正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1、正弦定理 (1) 教學(xué)設(shè)計(jì)【教材】人教 A版高中數(shù)學(xué)必修 5 第一章第一節(jié)【課時(shí)安排】第 1課時(shí)【教學(xué)對(duì)象】 高一(下)學(xué)生【教材分析 】正弦定理揭示了三角形的邊與角的數(shù)量關(guān)系，是計(jì)算斜三角形邊長(zhǎng)或角度的重要工 具之一。達(dá)到定理的言語(yǔ)連鎖水平并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用并不難，但為了讓學(xué)生掌握定理探索的一般思 路和定理的本質(zhì)，本節(jié)課的教學(xué)定位是：既教定理的理解運(yùn)用，又教定理發(fā)現(xiàn)的探索思路；既強(qiáng) 調(diào)學(xué)習(xí)該定理涉及的數(shù)學(xué)思想方法，又滲透定理體現(xiàn)的數(shù)學(xué)美?！緦W(xué)情分析】認(rèn)知基礎(chǔ)： 已學(xué)過(guò)“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”的定性描述，具有尋找定量結(jié)論的心理期望；已學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)及解直角三角形，利于接受由特殊到一般的過(guò)渡；任

2、意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式為定理的證明和應(yīng)用打下了基礎(chǔ)；認(rèn)知障礙： 猜想的證明；定理證明思路的切入點(diǎn)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能了解正弦定理的應(yīng)用背景，探索與證明正弦定理；理解正弦定理的“結(jié)構(gòu)不變性”和表達(dá)這一不變性的“字母可變性” 。了解解三角形的概念，初步學(xué)會(huì)“正用”正弦定理解決三角形中“已知兩角一邊求其他”和 “已知兩邊及其中一邊對(duì)角求其他”的問(wèn)題。過(guò)程與方法經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、猜想并證明正弦定理的過(guò)程，領(lǐng)悟定理發(fā)現(xiàn)的探索思路，學(xué)習(xí)由特殊到一般 的思維方式；通過(guò)嘗試定理的證明，領(lǐng)悟分類討論和化歸的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度價(jià)值觀感受正弦定理的統(tǒng)一美、對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美；體會(huì)正弦定理的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值

3、，形成崇尚數(shù)學(xué)的精神?！窘虒W(xué)重點(diǎn) 】正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及理解【教學(xué)難點(diǎn) 】正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明【教學(xué)關(guān)鍵 】探索時(shí)由特殊延伸到一般尋找三角形的邊角數(shù)量關(guān)系；證明時(shí)將一般情形化歸為已 得證的特殊情形考慮?！窘虒W(xué)方法 】以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法為主教學(xué)手段 】板書(shū)、計(jì)算機(jī)、 PPT、幾何畫板 教學(xué)流程】背景引入 設(shè)置障礙設(shè)計(jì)意圖： 將學(xué)生置于天文學(xué)應(yīng)用背景中，由“大邊對(duì)大角， 小邊對(duì)小角”的定性結(jié)論已無(wú)法滿足量化需求來(lái)創(chuàng)設(shè)障礙，激 發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)新知的動(dòng)力 , 亦反映了生活問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題 數(shù)學(xué)形式化的發(fā)展軌跡。設(shè)計(jì)意圖： 從特殊入手，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)”進(jìn)行 聯(lián)系整合發(fā)現(xiàn)直角三角形中的正弦公式，從而搭

4、建思維階梯， 使學(xué)生能順階而上，逐步擊破。設(shè)計(jì)意圖： 通過(guò)解決開(kāi)頭實(shí)際背景中的地月距離問(wèn)題， 利于學(xué) 生初步體會(huì)定理的應(yīng)用價(jià)值和科學(xué)價(jià)值， 亦符合學(xué)生期望； 再 根據(jù)桑代克的練習(xí)律與效果律設(shè)計(jì)練習(xí)， 初步嘗試定理的簡(jiǎn)單 應(yīng)用，達(dá)到鞏固新知的目的。設(shè)計(jì)意圖：小結(jié)意在讓學(xué)生理清定理探索的一般思路及探索過(guò) 程涉及到的思維方式、 數(shù)學(xué)思想方法， 并上升到理解定理本質(zhì) 的層次；作業(yè)意在讓學(xué)生鞏固提高，拓寬思維和知識(shí)面，了解 正弦定理更完整的結(jié)論。【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】（一）背景引入，設(shè)置障礙（1）趣味引入：?jiǎn)栴} 1：月亮離地球有多遠(yuǎn)？由 2015 年 12 月初的“嫦娥四號(hào)將實(shí)現(xiàn)世界首次月球背面軟著陸” 的新

