高三數(shù)學(xué)文推理與證明與幾何證明人教實(shí)驗(yàn)版（A）知識(shí)精講

1、高三數(shù)學(xué)文推理與證明與幾何證明人教實(shí)驗(yàn)版（A）【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：推理與證明與幾何證明二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：1. 合情推理（1）歸納推理（個(gè)別到一般）（2）類比推理（由特殊到特殊）2. 演繹推理（三段論）（由一般到個(gè)別）3. 直接證明、綜合法、分析法4. 間接證明：反證法5. 平面幾何證明（1）相似三角形（2）直線與圓（3）圓錐曲線性質(zhì)【典型例題】例1 在平面幾何里，有勾股定理：“ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則?！蓖卣沟娇臻g，類比平面幾何定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則 ?！苯猓涸O(shè)A

2、B=，AC=，AD= 三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩垂直 AB、AC、AD兩兩垂直 作BEDC于E，連結(jié)AE，則CDAE在中，在中， 例2 求證函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域上是增函數(shù)。解析：所以定義域?yàn)榧矗允瞧婧瘮?shù)任取，且則由于，從而，所以，故為增函數(shù)例3 觀察 ； 。由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個(gè)猜想？并證明你的猜想。解析：觀察4010=30，3630=6，由此猜想：證明：例4 先解答（1），再通過類比解答（2）。（1）已知，求證：（2）已知，求證：。分析：本題（1）與（2）從二元結(jié)構(gòu)形式，類比到元結(jié)構(gòu)形式，屬結(jié)構(gòu)形式上的形式類比，由（1）的證法，可類比得到（2）的證法。證明：（1

3、） 由不等式及都是正數(shù)可得：， ，即（2） 都大于0 ，把上面n個(gè)式子相加得即例5 已知都是實(shí)數(shù)，求證：。證明：以為依據(jù)，利用綜合法證明。 ， ， ， 將以上三個(gè)不等式相加得 即 在不等式的兩邊同時(shí)加上“”，得即 在不等式的兩邊同時(shí)加上“”，得即 由得例6 已知P是ABC所在平面外一點(diǎn)，已知PA、PB、PC兩兩垂直，PH平面ABC于H，求證：證明：連CH延長(zhǎng)交AB于D PCPA，PCPB， PC平面PAB PCAB，又PH平面ABC PHAB AB平面PCH，PDAB又PAPB，由三角形面積公式有 ，又， 同理 例7 設(shè)。求證：。證明：要證成立只要證即證，也就是證只要證，即證 ，也就是證，顯然

4、成立故不等式成立例8 實(shí)數(shù)滿足，求證：中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)。解答：證法1：假設(shè)都是非負(fù)數(shù)，由，知從而 =1與已知矛盾 中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)證法2：假設(shè)都是非負(fù)數(shù)，則這與已知矛盾 中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)例9 設(shè)有長(zhǎng)度分別為和的5條線段，今知其中任何3條都可以構(gòu)成一個(gè)三角形，證明：其中必有銳角三角形。證明：為了便于敘述，不妨設(shè)，并設(shè)由它們中的任何3條組成的都不是銳角三角形，則由余弦定理可得： 有 能構(gòu)成三角形的三邊， 有，從而得出矛盾故其中必有一個(gè)為銳角三角形例10 已知常數(shù)，為正整數(shù)，是關(guān)于x的函數(shù)。（1）判定函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）對(duì)任意，證明。證明：（1） ， ， 在（0，+）上單調(diào)遞減

5、（2）由（1）知當(dāng)，是關(guān)于x的減函數(shù) 當(dāng)時(shí)，有又 ， ， 例11 已知且。求證：解析：證法1：（作差比較法） ，又且， 又， ， ，即證法2：（分析法） ， 要證，只要證明，即證，而由， ，又，知顯然成立，故原不等式成立。例12 已知，求證：。證明：方法1（綜合法） 展開得 方法2（分析法）要證 故只需證即證亦即證而這是顯然的，由于以上相應(yīng)各步均可逆， 原不等式成立方法3： 例13 已知：是不全相等的正數(shù)。求證：證明： 同理：三式相加得又 不全相等，故等號(hào)不成立即例14 已知：AB是O的直徑，DAAB于A，DA/BC，且COD=90，求證：DC是O的切線。解析： DAAB，DA/BC BCAB

