實驗六 窗函數(shù)及其對信號頻譜的影響

1、實驗六 窗函數(shù)及其對信號頻譜的影響一. 實驗?zāi)康?#160;   1. 掌握幾種典型窗函數(shù)的性質(zhì)、特點，比較幾種典型的窗函數(shù)對信號頻譜的影響。    2. 通過實驗認(rèn)識它們在克服 FFT 頻譜分析的能量泄漏和柵欄效應(yīng)誤差中的作用，以便在實際工作中能根據(jù)具體情況正確選用窗函數(shù) 二. 實驗原理    1. 信號的截斷及能量泄漏效應(yīng)    數(shù)字信號處理的主要數(shù)學(xué)工具是博里葉變換應(yīng)注意到，傅里葉變換是研究整個時間域和頻率域的關(guān)系。然而，當(dāng)運用計算機(jī)實現(xiàn)工

2、程測試信號處理時，不可能對無限長的信號進(jìn)行測量和運算，而是取其有限的時間片段進(jìn)行分析。做法是從信號中截取一個時間片段，然后用觀察的信號時間片段進(jìn)行周期延拓處理，得到虛擬的無限長的信號，然后就可以對信號進(jìn)行傅里葉變換、相關(guān)分析等數(shù)學(xué)處理。圖6.1 信號的周期延拓    周期延拓后的信號與真實信號是不同的，下面我們就從數(shù)學(xué)的角度來看這種處理帶來的誤差情況。設(shè)有余弦信號x(t)在時域分布為無限長(- ，)，當(dāng)用矩形窗函數(shù)w(t)與其相乘時，得到截斷信號xT(t) =x(t)w(t)。根據(jù)博里葉變換關(guān)系，余弦信號的頻譜X()是位于。處的函數(shù)，而矩形窗函數(shù)w(t)

3、的譜為sinc()函數(shù)，按照頻域卷積定理，則截斷信號xT(t) 的譜XT() 應(yīng)為：    將截斷信號的譜XT()與原始信號的譜X()相比較可知，它已不是原來的兩條譜線，而是兩段振蕩的連續(xù)譜這表明原來的信號被截斷以后，其頻譜發(fā)生了畸變，原來集中在f0處的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了，這種現(xiàn)象稱之為頻譜能量泄漏（Leakage）。    信號截斷以后產(chǎn)生的能量泄漏現(xiàn)象是必然的，因為窗函數(shù)w(t)是一個頻帶無限的函數(shù)，所以即使原信號x(t)是限帶寬信號，而在截斷以后也必然成為無限帶寬的函數(shù)，即信號在頻域的能量與分布

4、被擴(kuò)展了。又從采樣定理可知，無論采樣頻率多高，只要信號一經(jīng)截斷，就不可避免地引起混疊，因此信號截斷必然導(dǎo)致一些誤差，這是信號分析中不容忽視的問題。    如果增大截斷長度T，即矩形窗口加寬，則窗譜 W()將被壓縮變窄（T減?。?。雖然理論上講，其頻譜范圍仍為無限寬，但實際上中心頻率以外的頻率分量衰減較快，因而泄漏誤差將減小。當(dāng)窗口寬度T趨于無窮大時，則譜窗W()將變?yōu)?)函數(shù)，而()與X()的卷積仍為X()，這說明，如果窗口無限寬，即不截斷，就不存在泄漏誤差。圖6.2 信號截斷與能量泄露現(xiàn)象    為了減少頻譜能量泄

5、漏，可采用不同的截取函數(shù)對信號進(jìn)行截斷，截斷函數(shù)稱為窗函數(shù)，簡稱為窗。泄漏與窗函數(shù)頻譜的兩側(cè)旁瓣有關(guān)，如果兩側(cè)瓣的高度趨于零，而使能量相對集中在主瓣，就可以較為接近于真實的頻譜，為此，在時間域中可采用不同的窗函數(shù)來截斷信號。    2. 窗函數(shù)    實際應(yīng)用的窗函數(shù)，可分為以下主要類型：    a) 冪窗-采用時間變量某種冪次的函數(shù)，如矩形、三角形、梯形或其它時間（t）的高次冪；    b) 三角函數(shù)窗-應(yīng)用三角函數(shù)，即正弦或余弦函數(shù)

6、等組合成復(fù)合函數(shù)，例如漢寧窗、海明窗等；    c) 指數(shù)窗-采用指數(shù)時間函數(shù)，如形式，例如高斯窗等。    下面介紹幾種常用窗函數(shù)的性質(zhì)和特點。    a) 矩形窗    矩形窗屬于時間變量的零次冪窗，函數(shù)形式為:            相應(yīng)的窗譜為：     