5、聞， 以及嫦娥奔月、“嫦娥 一號(hào)”等探月的圖片吸引學(xué)生注意力，提出問(wèn)題1，激發(fā)好奇心；并引出法國(guó)天文學(xué)家拉朗德和其學(xué)生拉卡伊在 17 世紀(jì)中下旬首次計(jì)算出了地月距離的背景： 選取了幾乎位于同一子午線的柏林 和好望角 A、B 和月球上的一地點(diǎn) C，當(dāng)時(shí)的技術(shù)手段只能測(cè)出 AB兩地間的直線距離和 A、B 的大小，但他們使用了一個(gè)十分便捷的運(yùn)算工具，就分別把地球上這兩個(gè)地點(diǎn)到月球的距離求出 來(lái)了。揭示本節(jié)課的任務(wù)就是要挖掘出這個(gè)“便捷的工具” 。設(shè)計(jì)意圖： 選取“計(jì)算地月距離”的天文學(xué)應(yīng)用背景引入，不僅因?yàn)楫?dāng)時(shí)兩位天文學(xué)家正是利用正弦定理 代入數(shù)據(jù)求解的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的密切聯(lián)系；而且能激發(fā)學(xué)

6、生學(xué)習(xí)新知以便解決這個(gè)看似困難的問(wèn)題 的內(nèi)部動(dòng)機(jī)和興趣，讓學(xué)生初步感知新知所蘊(yùn)含的強(qiáng)大應(yīng)用價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，還可引出探索三角形邊角關(guān)系的 環(huán)節(jié)。但由于本課時(shí)定理的應(yīng)用不是重點(diǎn)，具體數(shù)據(jù)較復(fù)雜，故暫不提供數(shù)據(jù)，只在環(huán)節(jié)三讓學(xué)生們自行理清 求解思路。（2）抽象問(wèn)題：已知三角形中的兩個(gè)角 （A、B）和一條邊（AB的長(zhǎng)），求另外兩條邊 （AC、BC的長(zhǎng)）。（ 3）創(chuàng)設(shè)障礙： 已學(xué)過(guò)的“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”的三角形邊角關(guān)系已經(jīng)無(wú)法滿足具體 量化需求，故引導(dǎo)學(xué)生由定性結(jié)論過(guò)渡到尋找定量結(jié)論，提出任務(wù)一：尋找三角形中的邊角數(shù)量 關(guān)系。（二）新知探究，猜想證明（ 1）特殊入手 ：讓學(xué)生回憶舊知中能描述直角三

7、角形中邊角數(shù)量關(guān)系的定義或性質(zhì)。問(wèn)題 2：直角三角形中存在什么邊角數(shù)量關(guān)系？【學(xué)情預(yù)設(shè)】生 1：直角三角形中 30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。生 2：三角函數(shù)。（ 2）找直角三角形的邊角數(shù)量關(guān)系 ：出示 RtABC，由學(xué)生上個(gè)問(wèn)題的回答引導(dǎo)其發(fā)現(xiàn) Rt ABC中有sin A a,cosA b 等邊角數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)而先研究三角形中與正弦有關(guān)的邊角數(shù)量關(guān)系。cc【學(xué)情預(yù)設(shè) 】生： sin A a,cos Ab,tanAa,sin Bb ,cosBa,tanBbccbcca（3）找直角三角形中邊角數(shù)量關(guān)系的特點(diǎn)： 引導(dǎo)學(xué)生得出 sin C=1，尋找能夠溝通 sin A a,csinB b,sin C