6、 COD=90 BCO=AOD BCOAOD OCB=OCD OC是BCD的平分線 O到CD距離等于OB CD是O切線例15 如圖，在中，BAC=90，BC邊的垂直平分線EM和AB、AC（或延長(zhǎng)線）分別交于D、E，求證：。分析：將化為，問題轉(zhuǎn)化為證明AMDEMA解析： BAC=90，M是BC的中點(diǎn) AM=CM，MAC=C EMBC E+C=90又 BAM+MAC=90 E=BAM EMA=AMD AMDEMA 例16 如圖，四邊形ABCD中，AC、BD交于O，過O作AB的平行線，與AD、BC分別交于E，F(xiàn)，與CD的延長(zhǎng)線交于K。求證：KO2=KEKF。分析：待證式變形為比例式須利用平行關(guān)系找比

7、例關(guān)系而已知條件中KF/AB，產(chǎn)生了一系列的相似三角形，設(shè)CD與AB交于H，則CKOCHA，COFGAB，CKFCHB，DKEDHA。只須從中找到能聯(lián)系和的中間比即可。證明：設(shè)直線CD與BA交點(diǎn)為H， EO/HB ，即，同理可由KF/HB得 ，即例17 在ABC中，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F，求證：CEFCBA。分析：要證CEFCBA，已知ECF=BCA，須再找一組對(duì)應(yīng)角相等或夾該角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，而所給條件全是垂直關(guān)系，這樣在RtADC和RtBDC中均可應(yīng)用射影定理，尋求與的關(guān)系。證明： ADC是直角三角形，DEAC 同理可得 ，即又 BCA=ECF CEFCBA例18 等腰

8、ABC中，AB=AC底邊上高AD=10，腰AC上高BE=12。（1）求證；（2）求ABC的周長(zhǎng)。解答：（1）證明： ADCBEC ADBC BC=2BD （2）設(shè)BD=，則，在中， ，BC=2x=15，AB=AC=12.5， 周長(zhǎng)為40例19 在ABC中，D、F分別在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BD=DC=FC=1，則AC= 。解析：在ABC中，設(shè)AC=x， ABAC，AFBC，又FC=1，根據(jù)射影定理得， 再由射影定理得，即 在BDC中，過D作DEBC于E BD=DC=1 BE=EC又 AFBC DE/AF 在中， ，即 整理得 例20 ABC中，D在BC上，E在AD上，BE的延長(zhǎng)線

9、交AC于F。（1）若BD=DC，AE=ED，則AF：FC的值為 ；（2）若BD：DC=，AE：ED=，則AF：FC的值為 。答案：（1）1：2 （2）解析：（1）過D作DG/BF交AC于G， BD=DC AE=ED AF=FG=GC AF：FC=1：2（2）同理過D作DG/BF交AC于點(diǎn)G，則， 例21 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上，CE交AD于點(diǎn)F，ECA=D。求證：。分析：由已知條件知CD/BE，AD/BC，從而CDFEAFEBC待證結(jié)論ACBE=CEAD，即，而于是只要證AFCACD，這由條件ECA=D立即可得證明： 四邊形ABCD是平行四邊形 AF/BC 又

10、 AE/CD AFEDFC ，即又 ECA=D，CAF=DAC AFCACD 例22 如圖，AB是O的弦，CD切O于P，ACCD于C，BDDC于D，PQAB于Q，求證：。分析：欲證，只需證明AC：PQ=PQ：BD，圖中沒有產(chǎn)生比例中項(xiàng)的條件，需要通過過渡比來解決，連結(jié)PA、PB，利用弦切角定理，得到不相鄰的兩對(duì)直角三角形分別相似。解析：連結(jié)PA、PB，如上圖所示 CD切O于P 1=2 ACCD于C，PQAB于Q， ACP=PQB=90 ACPPQB AC：PQ=AP：BP同理BDPPQA PQ：BD=AP：BP AC：PQ=PQ：BD，即例23 ABC內(nèi)接于O，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，E是

