數(shù)值分析習(xí)題-李慶楊 第二章習(xí)題ppt課件

1、第二章 插值法習(xí)題1、當(dāng).)(, 4 , 3, 0)(2 , 1, 1的二次插值的項(xiàng)式求時(shí)，xfxfx1用單項(xiàng)式基底 2用Lagrange插值基底 3用Newton基底解：設(shè)多項(xiàng)式為 2210)(xaxaaxp所以 6421111111111222211200 xxxxxxA376/424113110/)()()(2222211120000Axxxfxxxfxxxfa2369/)(1)(1)(12222112001Axxfxxfxxfa6565/)(1)(1)(12211002Axfxxfxxfxa所以f(x)的二次插值多項(xiàng)式為2652337)(xxxp)21)(11 ()2)(1()()()

2、(2010210 xxxxxxxxxxxl)21)(11()2)(1()()()(2101201xxxxxxxxxxxl) 12)(12() 1)(1()()()(1202102xxxxxxxxxxxl2 Lagrange插值多項(xiàng)式為)()()()()()()(2211002xlxfxlxfxlxfxl) 1)(1(314)2)(1(61)3(0 xxxx3723652xx3均差表如下：kx)(kxf 一階均差二階均差1 01 33/22 47/35/6Newton插值多項(xiàng)式為372365) 1)(1(65) 1(230)(,)()()(21021001002xxxxxxxxxxxxfxxxx

3、fxfxN由以上計(jì)算可知三種方法得到的多項(xiàng)式是一樣的。2、給出)ln()(xxf數(shù)值表如下x0.40.50.60.70.8Ln(x)0.9162910.6931470.5108260.3566750.223144用線性插值和二次插值計(jì)算54. 0ln解：根據(jù)插值誤差估計(jì)式選間隔0.54較近的點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)，并建立差商表，的近似值。X0=0.50.693147X1=0.60.5108261.823210X2=0.40.9162912.0273250.204115)6 . 0)(5 . 0(204115. 0)5 . 0(823210. 1693147. 0)()5 . 0(823210. 1693

4、147. 0)(11xxxxNxxN6202186. 0)54. 0(1N616839. 0)54. 0(1N近似計(jì)算得 4、設(shè) njjx0為互異節(jié)點(diǎn)，求證： 1), 1 , 0()(0nkxxlxkjnjkj 2), 1 , 0(0)()(0nkxlxxjnjkj 及kx)(0 xlxjnjkj證明1函數(shù) 均為被插值函數(shù)kx 的至于互異節(jié)點(diǎn) njjx0的不超越n次的插值多項(xiàng)式，利用插值多項(xiàng)式的獨(dú)一性知兩者相恒等。該結(jié)論也可用插值多項(xiàng)式的誤差估計(jì)證明。njkiikijjjnjkjxxikxlxlxx000)()()()(njjikijkikijikijnjxlxxikxlxxik0000)()

5、()()(0)()()()(000injiikkijnjijikxxxxikxlxxik2 bacxf,)(20)()(bfaf5、設(shè)且，求證)(max)(81)(max02xfabxfbxbxa ax bx 證明：以 和 為插值節(jié)點(diǎn)建立)(xf 的不超越一 次的插值多項(xiàng)式。0)()()(1abaxbfbabxafxL運(yùn)用插值余項(xiàng)公式有 )()(! 21)()(1bxaxfxLxf )(max)(max21bxaxfbxabxa )(max)(812fabbxa , 13)(47xxxxf7102,2 ,2f。8102,2 ,2f8、求及解：利用)!()(,)(10nfxxxfnn 1)(!

6、712,2 ,2)7(710ff0)(! 812,2 ,2)8(810ff9、證明kkkkkkfggfgf1)(證明： kkkkkkkkkkkkkkgfgfgfgfgfgfgf111111)(kkkkkkkkkkgffgggfgff1111)()(10、證明 knkknnnnkkkfggfgfgf101010由于 )(11010110kkknkkknkknkkkfggffggf00110110)()(gfgfgfgfgfnnkkknkkknkk 0102yyynjnj011010102)()(yyyyyynjjnjjnjjnj11、證明12、假設(shè)nnxaxaaxf10)( 有n個(gè)不同實(shí)根,21

7、nxxx試證明：證證:由于由于 是是n次多項(xiàng)式且有次多項(xiàng)式且有n個(gè)不同實(shí)根個(gè)不同實(shí)根 知知1-nk 1)!1()(1 2-nk0 0)()1(1nnnnjjkjangaxfx)(xf,21nxxx)()()()(21xaxxxxxxaxfnnnnnjjnkjnnjjkjxwxaxfx11)(1)(12、假設(shè)nnxaxaaxf10)( 有n個(gè)不同實(shí)根,21nxxx試證明：njjnkjnnjjnnkjnjjkjxwxaxwaxxfx111)(1)()(證由證由于是于是n次次多項(xiàng)多項(xiàng)式且式且有有n個(gè)不個(gè)不同實(shí)同實(shí)根根知，：知，：記,)(kxxg并利用差商的函數(shù)表達(dá)式有 nnnjjnjnnjjkjxx

8、xgaxwxgaxfx,1)()(1)(2111再商差與函數(shù)關(guān)系知 1-nk 1)!1()(1 2-nk0 0)()1(1nnnnjjkjangaxfx16、求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式),(xp, 0)0()0( pp, 1) 1 () 1 ( pp使它滿足 1)2(p解法一：待定系數(shù)法滿足 , 0)0()0(33 HH1) 1 () 1 (33 HH， 的Hermite插值多項(xiàng)式為 1, 110 xx10333)()()()()(jjjjjxxHxxHxH32222010) 1(01001121xxxxxx 223) 1()()(xAxxHxp1)2(p41A設(shè) 得于是222232)3(41) 1(412)(xxxxxxxp法2：建立如下差商表0000011111110-1210-1-1/21/4這樣牛頓插值公式為2222) 1()0(41) 1()0( 1)0( 1)0(00)(xxxxxxxp2222) 1(41) 1(xxxxx22)3