8、1的中間量、共同的量，進(jìn)而表示出 c，并將角 C統(tǒng)一進(jìn)來(lái)，發(fā)現(xiàn)在 RtABC中， c有 a b c 這一美妙的邊角數(shù)量關(guān)系；帶領(lǐng)學(xué)生共同感受所得關(guān)系的簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、統(tǒng)sin A sin B sin C一之美。設(shè)計(jì)意圖： 以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生建立新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，便于學(xué)生完成對(duì)新知識(shí) 的遷移。而帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)美是一項(xiàng)潛移默化的長(zhǎng)期任務(wù)，應(yīng)借此培養(yǎng)他們主動(dòng)感受和挖掘更多數(shù)學(xué)美的習(xí) 慣，并鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維、從而引入下一環(huán)節(jié)。（4）推廣結(jié)論，實(shí)驗(yàn)探索：?jiǎn)栴} 3：一般三角形中是否存在類似的美妙關(guān)系？ 將研究對(duì)象由特殊延伸到一般、由直角三角形推廣至一般三角形，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察幾何畫 板

9、所展示的任意構(gòu)造的形狀大小不一的銳角或鈍角三角形所對(duì)應(yīng)的每組比值的特點(diǎn)。發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)：在許多銳角或鈍角三角形中三個(gè)比值都相等， 似乎都存在著一致的邊角數(shù)量關(guān)系：ab sin A sin B 設(shè)計(jì)意圖：sinC ，即各邊邊長(zhǎng)與所對(duì)角的正弦之比相等。由三角形有成千上萬(wàn)來(lái)初步凸現(xiàn)分類討論的必要性；并利用幾何畫板展示素材的直觀性、任意性、可測(cè)性等優(yōu)點(diǎn)，通過(guò)直觀的“形變神不變”和分情況演示證實(shí)關(guān)系可能在一般三角形中成立，從而加強(qiáng)學(xué)生的猜想。（5）提出猜想： 在任意 ABC中， a b c 是成立的。sin A sin B sin C問(wèn)題 4：你能否根據(jù)演示結(jié)果大膽地作出合情的猜想？（ 6）尋找證明思路： 要

10、確認(rèn)結(jié)論是否成立單靠猜想還不夠，應(yīng)該證明。問(wèn)題 5：如何證明？如何將銳角和鈍角三角形跟直角三角形聯(lián)系起來(lái)？ 引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合前面的思路進(jìn)行探討：一開(kāi)始從特殊的直角三角形入手，很容易地表示出了三 角形的邊與對(duì)應(yīng)角的正弦的數(shù)量關(guān)系，并證明了等式在直角三角形中成立，要是銳角和鈍角三角 形能跟直角三角形扯上關(guān)系，問(wèn)題應(yīng)該就簡(jiǎn)單一點(diǎn)。進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)化歸結(jié)為考慮直角三角形的 邊角數(shù)量關(guān)系。滲透化歸的數(shù)學(xué)思想。【學(xué)情預(yù)設(shè) 】作高。（提示：通過(guò)作高將銳角和鈍角三角形轉(zhuǎn)化為考慮直角三角形，參考直角三 角形的證明思路）設(shè)計(jì)意圖： 學(xué)生能否準(zhǔn)確地判斷出需要“作高” ，是衡量其能否將一般情形轉(zhuǎn)化為前面已得證的特殊情形 的

11、關(guān)鍵，亦可讓學(xué)生親自理解這一證明思路的切入點(diǎn)。（7）分組探究，證明猜想： 1、2組嘗試銳角三角形的證明， 3、4 組嘗試鈍角三角形的證明， 帶著提供的思考問(wèn)題和提示，共同探討并證明銳角和鈍角三角形的情況。滲透分類討論的思想。ADbBF ，cPPT 出示探究任務(wù)和思考問(wèn)題：作高后如何將高與三角形的邊和角聯(lián)系起來(lái)？需要作多少條 高便可證明出結(jié)論？（教師巡視，必要時(shí)給予啟發(fā)指導(dǎo)，尋找能夠證明出來(lái)的同學(xué)，請(qǐng)兩位同學(xué) 分別代表小組分享證明思路，由學(xué)生展示證明情況，由教師詳細(xì)板演，強(qiáng)調(diào)思路的關(guān)鍵點(diǎn)）c sinC C 做 AB邊上的高 CE，同理可證學(xué)情預(yù)設(shè)】生1：在銳角 ABC中，過(guò) A做BC邊上的高 A