11、直線AD和O的交點(diǎn)。（1）求證：（2）當(dāng)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，（1）問中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，試說明理由。證明：（1） AB=AC ACB=ABC又 ACB=AEB ABC=AEBBAE為公共角 ABDAEB （2）同理可由ABDAEB證得。例24 如圖，AB為O的直徑，BC、CD為O的切線，B、D為切點(diǎn)，若O的半徑為1，則ADOC= 。答案：2解析： CD、CB為O的切線， OC平分， ADOC=ABOB=2例25 如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，A、B是大圓上任意兩點(diǎn)，過A，B作小圓的割線AXY和BPQ。求證：AXAY=BPBQ分析： 待證式類似于割線定理形式，但它

12、不是從一點(diǎn)出發(fā)的兩條割線，考慮到是兩個(gè)同心圓，由大圓上任意一點(diǎn)向小圓引的切線長(zhǎng)相等，故可經(jīng)過A，B作小圓的切線，由切割線定理獲證。 過B作小圓切線BM交大圓于N，切點(diǎn)為M，則OM垂直平分BN，故A，O，N共線，由切割線定理與割線定理可證。證明：如圖，過點(diǎn)A，B分別作小圓的切線AC，BD，C，D為切點(diǎn)。由切割線定理，。再連結(jié)CO、AO、DO、BO易證RtAOCRtBOD，得出AC=BD，所以AXAY=BPBQ例26 已知：如下圖，AB為O的直徑，過B作O的切線，C為切線上的一點(diǎn)，連結(jié)OC交O于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D。（1）求證：；（2）若AB=BC=2，求CD的長(zhǎng)。分析：欲證線段長(zhǎng)度的積

13、式即比例式，可考慮相似三角形，由題設(shè)條件直徑和切線可得角相等，關(guān)鍵是把所給線段、角歸到兩個(gè)三角形中。解答：（1）（2）在RtOBC中，OB=OE=1，BC=2， CE=，又， CD=例27 在梯形ABCD中，AB/DC，ABCD，K、N分別在AD、BC上，DAM=CBK。求證：C、D、K、M四點(diǎn)共圓。分析：由DAM=CBK，易得A、B、M、K四點(diǎn)共圓，由此轉(zhuǎn)化到相關(guān)角相等與互補(bǔ)，再證C、D、K、M四點(diǎn)共圓。證明：在四邊形ABMK中， DAM=CBK， A、B、M、K四點(diǎn)共圓，連結(jié)KM，有DAB=CMK。 DAB+ADC=180 CMK+KDC=180，故C、D、K、M四點(diǎn)共圓例28 在RtAB

14、C中，BCA=90，以BC為直徑的O交AB于E點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，連結(jié)BD交O于F點(diǎn)。求證：分析：由BEC=BFC=BCA=Rt可得，BECBCA，BFCBCD，于是不難證得BEFBAD，又AD=CD，于是不難建立關(guān)系：證明： BC為O的直徑， BFC=90，BEC=90又ACB=90 BCE=A 又BFE=BCE BFE=A BEFBAD BFC=BCA，CBD為公共角 BCFBDC 又 AD=CD 例29 如圖P為O外一點(diǎn)，PA、PB分別切O于A、B，CD切O于E，分別交PA、PB于C、D，若PA=5，則PCD的周長(zhǎng)為 。答案：10解析：由切線長(zhǎng)定理CA=CE，DB=DE，PA=PB PC

15、D的周長(zhǎng)=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=10例30 如圖，O1過O的圓心O與O交于A、B兩點(diǎn)，C在O上，CB延長(zhǎng)線交O1于D，CO延長(zhǎng)線交O1于E，EDC=108，則C= 。答案：36解析：EDBO四點(diǎn)共圓，EOB=180108=72，OB=OC，EOB=OBC+C=2C=72， C=36【模擬試題】1. 已知，則正確的結(jié)論是（ ） A. B. C. D. 大小不確定2. 在古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正三角形（如圖）。試問三角形數(shù)的一般表達(dá)式為（ ）A

