課例研究直線的點(diǎn)方向式方程

1、課例研究：直線的點(diǎn)方向式方程數(shù)學(xué)教研組 孫賢歡現(xiàn)有教師在職教育雖形勢多樣，但效果頗難如愿，多數(shù)參與培訓(xùn)的教師依然很難將所培訓(xùn)的知識和技能應(yīng)用到日常課堂之上。以“課例”為載體、在教學(xué)行動(dòng)中開展包括專業(yè)理論學(xué)習(xí)在內(nèi)的教師教育行動(dòng)教育模式，既利于提高課堂教學(xué)實(shí)效，又利于教師的專業(yè)成長。2006年，學(xué)校開展課例學(xué)習(xí)活動(dòng)，又恰逢筆者要參加區(qū)里面的教學(xué)比武，所以正好利用此次機(jī)會(huì)，把筆者在學(xué)校里面的試講改進(jìn)方案一一詳細(xì)記錄，作為一次課例分析的嘗試。 筆者所選擇的課題為直線方程，直線這一章節(jié)的核心思想是：通過坐標(biāo)把幾何問題表示成代數(shù)問題，然后通過方程來研究直線！直線是解析幾何中最基本而內(nèi)涵豐富，應(yīng)用廣泛的內(nèi)容

2、之一，同時(shí)也是應(yīng)用解析法解決平面幾何問題的基礎(chǔ)，涉及角，距離的計(jì)算和平行垂直的判斷，不但是重要的知識點(diǎn)，更是進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線的基本工具。原計(jì)劃設(shè)計(jì)方案：在新教材中，用向量方法推導(dǎo)直線方程體現(xiàn)了從幾何角度分析，確定直線需要兩個(gè)獨(dú)立的條件（位置和方向），利用給定的條件，通過向量平行和垂直的充要條件（對應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系式）推導(dǎo)出直線的點(diǎn)方向式方程、點(diǎn)法向式方程。我們用向量工具推導(dǎo)直線方程，不僅形式十分簡潔明了，而且能充分認(rèn)識字母系數(shù)的含義，這對以后學(xué)習(xí)直線的一般式以及位置關(guān)系有十分重要的意義！對于學(xué)生而言，初中時(shí)已學(xué)過一次函數(shù)、正比例函數(shù)這兩種形式的直線方程，對于直線有一定的了解，而本堂課是讓學(xué)生了解

3、直線的兩種新的的形式：點(diǎn)方向式、點(diǎn)法向式！初中時(shí)候?qū)W生學(xué)習(xí)的直線方程是模糊的，而通過這節(jié)課，要讓學(xué)生能夠清楚的明白何謂直線方程，徹底明白直線與方程之間需滿足怎樣的關(guān)系才能夠稱為直線方程！所以這節(jié)課的重點(diǎn)為：直線方程的意義以及直線的點(diǎn)方向式、點(diǎn)法向式方程。難點(diǎn)為：直線方程的意義。主要流程如下：一次函數(shù)、正比例函數(shù)引入兩點(diǎn)確定一條直線，拿掉一點(diǎn)行嗎？換一個(gè)這樣的條件也同樣能夠確定一條直線呢？（板書）利用向量平行的性質(zhì)讓學(xué)生探究推導(dǎo) “點(diǎn)方向式方程”直線方程定義解決例題1：已知點(diǎn)和，求經(jīng)過點(diǎn)且與平行的直線的點(diǎn)方向式方程？變式：求經(jīng)過點(diǎn)和的直線的點(diǎn)方向式方程！例題2：讓學(xué)生用類比的方法推導(dǎo)：點(diǎn)法向式方

4、程例題3：已知點(diǎn)，求的垂直平分線的點(diǎn)法向式方程小結(jié)作業(yè)對于點(diǎn)方向式的推導(dǎo)，我采取引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)的策略，而對于點(diǎn)法向式，就完全由學(xué)生類比點(diǎn)方向式的推導(dǎo)，讓學(xué)生自己探究，自己感悟。在講直線與方程關(guān)系的時(shí)候，先講定義，再舉一個(gè)例子，并借助于圖象來說明直線與方程的關(guān)系，從而由特殊到一般，通過證明來說明是所求的直線方程！第一次記錄：在高二（10）班第一次試講時(shí)，學(xué)生基本上按照我所設(shè)計(jì)的方案有條不紊的進(jìn)行，學(xué)生在探究點(diǎn)方向式方程以及用類比的方法來研究點(diǎn)法向式方程時(shí)都能積極主動(dòng)參與，達(dá)到了我所預(yù)定的目標(biāo)。但是在講直線方程的定義時(shí)，從學(xué)生的反應(yīng)當(dāng)中能夠感覺到學(xué)生并沒有真正的理解掌握。原因有兩個(gè)方面：一、以往在初

