qs=274MPa, E=200GPa,直線公式 仃cr =338 1.22， 試計算該材料壓桿的 九p及Ks值，并繪制0 W九W150范圍內(nèi)的臨界應(yīng)力總圖。解:200 109 230 106= 92.6仃ej(MPa )CT =Jejz% =338-1.22九 ejn2E ej -_ 2九27427422521613787九52.552.592.6100120150= 52.5338 -2741.2215-4 6120型柴油機挺桿為 45鋼制成的空心圓截面桿，其外徑和內(nèi)徑分別為，12mm和10mm,桿長為383mm,兩端為較支座，材料的 E = 210

4、GPa, 0 P =288MPa,試求此挺桿的臨界 力PCr。若實際作用于挺桿的最大壓縮力P=2.33kN ,規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù) nW=25。試校核此挺桿的穩(wěn)定性。題15-含困解：二 p了,p E 二二210 10384.33288J =64D4-d4JiA二 _ 44:D -d64224D2-d22 = 1、122 102 = 3.905mm41 383 98 3.905d =84.83 p該壓桿屬大柔度桿Pcr=_ 2 2 1二 EJ 二 El_A =二2 210 1099827：. .22-0.0120.01_ 3= 7.46 103N(2) nz#Pcr7.462.33= 3.2 . n

5、w該桿的穩(wěn)定性足夠。15-5設(shè)圖示千斤頂?shù)淖畲蟪休d壓力為P=150kN,螺桿內(nèi)徑d = 52mm , l =50cm .材料為A3鋼，E=200GPa。穩(wěn)定安全系數(shù)規(guī)定為 nW =3。試校核其穩(wěn)定性。題15-5圖 飄15-6圖解：千斤頂螺桿簡化為一端固定一端自由的壓桿，故N = 2。一l 2 500柔度應(yīng)為：, = 一 = - 777 =100pi 1 524應(yīng)采用經(jīng)驗公式計算其臨界力：由表中查出：a =304MPa b = 1. 1MPa貝U：二ej =a-b =304-1.12 77 = 218MPa ePe =；:ejA =218 103 0.0522 =462KN ej e4n工作=P

6、j 462150= 3.08 n =3所以滿足穩(wěn)定性要求。t ,軸向壓縮力3515-6 10t船用輕型吊貨桿 AB,長為16cm,截面為空心圓管，壁厚P=222kN ,規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù) nW =5.5,材料為A3鋼，E=210GPa,吊桿兩端均為較支座。試 確定用桿的截面尺寸。解：先按大柔度桿解Pcr二2 EJ二2 210 109D26421 16c 2DI D -35= 8.3458 107N74Pcrll 8.3458 107 D4 ll nw =5.53 =5.5P222 103c ,222 55D =4 ,8.3458 104,D , t = =10mm35校核應(yīng)用的公式是否對：=34

7、7mm 350mm.d = 330mmD2二d2 i 二=1 . 3502 -3302 = 120.26mm4uli1 16000133 p120.26p所以上面的計算有效。15-7圖示托架中的AB桿，直徑d=40mm,長l= 800mm,兩端錢支，材料為 A3鋼，試求 (a)托架的權(quán)限載荷 Qmax；(b)若工作載荷Q=70kN,希急定安全系數(shù)nW =2.0,問此托架是否安全?ul 1 800 C一 二二8010300建R 7 0;二上R Q解： （1） AB桿,一d =1,i = 一 = 10mm4l = 800mmA3鋼 % =100二h 九p屬于等桿 p二 cr =a-b =304 -

8、1.12 80 =214.4MPa ci二 2Fcr =；：crA =214.4 40 = 269.4 KN = NAB 4Q極限 900 = Pcr sin 1 600Q極限-2_2800 -600PcrL 600800900= 118.8KN（2）工作Q；Q工作118.8 1=1.70 :二 nw =2.070所以托架不安全。15-8兩端固支的A3鋼管，長6m,內(nèi)徑為60mm,外徑為70mm,在T = 20 C時安裝，此 時管子不受力。已知鋼的線膨脹系數(shù)a =12.5父10*1/：C ,彈性模量E=206GPa.當(dāng)溫度升高到多少度時，管子將失穩(wěn)？ 解：i = J = 1、D2 -d2 =

