七年級(jí)數(shù)學(xué)三角形內(nèi)角和定理的證明與應(yīng)用課件 華師版

1、 一、一、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)“三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理” 我們已經(jīng)知道：我們已經(jīng)知道：三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180180。 即：在即：在ABCABC中，中， 有有A+B+C=180A+B+C=180 ACBABC二、二、論證論證“三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理”怎樣驗(yàn)證三角形怎樣驗(yàn)證三角形的三個(gè)角的和等于的三個(gè)角的和等于180180呢？呢？ A B C 1 2 D E 你試過(guò)了嗎？你試過(guò)了嗎？. 在前面我們是采用拼接的方法來(lái)說(shuō)明的。在前面我們是采用拼接的方法來(lái)說(shuō)明的。 但是組成的但是組成的BCBC和和CDCD真的就是一條直真的就是一條直線嗎？線嗎？ A B C 1 2

2、 D E 很明顯，這是無(wú)法確定的很明顯，這是無(wú)法確定的 如果如果ABCABC是畫(huà)在一塊不能分割的平面上，如是畫(huà)在一塊不能分割的平面上，如在黑板上，這時(shí)就不可能做到把在黑板上，這時(shí)就不可能做到把AA、BB撕下來(lái)再撕下來(lái)再分別放在分別放在11、22的位置上，那么又如何論證的位置上，那么又如何論證A+B+C= 180A+B+C= 180呢？呢？ A B C 1 2 D E 言必有言必有“據(jù)據(jù)” 回顧與思考回顧與思考w 我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1801800 0. .你還記得這個(gè)你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過(guò)程嗎結(jié)論的探索過(guò)程嗎? ?112ABD23C(1)(1)如圖如圖

3、, ,當(dāng)時(shí)我們是當(dāng)時(shí)我們是把把AA移到了移到了11的位的位置置,B,B移到了移到了22的位的位置置. .如果不實(shí)際移動(dòng)如果不實(shí)際移動(dòng)AA和和B,B,那么你還有那么你還有其它方法可以其它方法可以 達(dá)到同達(dá)到同樣的效果樣的效果? ?(2)(2)根據(jù)前面的公理和定理根據(jù)前面的公理和定理, ,你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)說(shuō)這一你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)說(shuō)這一結(jié)論的證明思路嗎結(jié)論的證明思路嗎? ?你能用比較簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言寫出這一證明你能用比較簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言寫出這一證明過(guò)程嗎過(guò)程嗎? ?與同伴交流與同伴交流. .三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1801800 0. .“行家”看“門道”

4、w已知已知:如圖如圖, A A、BB、CC 是是ABC的三內(nèi)角的三內(nèi)角. 求證求證:A+B+C=A+B+C=1800.w證明證明:作作BC的延長(zhǎng)線的延長(zhǎng)線CD,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作作CEAB,則則 例題例題欣賞欣賞P207w 你還有其它方法來(lái)證明三角形內(nèi)角和定理嗎你還有其它方法來(lái)證明三角形內(nèi)角和定理嗎?.w 1=A(兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等),w 2= B(兩直線平行兩直線平行,同位角相等同位角相等).w 又又1+2+33=1800 (平角的定義平角的定義),w A+B+ACBACB=1800 (等量代換等量代換).w分析分析: :延長(zhǎng)延長(zhǎng)BCBC到到D,D,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C C作作射線射

5、線CEAB,CEAB,這樣這樣, ,就相當(dāng)于就相當(dāng)于把把AA移到了移到了11的位置的位置, ,把把BB移到了移到了22的位置的位置. .這里的這里的CD,CE稱為稱為輔助線輔助線,輔助輔助線通常畫(huà)成線通常畫(huà)成虛線虛線.ABCE213D一題 多解w在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí),小明的想法是把三個(gè)角小明的想法是把三個(gè)角“湊湊”到到A處處,他過(guò)點(diǎn)他過(guò)點(diǎn)A作直線作直線PQBC(如圖如圖),他的想法可他的想法可以嗎以嗎?議一議議一議P208w請(qǐng)你幫小明把想法化為實(shí)際行動(dòng)請(qǐng)你幫小明把想法化為實(shí)際行動(dòng).w小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí),由此你由此你受到什么啟發(fā)受到什么啟發(fā)?