5、中的教學(xué)過程中已經(jīng)用到了直線方程這一個(gè)概念，學(xué)生認(rèn)為在這邊再給它定義，老師是不是多此一舉。二、概念本身比較抽象，要充分理解方程的“解”和圖形的“點(diǎn)”之間的關(guān)系。除此之外，在例1的變式中，有的人選擇用點(diǎn)，有的用，從表達(dá)式上講是不一樣的，當(dāng)我讓學(xué)生來解釋時(shí)，可喜的是一部分學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)通過化簡后是同一個(gè)方程，于是我借助于學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，總結(jié)為：同一條直線可以有不同的點(diǎn)方向式方程。在評課的過程中，各位老師給我提出了一些寶貴的意見，本人根據(jù)學(xué)生狀況并確立了解決的方案：1、例題1中可以再變式：求一條中位線的點(diǎn)方向式方程，有助于原例題與兩變式之間比較。2、板書時(shí)：已知兩點(diǎn)能確定一條直線，當(dāng)問到拿掉一個(gè)點(diǎn)換一個(gè)怎

6、樣的條件也能確定直線時(shí)，在黑板上可以擦掉一個(gè)點(diǎn)，這樣比較生動(dòng)形象而且有助于學(xué)生想到再加一個(gè)條件（方向）。3、 在探究例題2時(shí)，多給學(xué)生一點(diǎn)時(shí)間并最終讓學(xué)生上黑板寫出點(diǎn)法向式的推導(dǎo)過程！4、講直線方程時(shí)，該部分各評課老師之間的觀點(diǎn)是比較有爭議的，有的老師認(rèn)為要詳講，是一個(gè)新的重要的概念。有的老師認(rèn)為在這邊只需要略講，因?yàn)檎n本后面還有一節(jié)課：曲線與方程，到時(shí)再講的透徹些。最終考慮到本堂課的側(cè)重點(diǎn)放在點(diǎn)方向式方程比較合適，所以選擇了略講。然后借助于一個(gè)簡單的直線方程和它的圖形來進(jìn)行說明。5、本堂課容量過多，不易于學(xué)生真正的理解并掌握。各評課老師經(jīng)過討論后例題準(zhǔn)備重新安排，點(diǎn)法向式不準(zhǔn)備講！在各位老師

7、的指導(dǎo)之下，我準(zhǔn)備重新設(shè)計(jì)這堂課程，整個(gè)流程如下：一次函數(shù)、正比例函數(shù)引入兩點(diǎn)確定一條直線，拿掉一點(diǎn)行嗎？換一個(gè)這樣的條件也同樣能夠確定一條直線呢？（板書）利用向量平行的性質(zhì)讓學(xué)生探究推導(dǎo) “點(diǎn)方向式方程”直線方程定義例題1：觀察下列直線方程，并指出各直線必過的點(diǎn)和它的一個(gè)方向向量？ 例2：已知點(diǎn)和，求經(jīng)過點(diǎn)且與平行的直線的點(diǎn)方向式方程？變式1：求經(jīng)過點(diǎn)、C兩點(diǎn)的直線的點(diǎn)方向式方程？變式2：求 中，平行于邊的中位線所在直線的點(diǎn)方向方程？例題3：能否把直線方程化為點(diǎn)方向式方程？若能，它的點(diǎn)方向式方程是否唯一？并觀察x、y的系數(shù)與方向向量有什么聯(lián)系？（探究性學(xué)習(xí)）小結(jié)作業(yè) 重新定義教學(xué)重點(diǎn)為：直線

8、的點(diǎn)方向式方程。教學(xué)難點(diǎn)為：理解直線方程以及點(diǎn)方向式方程的推導(dǎo)。 第二次記錄：在高二（13）班再上這堂課時(shí)，相對前一次相比，課的容量減少，難度降低，前一次所出現(xiàn)的問題也能夠基本上得到改善，整個(gè)教學(xué)過程也比較舒暢。但是上課時(shí)學(xué)生與老師的語言交流還不夠，缺乏一些默契。我自己分析了一下，可能是該班并不是我是任課老師造成的，而上一次的高二（10）班是我與學(xué)生之間經(jīng)過了半個(gè)學(xué)期的磨合，所以比較順手。在例題2的變式3中，學(xué)生甲是通過求出兩中點(diǎn)再轉(zhuǎn)化為變式2中的已知兩點(diǎn)求直線方程的，當(dāng)我問及有沒有不同解法時(shí)，很激動(dòng)的能夠看到一部分同學(xué)提出只需要求一個(gè)中點(diǎn)，然后利用作為方向向量即可?？梢娺@一部分同學(xué)是真正掌握

