高考數學復習點撥 簡易邏輯中的典型錯誤剖析

1、簡易邏輯中的典型錯誤剖析學習簡易邏輯可以使我們增強判斷是非的能力和推理能力.但由于內容比較抽象,初學者易出現理解上的錯誤,下舉例說明.例1 試判斷下列語句是否構成命題:（1）難道0不是偶數嗎?（2）>0；（3）.錯解:由于語句(1)是問句,所以不是命題;而(2)、(3)兩句表示均給出了判斷所以都是命題。剖析：命題的定義是：可以判斷真假的語句叫命題。因此語句是否構成命題，關鍵在于能否判斷其真假。語句（1）是反問句，其實質是表示“0是偶數”這一判斷，因此是命題，并且是真命題；語句（2）中，在沒有給出的范圍之前無法判斷其真假，因此該句不構成命題（稱為開語句）；而語句（3）中，雖然也沒有給出的范

2、圍，但對一切實數恒成立，因此該語句構成命題，且是真命題。例2 試判斷下列命題是簡單命題還是復合命題：（1）65；（2）有兩個角是45°的三角形是等腰直角三角形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。錯解：由于命題（1）與（2）沒有邏輯聯結詞，因此都是簡單命題；而命題（3）含有邏輯聯結詞“且”，因此該命題是復合命題。剖析：要判斷一個命題是簡單命題還是復合命題，不能只形式上看字面中有沒有邏輯聯結詞，而是在準確理解復合命題的概念的基礎上看其實質。復合命題“p或q”、“p且q”是指用“或”與“且”聯結兩個命題p、q，而構成新的命題。命題（1）雖然字面上沒有“或”、“且”邏輯聯結詞，但

3、它實質上表示：6大于或等于5，即是由p：6>5、q:6=5構成的一個“p或q”形式的復合命題；同樣，命題（2）是由p：有兩個角是45°的三角形是等腰三角形、q: 有兩個角是45°的三角形是直角三角形構成的一個“p且q”形式的復合命題；命題（3）中的“且”并非邏輯連接詞，而是與自然語言中的連詞“和”含義相同，正像“小李和小王是一對夫妻”中的“和”一樣。所以命題（3）是簡單命題。例3 命題“方程的兩個根是或”是簡單命題嗎？錯解：該命題是簡單命題。這是因為，若是復合命題，則有p：方程的根是；q方程的根是；p或q：方程的兩個根是或。由于這里p、q均是假命題，而“p或q”卻是真

4、命題，這顯然是矛盾的。因此該命題是簡單命題。剖析：命題中的“或”顯然是邏輯聯結詞，而不是自然語言中連詞，因此該命題是復合命題。錯解只是從形式上進行轉化分析，并沒有抓住實質。該命題在實質上等價于“方程有一個根是或方程有一個根是”，因此該命題是 “p或q”形式的復合命題。例4 寫出下列命題的否定命題： （1）0和2都是偶數；（2）三角形至多有一個內角是鈍角；（3）有些三角形是銳角三角形；（4）實數的平方是非負數。錯解：否定命題分別是：（1）0和2都不是偶數；（2）三角形至少有一個內角是鈍角；（3）有些三角形不是銳角三角形；（4）實數的平方是非正數。剖析：一個命題的否定命題與原來的命題是一真一假，一

5、假一真，構成一對矛盾命題。因此在構成否定命題時，不能簡單地把原來命題中的“是”該成“不是”，“多”該成“少”等，而是要注意構成兩個命題間的矛盾關系。理解并掌握下列詞語的否定很有用處： 詞語是都是一定是至少有一個至多有一個大于（）小于（）且詞語的否定不是不都是一定不是一個也沒有至少有兩個不大于（）不小于（）或正確答案應該是：（1）0和2不都是偶數；（2）三角形至少有兩個內角是鈍角；（3）所有的三角形都不是銳角三角形；（4）存在一個實數的平方是負數。例5 寫出下列命題的否定命題：（1）若，則且；（2）若1是偶數，則4是偶數。錯解：否定命題分別是：（1）若，則或；（2）若1是偶數，則4不是偶數。剖析：一個命題的否定與該命題的否命題并不等價?！叭魀則q”型命題的否命題是“若非p則非q”，但否定命題應該是“p則非q”，注意不能寫成“若p則非q”。因此錯解的錯誤在于：命題（1）的否定誤寫為原命題的否命題；命題（2）錯寫成了 “若p則非q”的形式。我們說過，命題與該命題的否定應該是一真一假，一假一真，構成矛