等比數(shù)列復(fù)習(xí)

1、等比數(shù)列復(fù)習(xí)1、等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè) 常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示.注意(1)、q是指從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，順序不要錯(cuò)，即q= 獨(dú)他匚NJ前第三匕_(訊A 2).£為-1IJ(2) 、由定義可知，等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都不為 0,因而公比q也不為0.(3) 、公比q可為正數(shù)、負(fù)數(shù)，特別當(dāng)q=1時(shí)，為常數(shù)列ai,ai,;q= 1 時(shí)，數(shù)列為 ai, ai,a 1, ai,(4) 、要證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，必須對(duì)任意nN+,an + i + an=q，或 an+an-i=q (n2

2、) 都成立 .2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式由 a2=aiq, a3=a2q=aiq2, a4=a3q=aiq3, ，歸納出 an=aiqn 1.此式對(duì) n=1 也成立.3、等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù) G,使a, G, b成等比數(shù)列，那么 G叫做a與b的等比中項(xiàng).4、等比數(shù)列的判定方法(1 )、an=ani q (n2), q是不為零的常數(shù)，an詳0 = an是等比數(shù)列.(2 )、an =an-1 a n+1 (n2, a n i,a n,a n+ iM 0) - a n是等比數(shù)列.”(3) 、an=c q n ( c, q均是不為零的常數(shù))=an是等比數(shù)列.5、等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)an為等比數(shù)列

3、，首項(xiàng)為 ai，公比為q.(1) 、當(dāng) q>1, a1>0 或 0<q<1, a1<0 時(shí)，an是遞增數(shù)列；當(dāng) q>1, a1<0 或 0<q<1,a1>0 時(shí)，a n是遞減數(shù) 列；當(dāng)q=1時(shí)，an是常數(shù)列；當(dāng)q<0時(shí)，a n是擺動(dòng)數(shù)列.(2) 、an=am -qnm (m nN*).(3) 、當(dāng) m+ n=p+ q ( m n、q、pN*)時(shí)，有 am - a n=ap - a q._(4) 、a n是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)積相等，且等于首末兩項(xiàng)之積(5) 、數(shù)列入an(入為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；

4、若bn是公比為q'的等比數(shù)列，則_£ 1數(shù)列a n b n是公比為qq'的等比數(shù)列；數(shù)列為 是公比為的等比數(shù)列；|a n|是公比為|q|的等比數(shù)列一(6) 、在an中，每隔k(k N*)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為qk + 1.(7) 、當(dāng)數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列l(wèi)ga n是公差為lgq的等差數(shù)列.(8 )、an中，連續(xù)取相鄰兩項(xiàng)的和(或差)構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列.(9)、若 m n、p (m n、pN*)成等差數(shù)列時(shí)，am、an、ap成等比數(shù)列.&等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式j(luò)X =.由此得ql時(shí)等比數(shù)列a n的前n項(xiàng)

5、和的公式丨'2.1 -因?yàn)閍n=aiqn：所以上面公式還可以寫成1當(dāng) q=1 時(shí)，Sn=nai.7、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的一般形式一般地，如果ai,q是確定的，那么耳=:Q -1-q 1-q 設(shè)4丄則上式可以寫為0二衛(wèi)護(hù)©工。&等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1) 、若某數(shù)列前 n項(xiàng)和公式為Sn=anT(a豐0, ± 1)，則a n成等比數(shù)列(2) 、若數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，貝U Sn+ m=S + qn Sm第(3) 、在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為2n(n N *)，則宀(4) 、Sn亠一Sn孫一&成等比數(shù)列二、舉例講解1、利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算【

6、例1】 在等比數(shù)列a n中，a1+ a2 + a3=3,a 18283=8求通項(xiàng)公式，求 a1a3a5a?a9.解析：設(shè)公比為 q,則由已知得5 20 ® q1W24解即1總=一一F2冷=-(-2嚴(yán)血廠-4(-y %【例2】 有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)成等差，后三個(gè)成等比，首末兩項(xiàng)和37，中間兩項(xiàng)和36，求這四個(gè)數(shù)解析1 ：按前三個(gè)數(shù)成等差可設(shè)四個(gè)數(shù)為：a d,a,a + d, 一；，由已知得：+36-081g = 16或位士 一,則£三4或才=_.4299 81 63 43 故四個(gè)數(shù)対G li 2山"或,T 斗444解析2:按后三個(gè)數(shù)成等比可設(shè)四個(gè)數(shù)為2a aq,a,aq

7、,aq由已知得: 22/一口彳十函=37_y 2 Fr«: 36(g - 73i? + 35 = 0& 36:g =沖冷1 0Plljdf = 16 或口 =4解析3:依條件設(shè)四個(gè)數(shù)分別為 x,y,36 y,37 x,2y-=冇 36- y貝I”»,解瀏呵.1.06-y)2-X37-2、禾U用等比數(shù)列的性質(zhì)解題 .【例3】等比數(shù)列an中，(1)、已知 a24,a5，求通項(xiàng)公式.(2)、已知a3a4a5=8,求a2a3a4asa6的值. stff:（1）也=勺3 q - 丄.2n言（可” 殆陽(yáng)M % 昭 W4昭晦.'.円 2.2 <y住宅-也色=a4 .'.辿爲(wèi)創(chuàng)逖理-323、 如何證明所給數(shù)列是否為等比數(shù)列.1211【例4】設(shè)an是等差數(shù)列，bn （）an，已知bib2b3,bib2b3，求等差數(shù)列的通項(xiàng) 刖2884、利用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算.【例5】 若數(shù)列an成等比數(shù)列，且an>0,前n項(xiàng)和為80，其中最大項(xiàng)為54,前2n項(xiàng)之和為6560,求Soo=?5、 利用an，S的公式及等比數(shù)列的性質(zhì)解題.【例6】 數(shù)列a n中，ai=1，且anan+ i=4n，求前n項(xiàng)和Sn.解析：由已知得 anan+ i=4nan+1 an+ 2=4 + - = 4.ai豐0，*得5.&