9、1、. 702 -602 = 2.3cm A 44l 0.5 600/u =i 2.3屬大柔度桿= 130.5 p =100p設(shè)溫度&七;則管子變形6=otAtl伸長 管子受壓力P =旦,變形=艮）縮短EA變形協(xié)調(diào)條件6+A=0或者6=A二2EEA二2La，EA二22A CX2二 464(130.5)父12.5父10即升至T =20+46.4 =66.4C的管子失穩(wěn).15-9有一結(jié)構(gòu)ABCD,由3根直徑均為d的圓截面鋼桿組成如圖，在B點錢支，而在C點和D點固定，A點為錢接。L =10兀。若此結(jié)構(gòu)由于桿件在 ABCD平面內(nèi)彈性失穩(wěn)而喪失承載能力。d解：AB桿為較支N =1AC , AD桿為一端錢

10、支一端固定 0 = 0.7AB失穩(wěn)此結(jié)構(gòu)仍能繼續(xù)承載，直到 AC,AD桿也失穩(wěn)，此時整個結(jié)構(gòu)才喪失承載能力。 由于對稱AC = RrAD、 y =0Pcr = PCr AB 2 Pcr ac COs30C32l236.1EJl2二2EJ2cos300.7 l .cos30、15-10較接桿系A(chǔ)BC如圖示，是由兩根具有相同截面和同樣材料的細長桿所組成，若由于桿件在ABC平面內(nèi)失穩(wěn)而引起毀壞。試確定載荷P為最大時的e角。解：當(dāng)AB,BC桿的軸力同時達到臨界力時，P最大。兩桿的臨界力為：二2EJPcr ab - P c o s - -p- l ABPcr AC =Psin =設(shè)BC間距為L,則l A

11、B二2EJl2c= LcosP,lAC =LsinP 代入上式Pcosu =Psin 1二A二2EJL2 sin2 :二2 EJ消去P得L2 sin”i=. Jd0.1242 1.6= 0.03 mi45鋼106.70.03二2EJ二2EJL2cos2 ： cos L2sin2 : sin即：tg?-ctg2-1-arctg c2tg15-11某快鍛水壓機工作臺油缸柱塞如圖示。已知油壓力p=32 MPa,柱塞直徑d=120mm,伸入油缸的最大行程l= 1600mm,材料為45鋼，E = 210Gpa。試求柱塞的工作安全系數(shù)。2解：工作壓力 P工作=pA=32 106 0.12 . =361.7

12、3 KN4-2.= 1.6m210 1096 = 86280 106-, p屬細長桿-cr二 2e工作229ccrccr二 E 二 210 10cici二工作 一 P 一 2P -106.72 32 10615-12蒸汽機車的連桿如圖所示，截面為工字形，材料為A3鋼，連桿所受最大輸向壓力為465kN。連桿在擺動平面（xy平面）內(nèi)發(fā)生彎曲時，兩端可認為是固定支座，試確定其安全系數(shù)。題15-12圖解：（1） xy平面內(nèi)：=1,1 =3100mmJz 96 1403 -心I96 -14 853 =1.7755 107mm42A =140 96 -85 96 -14 = 6470mm2.I = 52.