7、60;      矩形窗使用最多，習(xí)慣上不加窗就是使信號通過了矩形窗。這種窗的優(yōu)點是主瓣比較集中，缺點是旁瓣較高，并有負(fù)旁瓣，導(dǎo)致變換中帶進(jìn)了高頻干擾和泄漏，甚至出現(xiàn)負(fù)譜現(xiàn)象。圖6.3 矩形窗的時域及頻域波形    b) 三角窗三角窗亦稱費杰（Fejer）窗，是冪窗的一次方形式，其定義為：        相應(yīng)的窗譜為：        三角

8、窗與矩形窗比較，主瓣寬約等于矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無負(fù)旁瓣，如圖6.4所示。圖6.4 三角窗的時域及頻域波形c) 漢寧（Hanning）窗    漢寧窗又稱升余弦窗，其時域表達(dá)式為：             相應(yīng)的窗譜為：             由此式可以看出，漢寧窗可以看作是3個矩形時間窗的頻譜之和，或者說是

9、 3個 sine（t）型函數(shù)之和，而括號中的兩項相對于第一個譜窗向左、右各移動了 /T，從而使旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能?？梢钥闯?，漢寧窗主瓣加寬并降低，旁瓣則顯著減小，從減小泄漏觀點出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗但漢寧窗主瓣加寬，相當(dāng)于分析帶寬加寬，頻率分辨力下降。    d) 海明（Hamming）窗    海明窗也是余弦窗的一種，又稱改進(jìn)的升余弦窗，其時間函數(shù)表達(dá)式為：             

10、;其窗譜為：            海明窗與漢寧窗都是余弦窗，只是加權(quán)系數(shù)不同。海明窗加權(quán)的系數(shù)能使旁瓣達(dá)到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰減為一42dB海明窗的頻譜也是由3個矩形時窗的頻譜合成，但其旁瓣衰減速度為20dB（10oct），這比漢寧窗衰減速度慢。海明窗與漢寧窗都是很有用的窗函數(shù)。    5) 高斯窗    高斯窗是一種指數(shù)窗。其時域函數(shù)為：   

11、60;        式中a為常數(shù)，決定了函數(shù)曲線衰減的快慢。a值如果選取適當(dāng)，可以使截斷點（T為有限值）處的函數(shù)值比較小，則截斷造成的影響就比較小。高斯窗譜無負(fù)的旁瓣，第一旁瓣衰減達(dá)一55dB。高斯富譜的主瓣較寬，故而頻率分辨力低高斯窗函數(shù)常被用來截斷一些非周期信號，如指數(shù)衰減信號等。    不同的窗函數(shù)對信號頻譜的影響是不一樣的，這主要是因為不同的窗函數(shù)，產(chǎn)生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號的截斷產(chǎn)生了能量泄漏，而用FFT算法計算頻譜又產(chǎn)生了柵欄效應(yīng)，從原理上

12、講這兩種誤差都是不能消除的，但是我們可以通過選擇不同的窗函數(shù)對它們的影響進(jìn)行抑制。圖6.5是幾種常用的窗函數(shù)的時域和頻域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識別精度最高，幅值識別精度最低；布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識別精度最低，但幅值識別精度最高。圖6.5 幾種常用的窗函數(shù)的時域和頻域波形    對于窗函數(shù)的選擇，應(yīng)考慮被分析信號的性質(zhì)與處理要求。如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用主瓣寬度比較窄而便于分辨的矩形窗，例如測量物體的自振頻率等；如果分析窄帶信號，且有較強(qiáng)的干擾噪聲，則應(yīng)選用旁瓣幅度小的窗函數(shù)，如漢寧窗、三角窗等；對于隨

13、時間按指數(shù)衰減的函數(shù)，可采用指數(shù)窗來提高信噪比。三. 實驗儀器和設(shè)備1. 計算機(jī)                      n臺2. DRVI快速可重組虛擬儀器平臺   1套3. 打印機(jī)                &