9、了直線的點(diǎn)方向式方程的精髓：一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)方向。在和各位聽課老師交流后，針對這堂課所存在的問題我制定了新的策略：1、在對的分類討論時(shí)，把這種情況放在最后一類，便于和例題1直接產(chǎn)生聯(lián)系。有助于學(xué)生解答輕松的解決例題1。2、講直線方程時(shí)還需要精煉！經(jīng)過各位老師的討論，最終決定就按照書上兩句話：以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，曲線上的點(diǎn)都是方程的解，然后直接給出定義！不要特意展開，否則一發(fā)不可收，并提示學(xué)生后面在講曲線與方程將重點(diǎn)講，有興趣的同學(xué)課后可以先看書本。3、在解題和探究的過程中，圍繞點(diǎn)方向式方程的特點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)方向展開。這樣就能夠讓學(xué)生不斷的感悟到，點(diǎn)方向式方程的特點(diǎn)：一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)方向。

10、4、在例題3的探究活動(dòng)中，考慮到部分學(xué)生并不能夠探究出結(jié)論或者不會(huì)歸納結(jié)論，所以準(zhǔn)備先讓學(xué)生獨(dú)立探究，再以四人為一個(gè)小組團(tuán)隊(duì)討論，最終由學(xué)生說出結(jié)論。這樣既能夠培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神又能夠達(dá)到我所預(yù)定的例題目標(biāo)。第三次記錄：最后一堂課放在高二（9）班，感覺上的很熟練，思路也較清晰。以往所出現(xiàn)的問題都一一得到了明顯的改善，但讓學(xué)生探究例3的時(shí)候，我發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生模仿例2中變式1的結(jié)論，直接得到和兩個(gè)點(diǎn)方向式方程。如果有下一次上該堂課的機(jī)會(huì)，我準(zhǔn)備換一個(gè)方程讓學(xué)生進(jìn)行探究！一方面便于學(xué)生化為點(diǎn)方向式方程，一方面防止學(xué)生參照例題2的變式1，對于學(xué)生主體而言并沒有積極思考！直線的方程這一堂課我共上了3

11、次，有點(diǎn)遺憾就是沒有想到一個(gè)合適的引入，通過初中的一次函數(shù)引入，感覺上有點(diǎn)枯燥。后來我想到了這樣的一個(gè)引例：南橋鎮(zhèn)在爭創(chuàng)全國文明鎮(zhèn)的過程中，要給參觀者介紹南橋各主要道路的地理位置，比如如何介紹人民路呢？學(xué)生會(huì)說：由北向南（方向）；人民路上有金葉商廈（點(diǎn)）等從而發(fā)現(xiàn)：一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向能夠確定一個(gè)平面。這樣就能夠讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)來源于生活，運(yùn)用于生活！也較符合二期課改精神！ 收獲感悟：通過這次課例分析，我發(fā)現(xiàn)自己不知不覺成長了許多，同樣一堂課，從我最初的個(gè)人設(shè)計(jì)，通過各位同事的幫助下，再經(jīng)過自己不斷的反思，逐步的完善了這樣一堂課，最終的這堂課的教案可以說是集中了我們整個(gè)數(shù)學(xué)備課組智慧的精華。從我個(gè)

12、人角度出發(fā)，也有了很多收獲：1、一個(gè)青年教師在面對某些教學(xué)問題時(shí)，由于缺乏經(jīng)驗(yàn)總會(huì)擔(dān)心自己所選擇的處理方式是否正確，也無法預(yù)見上課時(shí)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)的問題。但通過課例研究，反復(fù)的上同一堂課，面對不同學(xué)生的不同想法采取不同的方法，從而積累寶貴的教學(xué)應(yīng)變能力。2、課例研究的整個(gè)過程其實(shí)也是一個(gè)讓教師發(fā)現(xiàn)自己、肯定自己，完善自己，發(fā)展自己，增強(qiáng)教師的個(gè)人成就感，增強(qiáng)教師的合作意識，引導(dǎo)老師自主提高知識素養(yǎng)、業(yè)務(wù)能力、科研水平的過程。對于我這樣的青年教師而言，特別能夠促進(jìn)成長！3、通過這一次的課例研究，從中我也發(fā)現(xiàn)了作為一個(gè)青年教師自身還存在著許多不足之處，相比較一些經(jīng)驗(yàn)豐富的老師而言，各方面還存在著很大的