12、D，則在 RtADC中，有sin CAD bsinC），在 RtADB中，有sin B AD（ AD c sin B ），聯(lián)系兩式消去 AD易得 b c sin B 教師強(qiáng)調(diào)是在直角三角形中，體現(xiàn)由一般轉(zhuǎn)化為特殊）過(guò)a bBFa b (或過(guò) B作 AC邊上的高 BF。在 Rt BFC中sin C；在 RtBFA中sin Asin A sin Ba兩式聯(lián)立變形得 a c ）sin A sinC生2：在鈍角 ABC中，過(guò)A作BC邊上的高 AD,得到兩個(gè)直角三角形，有 sinB AD csinC AbD ，兩式聯(lián)立變形得 sinbB sincC ；過(guò)B作AC邊上的高 BE，在 RtAEB中，BEsi

13、n( A)sin A；在 RtBEC中，sin CcBE ；兩式聯(lián)立變形得 a asin Ac 。（或過(guò)sinCC作 ABCF CF邊上的高 CF。在RtBFC中sinB CaF；在RtAFC中，sin（A） CbF sin A，兩式聯(lián)立變形得 a b得）sin A sin B設(shè)計(jì)意圖： 選用等高法，是由于本節(jié)課是從直角三角形入手的，只要通過(guò)作高就可以把銳角或鈍角三角形 和直角三角形聯(lián)系起來(lái)，因此，對(duì)于猜想的證明，該法應(yīng)該是學(xué)生從認(rèn)知規(guī)律上比較容易嘗試成功的方法，符 合學(xué)生的認(rèn)知水平發(fā)展。分組讓學(xué)生分別嘗試證明銳角、鈍角三角形的情況，可提高學(xué)生課堂的參與度，確保 學(xué)生的主體地位。由于此方法與教

14、科書(shū)所涉及的方法大同小異，是面向全體學(xué)生的證明過(guò)程，且為了讓學(xué)生更 好地體會(huì)數(shù)學(xué)證明的邏輯演繹過(guò)程，采用學(xué)生表述、教師板演，以更好地讓大多數(shù)學(xué)生理解掌握。（8）得到定理 : 說(shuō)明定理揭示了三角形中所蘊(yùn)含的十分巧妙的邊角數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生再次共 同感受定理的數(shù)學(xué)美：如此獨(dú)特的美妙關(guān)系，也只有我們數(shù)學(xué)語(yǔ)言能如此簡(jiǎn)練地描述出來(lái)。（三）應(yīng)用定理，反饋鞏固（1）了解應(yīng)用：?jiǎn)栴} 6：正弦定理能解決哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？ 舉兩個(gè)簡(jiǎn)單例子啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“知三求一”的特點(diǎn)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，便可初步得出 定理的應(yīng)用范圍：（ 1）已知三角形兩個(gè)角和一條邊，求其它邊和角； （2）已知三角形兩條邊和其 中一邊的對(duì)角，求其它邊

15、和角。（2）實(shí)際應(yīng)用：?jiǎn)栴} 7：你能用正弦定理得到地月距離的求解思路了嗎？ 回顧引入環(huán)節(jié)的地月距離問(wèn)題，教師與學(xué)生共同探討解題思路，尋找隱含條件，在定理表達(dá) 式中標(biāo)記出已知條件和隱含條件，直觀體現(xiàn)“知三求一” ：由三角形內(nèi)角和定理可求角 C；由正弦 定理可表示出 AC、BC?！窘鉀Q思路】在 ABC中，已知 A和B的大小、 AB的長(zhǎng)，則由三角形內(nèi)角和定理可得 C=180- A-B，BC AC AB AB AB 故由正弦定理得 ，即 BCsin A ， ACsin B .sin A sin B sin Csin C sin C只要代入具體數(shù)據(jù)，地月距離便迎刃而解，至于具體數(shù)據(jù)是多少、怎么測(cè)的，鼓勵(lì)