14、#160;     1臺四. 實驗步驟及內(nèi)容1. 啟動服務(wù)器，運行DRVI主程序，開啟DRVI數(shù)據(jù)采集儀電源，然后點擊DRVI快捷工具條上的"聯(lián)機(jī)注冊"圖標(biāo)，選擇其中的"DRVI采集儀主卡檢測"進(jìn)行服務(wù)器和數(shù)據(jù)采集儀之間的注冊。聯(lián)機(jī)注冊成功后，分別從DRVI工具欄和快捷工具條中啟動"DRVI微型Web服務(wù)器"和"內(nèi)置的Web服務(wù)器"，開始監(jiān)聽8500和8600端口。2. 打開客戶端計算機(jī)，啟動計算機(jī)上的DRVI客戶端程序，然后點擊DRVI快捷工具條上的"聯(lián)

15、機(jī)注冊"圖標(biāo)，選擇其中的"DRVI局域網(wǎng)服務(wù)器檢測"，在彈出的對話框中輸入服務(wù)器IP地址（例如：），點擊"發(fā)送"按鈕，進(jìn)行客戶端和服務(wù)器之間的認(rèn)證，認(rèn)證完畢即可正常運行客戶端所有功能。 3. 在DRVI軟件平臺的地址信息欄中輸入如下信息"http:/服務(wù)器IP地址:8600/gccslab/index.htm"，打開WEB版實驗指導(dǎo)書，在實驗?zāi)夸浿羞x擇"窗函數(shù)及其對信號頻譜的影響"實驗，根據(jù)實驗原理和要求設(shè)計該實驗。4. 該實驗首先需要設(shè)計一個一個正弦信號發(fā)生器，來提供原始信號，DR

16、VI中提供了一個"數(shù)字信號發(fā)生器"芯片，將其中的"信號類型"設(shè)置為2就可以產(chǎn)生正弦信號，再用一片"啟/停按鈕"芯片控制信號是否產(chǎn)生；為了產(chǎn)生各種窗函數(shù)，還需要插入一片"譜窗函數(shù)"芯片，并用一片"多聯(lián)開關(guān)"芯片與之聯(lián)動來控制窗函數(shù)的輸出類型；為了能詳細(xì)觀察信號加窗以后對頻譜的影響，需要插入一片"頻譜細(xì)化分析"芯片，來對選定的頻率段進(jìn)行局部放大，對于該芯片的上、下限細(xì)化頻率，可以插入兩片"水平推桿"芯片來調(diào)節(jié)；同時，為了觀察信號加窗前后頻譜的對應(yīng)變化情況，還應(yīng)

17、插入兩片"頻譜計算"芯片來計算信號的頻譜；另外選擇五片"波形/頻譜顯示"芯片，用于顯示以上處理結(jié)果；然后根據(jù)連接這些芯片所需的數(shù)組型數(shù)據(jù)線數(shù)量，插入8片"內(nèi)存條"芯片，用于存儲8組數(shù)組型數(shù)據(jù)；再加上一些文字顯示芯片和裝飾芯片，就可以搭建出一個"窗函數(shù)及其對信號頻譜的影響"實驗。所需的軟件芯片數(shù)量、種類、與軟件總線之間的信號流動和連接關(guān)系如圖6.6所示，根據(jù)實驗原理設(shè)計圖在DRVI軟面包板上插入上述軟件芯片，然后修改其屬性窗中相應(yīng)的連線參數(shù)就可以完成該實驗的設(shè)計和搭建過程。圖6.6 窗函數(shù)及其對信號頻譜的影響原理設(shè)計

18、圖5. 對于"譜窗函數(shù)"芯片，設(shè)定其"輸入波形存儲芯片號"為6000，"輸出波形存儲芯片號"為6001，使存儲在"軟內(nèi)存芯片"6000中的數(shù)據(jù)經(jīng)過加窗處理后放置在"軟內(nèi)存芯片"6001中，至于具體采用何種窗函數(shù)，則通過設(shè)置"窗譜類型線號"為2來和"多聯(lián)開關(guān)" 聯(lián)動，通過多聯(lián)開關(guān)來選擇具體的窗函數(shù)種類，如圖6.7所示；對于"頻譜細(xì)化分析"芯片；設(shè)定其"輸入波形存儲芯片號"為6001，"輸出波形存儲芯片號"分別為6002和6003，具體觀察的頻段范圍則通過對"細(xì)化上、下限頻率"的設(shè)置來調(diào)節(jié)，如第4條所述，分別設(shè)置其線號為3和4，并與"推桿"芯片的"輸出顯示線號"相對應(yīng)，如圖6.8所示。由于此兩芯片比較特殊，在此特別加以強(qiáng)調(diào)說明。圖6.7 "譜窗函數(shù)"芯片參數(shù)設(shè)置樣例圖