求數(shù)列通項公式的十種方法例題答案詳解

1、求數(shù)列通項公式的十一種方法（方法全，例子全，歸納細(xì)）總述：一利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項的11種方法：累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法）、迭代法、對數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、換元法（目的是去遞推關(guān)系式中出現(xiàn)的根號）、數(shù)學(xué)歸納法、不動點法（遞推式是一個數(shù)列通項的分式表達(dá)式）、特征根法二。四種基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列及其廣義形式。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項公式的最基本方法。 三 求數(shù)列通項的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過變形，代換轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列。 四求數(shù)列通項的基本方法是：累加法和累乘法。 五數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)

2、，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。一、累加法 1適用于： -這是廣義的等差數(shù)列 累加法是最基本的二個方法之一。2若，則 兩邊分別相加得 例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一：由得則所以解法二：兩邊除以，得，則，故因此，則評注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項.若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。例3

3、.已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項公式.解:由已知得,化簡有,由類型(1)有,又得,所以,又,則此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來求解.二、累乘法 1.。 -適用于： -這是廣義的等比數(shù)列累乘法是最基本的二個方法之二。2若，則兩邊分別相乘得，例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為例5.設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且（=1，2， 3，），則它的通項公式是=_.解：已知等式可化為：()(n+1), 即時，=.評注：本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過因式分解（一般情況時用求根公式）得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.練習(xí).已知,求數(shù)列an的通項公式.答案：-1.評注：本題解

4、題的關(guān)鍵是把原來的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若令,則問題進一步轉(zhuǎn)化為形式，進而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項公式.三、待定系數(shù)法 適用于 基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。1形如,其中)型（1）若c=1時，數(shù)列為等差數(shù)列;（2）若d=0時，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.待定系數(shù)法：設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得,所以所以有：因此數(shù)列構(gòu)成以為首項，以c為公比的等比數(shù)列，所以 即：.規(guī)律：將遞推關(guān)系化為,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從而求得通項公式逐項相減法（階差法）：有時我們從遞推關(guān)系中把n換成n-1有,兩式

5、相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進而求得通項公式. ,再利用類型(1)即可求得通項公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.例6已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解法一： 又是首項為2，公比為2的等比數(shù)列 ，即解法二： 兩式相減得，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，再用累加法的練習(xí)已知數(shù)列中，求通項。答案：2形如： (其中q是常數(shù)，且n0,1) 若p=1時，即：，累加即可.若時，即：，求通項方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列即： ,令，則,然后類型1，累加求通項.ii.兩邊同除以 . 目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。 即： ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，iii.

6、待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項.注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時，要求pq，否則待定系數(shù)法會失效。例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)，比較系數(shù)得，則數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即解法二（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略解法三（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略3形如 (其中k,b是常數(shù)，且)方法1：逐項相減法（階差法）方法2：待定系數(shù)法通過湊配可轉(zhuǎn)化為 ; 解題基本步驟：1、確定=kn+b2、設(shè)等比數(shù)列，公比為p3、列出關(guān)系式,即4、比較系數(shù)求x,y5、解得數(shù)列的通項公式6、解得數(shù)列的通項

7、公式例8 在數(shù)列中，求通項.（逐項相減法）解：， 時，兩式相減得 .令,則利用類型5的方法知 即 再由累加法可得. 亦可聯(lián)立 解出.例9. 在數(shù)列中，,求通項.（待定系數(shù)法）解：原遞推式可化為比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為所以是一個等比數(shù)列，首項,公比為. 即：故.4形如 (其中a,b,c是常數(shù)，且)基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè) 比較系數(shù)得， 所以 由，得則，故數(shù)列為以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。5.形如時將作為求解分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。

8、例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)比較系數(shù)得或，不妨取，（取-3 結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同）則，則是首項為4，公比為3的等比數(shù)列，所以練習(xí).數(shù)列中，若,且滿足,求.答案： .四、迭代法 (其中p,r為常數(shù))型例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以又，所以數(shù)列的通項公式為。注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。五、對數(shù)變換法 適用于(其中p,r為常數(shù))型 p>0， 例14. 設(shè)正項數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設(shè)，則 是以2為公比的等比數(shù)列， ，練習(xí) 數(shù)列中，（n2），求數(shù)列的通項公式. 答案：例15 已知數(shù)列滿

9、足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以。兩邊取常用對數(shù)得設(shè)（同類型四）比較系數(shù)得， 由，得，所以數(shù)列是以為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。六、倒數(shù)變換法 適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項例16 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項，公差為，七、換元法 適用于含根式的遞推關(guān)系例17 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則代入得即因為， 則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。八、數(shù)學(xué)歸納法 通過首項和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n項，猜出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。例18 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由及，得由此

10、可猜測，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。（1）當(dāng)時，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，則當(dāng)時，由此可知，當(dāng)時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。九、階差法（逐項相減法） 1、遞推公式中既有，又有 分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。例19 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前n項和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式。解：對任意有 當(dāng)n=1時，解得或當(dāng)n2時， -整理得：各項均為正數(shù)，當(dāng)時，此時成立當(dāng)時，此時不成立，故舍去所以練習(xí)。已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項公式.答案： 2、對無窮遞推數(shù)列例20 已知數(shù)列滿足，求的通項公式。解：因為所以用式式

11、得則 故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項公式為十、不動點法 目的是將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列的方法不動點的定義：函數(shù)的定義域為，若存在，使成立，則稱為的不動點或稱為函數(shù)的不動點。分析：由求出不動點，在遞推公式兩邊同時減去，在變形求解。類型一：形如例21 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解：遞推關(guān)系是對應(yīng)得遞歸函數(shù)為，由得，不動點為-1，類型二：形如分析：遞歸函數(shù)為（1）若有兩個相異的不動點p,q時，將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動點p,q，再將兩式相除得，其中，（2）若有兩個相同的不動點p，則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動點p，然后用1除，得，其中。例22. 設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式.分

12、析：此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解.解：對等式兩端同時加參數(shù)t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首項為，公比為的等比數(shù)列, =, 解得.方法2：，兩邊取倒數(shù)得，令b，則b,轉(zhuǎn)化為累加法來求. 例23 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點。因為。所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，則。十一。特征方程法 形如是常數(shù)）的數(shù)列 形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征方程為若有二異根，則可令是待定常數(shù)）若有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進而求得例24 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得， 例25、數(shù)列滿足，且求數(shù)列的通項。解：令，解得，將它們代回得，÷，得,則