6、你有新的證法嗎你有新的證法嗎?w證明證明:過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A作作PQBC,則則ABCw 1=B(兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等),w 2=C(兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等),w 又又1+2+33=1800 (平角的定義平角的定義),w BAC+B+CC=1800 (等量代換等量代換).所作的輔助所作的輔助線是證明的線是證明的一個(gè)重要組一個(gè)重要組成部分成部分,要在要在證明時(shí)首先證明時(shí)首先敘述出來(lái)敘述出來(lái).PQ231ABC已知：如圖，已知：如圖，A B C.求證：求證：A +B +C=180開(kāi)啟 智慧還有其他證明方法嗎？還有其他證明方法嗎？“行家行家”看看“門門道道”w根據(jù)下面的

7、圖形根據(jù)下面的圖形,寫出相應(yīng)的證明寫出相應(yīng)的證明. 試一試試一試P211w 你還能想出其它證法嗎你還能想出其它證法嗎?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRMABC證明證明：過(guò)：過(guò)A作作AEBC，EB=BAE(兩直線平行兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等) EAB+BAC+C=180(兩直線平行兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ))B+C+BAC=180 (等量代換等量代換)開(kāi)啟 智慧ABCPQR證明證明：過(guò)：過(guò)點(diǎn)點(diǎn)P作作PQ AC交交AB于于Q點(diǎn)，點(diǎn)， 作作PR AB交交AC于于R點(diǎn)。點(diǎn)。四邊形四邊形AQPR是平行四邊形是平行四邊形 （平行四邊形的定義）（平行四邊

8、形的定義） QPR= A （平行四邊形的對(duì)角相等）（平行四邊形的對(duì)角相等） RPC= B（兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，同位角相等） QPB= C（兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，同位角相等） QPB+ QPR + RPC=180 （1平角平角=180 ） A+ B+ C=180 （等量代換）（等量代換） EBC+ FCB=180 EBC+ FCB=180 （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)） 即即1+ ABC+ ACB+4= 180 1+ ABC+ ACB+4= 180 又又 BAC= 2+ 3BAC= 2+ 3 BAC + ABC + ACB= 180 B

9、AC + ABC + ACB= 180 （等量代換）（等量代換）ABCEDF（123證明：證明：過(guò)過(guò)A A點(diǎn)作射線點(diǎn)作射線ADAD，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作BE ADBE AD，過(guò)，過(guò)C C點(diǎn)作點(diǎn)作CFADCFAD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).).4（則則BE CFBE CF（平行與同一條直線的兩直線平行）（平行與同一條直線的兩直線平行）1=21=2，3=43=4）A證明：證明：E作作BC的延長(zhǎng)線的延長(zhǎng)線CD，在，在ABC的外部，以的外部，以CA為一邊為一邊， CE為另一邊作為另一邊作1=A，則則CEBA (內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).B=2 (兩直線平行，同位

10、角相等兩直線平行，同位角相等).）12又又1+2+ACB=180 (平角的定義平角的定義)A+B+ACB=180 (等量代換等量代換)BCDABCO 在在ABC內(nèi)任找一點(diǎn)內(nèi)任找一點(diǎn)O，連，連 接接 AO、BO 、CO，即把，即把ABC分成三個(gè)三分成三個(gè)三 角形，即角形，即AOB、 AOC、 BOC，由于每個(gè)三角形的內(nèi)角和相等，由于每個(gè)三角形的內(nèi)角和相等，故可得等量關(guān)系故可得等量關(guān)系A(chǔ)OB、 AOC 、BOC 三個(gè)的內(nèi)角和三個(gè)的內(nèi)角和減去減去360就是就是ABC 的內(nèi)角和。的內(nèi)角和。 解：設(shè)解：設(shè)ABC的內(nèi)角和的內(nèi)角和 為為 X ， 于是有方程于是有方程3X 360 =X解得解得 X=180 即

11、三角形的內(nèi)角和為即三角形的內(nèi)角和為180 O三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理w三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1801800 0. .wABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.wA+B+C=A+B+C=1800的幾種變形的幾種變形:wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w這里的結(jié)論這里的結(jié)論, ,以后可以直接運(yùn)用以后可以直接運(yùn)用. . 三種語(yǔ)言

12、三種語(yǔ)言ABC我是最我是最棒的棒的w1.直角三角形的兩銳角之和是多少度直角三角形的兩銳角之和是多少度?等邊三角形的一個(gè)等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角是多少度內(nèi)角是多少度?請(qǐng)證明你的結(jié)論請(qǐng)證明你的結(jié)論.w已知已知:如圖在如圖在ABC中，中，DEBC,DEBC,A=A=600, C=C=700.w求證：求證： ADE=ADE=500. 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)P208DCBAEABCABCw結(jié)論結(jié)論: : 直角三角形的兩個(gè)銳角互余直角三角形的兩個(gè)銳角互余. .以后可以直接運(yùn)用以后可以直接運(yùn)用. .1、直角三角形的兩銳角之和是多少度、直角三角形的兩銳角之和是多少度?等邊三角等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角是多少度形的一個(gè)內(nèi)角是多