16、學(xué)生課后 上網(wǎng)查找資料拓展知識(shí)面。該距離問(wèn)題的求解過(guò)程就是正弦定理的應(yīng)用；一個(gè)簡(jiǎn)單的定理居然會(huì) 在天文學(xué)中會(huì)被用到，其實(shí)它在許多領(lǐng)域測(cè)量距離或高度的問(wèn)題中也很有幫助，下節(jié)課就可以見(jiàn) 分曉。這節(jié)課先試著解決簡(jiǎn)單的純數(shù)學(xué)問(wèn)題。（3）了解解三角形的概念： 把三角形的三個(gè)角 A，B，C 和它們的對(duì)邊 a，b，c 叫做三角形 的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。（4）練習(xí)解三角形： （學(xué)生先練習(xí)，后講解，檢驗(yàn)是否符合“大邊對(duì)大角” ） 根據(jù)已知條件求三角形的其他邊和角。 在 ABC中，已知 A=60，B=45，c=20cm； 在 ABC中，已知 a=15cm，b=10cm，B=30

17、.學(xué)情預(yù)設(shè)】C=180 60 45 75， sin 75 sin( 45 30 ) = 2 1 2 3 2 62 2 2 2 4由正弦定理得， a3 b2 6202 20 3 20，2 2 4故 a (20 3 20)2317cm ， b( 20 320) 22由正弦定理得，5 sin A10 c1 sin C20，故 sin A12cm 。51, 故 A 14 ，從而有20 4C 180 60 14 106 ， sin C 0.96 ， c 20 0.96 19cm 。設(shè)計(jì)意圖： 由于本節(jié)課只是正弦定理的第一課時(shí)，定理的應(yīng)用還不是重點(diǎn)，所以該環(huán)節(jié)不做過(guò)多復(fù)雜 的實(shí)際計(jì)算，只是讓學(xué)生解決開(kāi)頭實(shí)

18、際背景中的地月距離問(wèn)題，既體現(xiàn)問(wèn)題設(shè)置的有效性，又符合學(xué)生運(yùn)用新 知解決問(wèn)題的心理期望。由學(xué)生運(yùn)用所學(xué)新知識(shí)表述思路、解決問(wèn)題，初步體會(huì)定理的應(yīng)用價(jià)值，并簡(jiǎn)單引入 其他領(lǐng)域的應(yīng)用，為下節(jié)課的開(kāi)展設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；而兩道帶有簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的純數(shù)學(xué)解三角形問(wèn)題則可 讓學(xué)生初步嘗試正弦定理的兩類簡(jiǎn)單應(yīng)用。（四）課堂小結(jié)和作業(yè)布置（1）課堂小結(jié)： 借助流程圖與學(xué)生共同總結(jié)梳理本節(jié)課的定理發(fā)現(xiàn)思路：為了探究三角形 的邊角數(shù)量關(guān)系，從特殊的直角三角形入手，經(jīng)歷觀察實(shí)驗(yàn)猜想證明得到正弦 定理應(yīng)用定理；并引導(dǎo)學(xué)生上升到理解定理本質(zhì)的層次，即理解其“結(jié)構(gòu)的不變性，字母的 可變性”。同時(shí)揭示本節(jié)課涉及的特殊到一般的發(fā)現(xiàn)思路、分類討論和化歸的數(shù)學(xué)思想。并留下懸念：正弦定理還有更令人驚嘆的結(jié)論！即它的比值是一個(gè)可以由三角形自身確定的 常量，是什么呢？結(jié)合課后題就會(huì)有重大發(fā)現(xiàn)。設(shè)計(jì)意圖： 借助框圖梳理思路，包括定理的發(fā)現(xiàn)與探索過(guò)程、定理的證明、涉及的數(shù)學(xué)思想方法等，并讓 學(xué)生掌握定理學(xué)習(xí)的本質(zhì)，潛移默化地讓學(xué)生感受到有時(shí)過(guò)程比結(jié)果更重要。（2）作業(yè)布置：必做：習(xí)題之 A組第 1、2題； 完成鈍角三角形中的正弦定理的證明過(guò)程； 平面向量是溝通角度和長(zhǎng)度的重要工具，請(qǐng)嘗試平面向量的相關(guān)知識(shí)證明定理。思考：任意 ABC中定理表達(dá)式的值會(huì)等于