16、. B. C. D. 3. 一個(gè)正整數(shù)數(shù)表如下（表中下一行中的數(shù)的個(gè)數(shù)是上一行中數(shù)的個(gè)數(shù)的2倍）：第1行1第2行2，3第3行4，5，6，7 則第8行中的第5個(gè)數(shù)是（ ）A. 68 B. 132 C. 133 D. 2604. 下列三句話按三段論的模式排列順序正確的是（ ） 2006能被2整除； 一切偶數(shù)都能被2整除； 2006是偶數(shù)A. B. C. D. 5. 個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表根據(jù)規(guī)律，從2002到2004，箭頭的方向依次為（ ）A. B. C. D. 6. 六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體。如圖甲，在平行四邊形ABCD中，有AC2+BD2=2（AB2+AD2），那么在圖乙

17、中所示的平行六面體ABCDA1B1C1D1中，等于（ ）A. B. C. D. 7. 把數(shù)列依次按第一個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)二個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)四個(gè)數(shù)，第五個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)，循環(huán)分為（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），則第104個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和為（ ） A. 2036 B. 2048 C. 2060 D. 20728. 有一個(gè)奇數(shù)列1，3，5，7，9，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個(gè)數(shù)1，第二組含兩個(gè)數(shù)3，5；第三組含三個(gè)數(shù)7，9，11；試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與其組的

18、編號(hào)數(shù)有什么關(guān)系（ ） A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 等于9. 在RtACB中，C=90，CDAB于D，若BD：AD=1：4，則的值是（ ）A. B. C. D. 210. 如圖所示，ABCD中，G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG與BD交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，則圖中相似三角形共有（ ）A. 3對(duì) B. 4對(duì) C. 5對(duì) D. 6對(duì)11. ABC中，DE/BC，若AE：EC=1：2，且AD=4cm，則DB等于（ ） A. 2cm B. 6cm C. 4cm D. 8cm12. 如圖所示，梯形ABCD中，AD/BC，AD：BC=，中位線EF=m，則圖示MN的長(zhǎng)是（ ）A. B. C. D.

19、13. 兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線之比為3：4，周長(zhǎng)之和是35，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別是（ ） A. 13和22 B. 14和21 C. 15和20 D. 16和1914. 如圖所示，AD/EF/BC，GH/AB，則圖中與BOC相似的三角形有（ ）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)15. ABC，AD和分別是ABC和的角平分線，且AD：=5：3，下面給出四個(gè)結(jié)論（ ） ABC的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)之比為5：3 ABC與的對(duì)應(yīng)高之比為5：3 ABC與的對(duì)應(yīng)中線之比為5：3其中正確的有（ ）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)16. 在ABC中，BAC=90，AD是BC邊上的高

20、，下圖中相似三角形共有（ ）A. 4對(duì) B. 3對(duì) C. 2對(duì) D. 1對(duì)17. D、E、F是ABC的三邊中點(diǎn)，設(shè)DEF的面積為4，ABC的周長(zhǎng)為9，則DEF的周長(zhǎng)與ABC的面積分別是（ ） A. B. 9，4 C. D. 18. 如圖所示，AB/EF/CD，已知AB=20，DC=80，BC=100，那么EF的值是（ ）A. 10 B. 12 C. 16 D. 1819. 如圖所示，在ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：CE=2：3，連結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則等于（ ）A. 4：10：25 B. 4：9：25 C. 2：3：5 D. 2：5：2520. 兩個(gè)相似三角形的面積分別為9cm2和25cm2，它們的周長(zhǎng)相差6cm，則較大的三角形的周長(zhǎng)為 cm。21. 如圖所示，四邊形ABCD是矩形，BEF=90，這四個(gè)三角形能相似的是 。22. 如圖所示，平行四邊形ABCD中，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)