13、39mml 1 3100= 59.2A3鋼:xyI 52.39 =100, s =106 ps面內(nèi)屬短桿,r209P工作一465所以不安全。15-13鋼結(jié)構(gòu)壓卞f由兩個 56 M 56 M 8等邊較鋼組成，桿長1.5m,兩端錢支，P=150kN ,較鋼 為A3鋼，計算臨界應(yīng)力的公式有：（1）歐拉公式。（2）拋物線公式。試確定壓桿的臨界應(yīng)力 及工作安全系數(shù)。q題15-13圖題15T4圖角的=1,l =1.5m,年作=150KN查表：56父56父8角鋼：_ 2A = 2 8.367cmJz =2 23.63cm4. 4Jy =2 47.24cmJ -2-23.63imin = ,= .= 1.68

14、cm A ，2 8.3671 1.50.0168= 89.3A3 鋼：4 =123九所以采用拋物線公式計算:a =240MPab =0.00682MPa22-cr =a-b -2 =240 -0.00682 89.32 =185.6MPa.n，工作_6_4Pcr185.6 10 2 8.367 10一=2= 2.07P工作150 10315-14圖示結(jié)構(gòu)，用A3鋼制成, 時，橫梁截面B的撓度分別為多少？E = 200GPa，仃 P = 200MPa，試問當(dāng) q = 20N/mm 和 q=40N/mmBD桿長2m,截面為圓形，直徑 d=40mm。解：首先考慮q不同時,BD桿的軸力的變化。L lB

15、DyB =NbdI35q14N BD48 EJ 384 EJEAN BD5384ql3LAJAa48 JJd2A 16,l = 4m20 103 43(1) q =20N / mm 時：二 NBD384242161xr +一48 0.042 2160042 -50KN40 103 43(2) q =40N/mm時：Nbd38442X48160.04216C C /2004 = 100KN山1 2二二 2000.04Ncr ci4二 aL：ji=0.044_ 9200 10當(dāng) q = 20N / mm 時:2002Nbd ： NCT50 103 4口 61.9KN-9 :,二2 八200 10

16、0.042= 3.98 10sm4當(dāng)q =40N / mm時：NBD Ncr所以桿件失穩(wěn)破壞。15-15由兩槽鋼組成的立柱如圖示，兩端均為球較支承，柱長1 =4m。受載荷P = 800kN,型鋼材料為A3鋼，許用壓應(yīng)力 b】=120MPa,試選選槽鋼的型號，并求兩槽鋼間的距離 2b及連 接板間的距離a。解：選槽鋼設(shè)i =0.903800 10i 二 0.9 120 103226=7.4 10 m =74cm選22號槽鋼. 9A = 36.24cmJz =2571.4cm4;i = 8.42cmJy =176.4cm4;i = 2.21cmX0 = 2.03cmi故合適8.42=47.5; =

17、0.90I3800 10-r=110.4MPaC-108MPa2 36.24 10但 110.4-108108(2)求 2b應(yīng)使組合截面的= 2.2% 仍可用Jz = Jy2Jz=2-Jy+(b-X。2 Al2 m2571.4 = 2 1176.4 + (b -2.03 ” 36.24故 b =10.16cm(3)求 a局T 1 400i 8.421 400 1 ai 2.218.422.21a =1.05m15-16 =150MPa, 解：圖示萬匹柴油機連桿作為等截面壓桿考慮,材料為高強度鋼，試計算許用壓力P。D = 260mm, d = 80mm ,許用壓應(yīng)力 b】. 44-4 4D -d

18、 1-2.223 10 m64122_2 2A二一二 D -d 14.807 10 m 4i -.-I A -6.801 10 2 m此連桿有兩種失穩(wěn)形式：(1) 在xy平面內(nèi)：=1,l =2.88Icc, = = 42.35 匚上p i查九邛表得0 =0.918 ；故許用壓力為P，. :A =0.9925 1.5 108 4.807 10上= 7.16 106N結(jié)論：該連桿的許用壓力為6.61 103 KN15-17試用撓曲線近似微分方程式及邊界條件推導(dǎo)兩端均為固定支座壓桿的臨界力如圖15-7 (a)。x上的彎解：根據(jù)上下對稱知兩支座處水平反力為零，其反力偶相等。因此，在桿的任何一截面矩為：