13、少度?請(qǐng)證明你的結(jié)論請(qǐng)證明你的結(jié)論. 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)ABC結(jié)論結(jié)論: : 直角三角形的兩個(gè)銳角互余；等邊三直角三角形的兩個(gè)銳角互余；等邊三角形每個(gè)內(nèi)角角形每個(gè)內(nèi)角6060以后可以直接運(yùn)用以后可以直接運(yùn)用. .ABC證明證明：在在ABC中中 A+B+C=180(三角形內(nèi)角和定理）三角形內(nèi)角和定理） C= 90（已知）（已知） A+B+90=180（等量代換）（等量代換） A+B=18090= 90 （等式性質(zhì)）（等式性質(zhì)） 即即A+B=90ABC已知：在已知：在ABC中，中，C 90 求證：求證：AB90 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)證明：證明： DE BC （已知）（已知） AED= C（兩直線平行，同

14、位角相等）（兩直線平行，同位角相等） C=700（已知）（已知） AED= 700 （等量代換）（等量代換） A+ AED+ ADE=1800（三角形的內(nèi)角和定理）（三角形的內(nèi)角和定理） A=600（已知）（已知） ADE=1800600700=500（等量代換）（等量代換） 即即 ADE= 500DCBAE（第（第2題）題）2、已知、已知:如圖在如圖在ABC中，中，DEBC,DEBC,A=A=600, C=C=700. 求證：求證： ADE=ADE=500 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)3 3、如圖，直線、如圖，直線ABABCD,CD,在在ABAB、CDCD外有一點(diǎn)外有一點(diǎn)P P，連結(jié)，連結(jié) PBPB、P

15、DPD，交，交CDCD于于E E點(diǎn)。點(diǎn)。 則則 B B、 D D、 P P 之間是否存在一定的大小關(guān)系？之間是否存在一定的大小關(guān)系？ 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)A AB BC CP PD DE E他們是怎樣的，并加以證明他們是怎樣的，并加以證明？用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)w在在ABC中中,如果如果BC不動(dòng)不動(dòng),把點(diǎn)把點(diǎn)A“壓壓”向向BC,那么當(dāng)點(diǎn)那么當(dāng)點(diǎn)A越越來(lái)越接近來(lái)越接近BC時(shí)時(shí), AA就越來(lái)越大就越來(lái)越大( (越來(lái)越接近越來(lái)越接近181800),而而B(niǎo)B和和 C,C,越來(lái)越小越來(lái)越小( (越來(lái)越接近越來(lái)越接近00).由此你能想到什么由此你能想到什么?w如果如果BC

16、不動(dòng)不動(dòng),把點(diǎn)把點(diǎn)A“拉離拉離”BC,那么當(dāng)那么當(dāng)A越來(lái)越遠(yuǎn)離越來(lái)越遠(yuǎn)離BC時(shí)時(shí),AA就越來(lái)越小就越來(lái)越小( (越來(lái)越接近越來(lái)越接近00),),而而B(niǎo)B和和CC則越來(lái)越大則越來(lái)越大, ,它們的和越來(lái)越接近它們的和越來(lái)越接近1800, 當(dāng)把點(diǎn)當(dāng)把點(diǎn)A A拉到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)拉到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí), ,便有便有ABABAC,AC,BB和和CC成為同旁內(nèi)角成為同旁內(nèi)角, ,它們的和等于它們的和等于181800.由此你由此你能想到什么能想到什么? 讀一讀讀一讀P207CBACBA回味無(wú)窮回味無(wú)窮w掌握幾何命題證明的掌握幾何命題證明的方法方法,步步驟驟,格式格式及及注意事項(xiàng)注意事項(xiàng).w三角形三角形內(nèi)角和定理內(nèi)角和定理.w

17、結(jié)論結(jié)論: : 直角三角形的兩個(gè)銳直角三角形的兩個(gè)銳角互余角互余. .w探索證明的思路的方法探索證明的思路的方法: 由由“因因”導(dǎo)導(dǎo)“果果”, ,執(zhí)執(zhí)“果果”索索“因因”.w與同伴交流與同伴交流, ,你是如何提高證你是如何提高證明命題能力的明命題能力的. .小結(jié)小結(jié) 拓展拓展 我們證明了三角形內(nèi)角和定理。我們證明了三角形內(nèi)角和定理。證明的基本思想是：運(yùn)用輔助線將原證明的基本思想是：運(yùn)用輔助線將原三角形中處于不同位置的三個(gè)內(nèi)角集三角形中處于不同位置的三個(gè)內(nèi)角集中在一起，拼成一個(gè)平角，中在一起，拼成一個(gè)平角，輔助線輔助線是是聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋梁。聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋梁。小結(jié) 拓展小結(jié)：本節(jié)課你有什么收獲？小結(jié)：本節(jié)課你有什么收獲？三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理w三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于三角