13、差距。所以在以后的教學(xué)過程中，要多進(jìn)行課例研究，不斷的完善自己。4、對于同一堂課，每位教師總有自己的設(shè)計(jì)方案，正所謂“仁者見仁，智者見智”。作為我們青年教師而言，平時(shí)一定要多思考，多研究，反復(fù)推敲，正如課例分析一樣，這樣才能使自己的教學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì)在原有的基礎(chǔ)上面不斷的提高。附：詳細(xì)教案課題：直線的方程直線的點(diǎn)方向式方程教學(xué)目標(biāo)：1、理解直線方程的意義，掌握直線的點(diǎn)方向式方程。2、學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和探究能力的培養(yǎng)。 3、培養(yǎng)學(xué)生探究新事物的欲望，獲得成功的體驗(yàn)，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。教學(xué)重點(diǎn)：直線的點(diǎn)方向式方程。教學(xué)難點(diǎn)：理解直線方程以及點(diǎn)方向式方程的推導(dǎo)。教學(xué)過程：師：在我們

14、以前所學(xué)的函數(shù)中，哪些函數(shù)的圖象是直線？生：一次函數(shù)師：那么怎樣才能夠確定一條直線呢？生：兩點(diǎn)能夠確定一條直線！（板書：畫平面直角坐標(biāo)系、兩點(diǎn)以及這兩點(diǎn)所確定的直線）師：兩點(diǎn)能夠確定一條直線，假如拿掉一個(gè)點(diǎn)（板書：擦掉一個(gè)點(diǎn)），換一個(gè)怎樣的條件，那么也能夠確定一條直線呢？ 生：方向xLOy師：很好，那么今天我們主要研究一下當(dāng)一條直線的方向和一個(gè)非零向量平行的情況！ 已知：直線過點(diǎn)，且與非零向量平行，求：直線上任意一點(diǎn)滿足的關(guān)系式？ 同時(shí)我給出方向向量的定義！ 解：點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，易得向量， 結(jié)合圖形：師：直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)是否都滿足方程？ 生：是！ 師：那么，以方程的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都

15、在直線上？生：是！師：這樣就建立了直線上所有點(diǎn)組成的集合與方程的解的集合之間的對應(yīng)關(guān)系。我們把方程叫做直線的方程，把直線叫做方程的圖形！師：接著我們來進(jìn)一步的研究 ，當(dāng)時(shí)，方程可化為什么形式？ 生： 利用圖形解釋：表示過，平行于軸的一條直線師： 時(shí)呢？生： 利用圖形解釋：表示過，平行于軸的一條直線師： 時(shí)呢？生： （積的形式轉(zhuǎn)化為商的形式）師：我們把稱為：直線的點(diǎn)方向式方程 思考：它能夠表示所有的直線嗎？形式的特點(diǎn)？需要哪些量？如果忘記了，怎么辦？例題1：觀察下列直線方程，并指出各直線必過的點(diǎn)和它的一個(gè)方向向量？ 解：經(jīng)過點(diǎn)，它的一個(gè)方向向量是化簡得到：，從中可見該直線經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)方向向量是數(shù)形結(jié)合解題，并點(diǎn)名方向向量的特點(diǎn)！有無數(shù)個(gè)方向向量！小結(jié)：通過直線的點(diǎn)方向式方程，可以判斷一條直線經(jīng)過的一個(gè)點(diǎn)和它的方向向量。例題2：已知點(diǎn)和，求經(jīng)過點(diǎn)且與平行的直線的點(diǎn)方向式方程？ （問：過點(diǎn)B與AC平行的直線） 解： ， M O N x三個(gè)方面講解：點(diǎn)、方向、點(diǎn)方向式方程。 變式1：求經(jīng)過點(diǎn)、C兩點(diǎn)的直線的點(diǎn)方向式方程？解： ， 思考：有沒有別的表達(dá)方式？是否一樣呢 ？不妨化簡，得到的都是：變式2：求 中，平行于邊的中位線所在直線的點(diǎn)方向方程？解：的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則小結(jié)：這三類題目的特點(diǎn)與解法！