19、M(x)=pcrvMe(1)由撓曲線近似微分力和有：EIv = Me -P5rv(2)令 k2=反得：J+k2Y=k2 工(3)EIPcr上式的通解為：V = Asin kx+ Bcoskx+Me(4)Pcr-.求導(dǎo)可得：v = Akcoskx - Bksin kx(5)Ma由邊界條件：x =0；v =0,v =0得A=0, B =Pcr代入(4)得 v =Me(1coskx )(6)Br再由邊界條件：x = L；V=0,Y =0得1 一coskL =0,sin kL = 0即要求 kL =2n二 n = 0,1,2,L_L其最小非零解為kL=2二2EI由此得該壓桿臨界力 Fcr的歐拉公式Pc

20、r =20. L15-18 一根長為2L,下端固定，上端自由的等截面壓桿，如圖( a),為提高其承壓能力, 在長度中央增設(shè)肩撐如圖(b),使其在橫向不能橫移。試求加固后壓桿的臨界力計算公式，并 計算與加固前的臨界力的比值。解：當(dāng) 0MxML 時，M (x)=Rr(6 7 ) + Q(L x)(1)(rr、,22!_QQ由EIm=M(x )，有 /+卜/二卜|6+x-L (1)IRrRrJc 0、1 = A sin kx B1 coskx L -x(3)凡1 = Akcoskx - B1ksin kx 、(4)Pcr當(dāng)L Wx W2L時m x 戶T)(5)22由 EI y2 = -M (x 冶2

21、 + k v2 = k 6(6 )2 = A sin kx B2 coskx 、.( 7) (8 )、2 = A2kcoskx - B2k sin kx 由邊界條件x =0;v =0,v =0得1LAi = , Bi =-二(9)kPCrPcr由邊界條件x=2L；v=5有A2sin2 rL B2cos2iL=0( 10)由邊界條件 x = L;v1 =v2,v1 =v2(11)(12 )A sinkL B1 coskL = A2sin kL B2 coskL ePcrA1k coskL -B1ksin kL =A2k coskL - B2ksin kL由(11 )(12 )聯(lián)立,解得： eB2

22、二 -sin2kL 2kFcr9L ,2-6 cos kL %6A2 =一cos2uL - kFcrAlPcr-6Jcos21L cos【Lsin kL(13)(14)將AA, Bi,民代入(i2),整理可得cos2 iL(15)、Pcr , 一 sinkL-sin21L k =kL 又由邊界條件乂=1；必=2=0得A sinkL B1 coskL 、= 0代入A,B1得、% , kLcoskL -sin kLk 二二coskL -1由式(15) (17)得一 sin L -sin 2L kLcoskL -sin kLkL ：二cos21LcoskL -1整理上式，得穩(wěn)定方程kLcos2uL

23、2-3coskL sinkL =0(17)(16)(18)(19 )式中k2 =&EL解放程（19）可得k =（取最小正k）2.51L故加固后臨界力計算公式為Pcr =22.51L二2EI 二 2EI加固前臨界力Pcr2則4LH，=2.54加固前巳2.512即加固后臨界力為加固前的2.54倍。15-19 一等截面壓桿，下端固定，上端由一彈簧常數(shù)為 時的撓曲線為C (N/m)的彈簧支持，但設(shè)失穩(wěn)二 x cos2l試用能量法確定它的臨界力。提示：當(dāng)oA桿撓曲時，A點下移1 C彈簧力也將完成功 Cf2。21 1. 2-i0(y,)dx , P力完成功為P6 ,而當(dāng)A點側(cè)移f時,題 15-18.W題飛19圖二2f4l2 EI l - 2應(yīng)變能：Uy dx =2 0_4EI 二x4216l4f2日二4 f264l3P外力做功：c l-Pcr-22 4l2 l 2 xf sin dx =0 2l二4f216lPcr.t .Jl V _解：由 y = f 1 -COS x 得I21 J二 f .二 x y 二sin 21 2l. x cos一 2l彈簧力做功：1cf22壓桿總勢能12H =U -Pcr cf2 2H