第四章矩陣 - 高等代數(shù)

1、高等代數(shù)4矩陣第四章 矩陣n 學時：p 18學時。n 教學手段：p 講授和討論相結合，學生課堂練習，演練習題與輔導答疑相結合。n 基本內容和教學目的：p 基本內容： 矩陣的運算，可逆矩陣，初等矩陣及其性質和意義，分塊矩陣。p 教學目的：p 1使學生理解和掌握矩陣等價的相關理論p 2能熟練地進行矩陣的各種運算(包括求逆，分塊等)n 本章的重點和難點：p 掌握矩陣的運算以及它們的運算規(guī)律；伴隨矩陣的概念及其在矩陣求逆中的應用；基本關系式的應用；初等方陣的概念，性質和應用；矩陣的分塊及意義。 高等代數(shù)4矩陣4.2 矩陣的運算高等代數(shù)4矩陣一、 矩陣的加法11121111212122221222121

2、2111112121121212222221,(),()()nnnnijnnijsnsssnsssnnnnnijsnijijsnPsnA BaaabbbaaabbbAaBbaaabbbababababababCcab定義設數(shù)域上的矩陣為，則矩陣（ ）1122sssssnsnabababABCAB稱為矩陣和的和，記為矩陣加法： 1. 具有相同行、列數(shù)的矩陣(即同型矩陣)方可相加； 2. 同型矩陣A, B的對應元素相加組成同型矩陣AB.高等代數(shù)4矩陣1.()()2.()(3.(0) ,04.)()(0isnsnijsnjsnABCABCABBAOOAAAaABAaAABA 性質 ；元素全為零的矩陣

3、稱為，記為簡記為；矩陣稱為，記為零矩陣矩陣的負矩陣矩陣減法運算：；* 由此引入例. 由產地A1，A2調運大米和面粉到銷地B1，B2，B3的數(shù)量（噸）分別如 A，B 矩陣所示，則調運糧食總量可以由矩陣如下 AB 給出.（見下頁）高等代數(shù)4矩陣123123112212312372124213312372124213312317224496231132525ABABBBBBBBAAAABBBAA高等代數(shù)4矩陣1112121222121211121212221212()12121112121222(,),(,),(,)(,)nnsnnsssnmmsmmsssms mnsnsmnmnnaaaaaaAaa

4、abbbbbbBbbbCABaaaaaa 設 矩 陣定矩補義陣充 ：11121212221212mmsssnsssmbbbbbbaaabbb高等代數(shù)4矩陣性質5 maxr(A), r(B)r(A, B)r(A)r(B). 特別： r(A)r(A,)r(A)1，為非零列向量.證明證明：矩陣A的最高階非零子式總是(A, B)的非零子式 r(A)r(A, B). 同理可以推出 r(B)r(A, B) max(r(A), r(B)r(A, B). 設r(A) = r, r(B) = t, 把A，B分別作列變換化成列階梯形矩陣A，B , 則A，B分別含r個和t個非零列，可設AA = (1,r,0, ,

5、0)；BB = (1, ,t, 0, , 0),即矩陣(A, B)經(jīng)過列變換化成為(A ，B)，而(A ，B)中只含有r + t個非零列 r(A ，B) r + t r(A, B) = r(A ，B) r + t，即 r(A,B) r + t .高等代數(shù)4矩陣性質6 r(A B)r(A) r(B)證明： 設A，B均為 sn 矩陣，且 A = (1, 2, , n), B = (1, 2, , n).對矩陣 (AB, B) = (1 +1, 2+ 2, , n+ n, 1, 2, , n)作列變換： (1)cn+ici上，則將矩陣(AB, B) 化成矩陣 (A, B), 于是據(jù)性質6，就有 r(

6、AB)r(AB, B) = r(A, B)r(A)r(B). 矩陣加法滿足結合律，交換律；減法作為加法的逆運算，不是一個獨立的運算；矩陣加(減)法中有關秩的性質5，6是不同于我們以往所學代數(shù)運算性質研究的兩個獨特的性質，應特別予以重視. 高等代數(shù)4矩陣高等代數(shù)4矩陣03410121211130,31105141210341012121113031105141211001(1 )32(1 )67(1 )011330126.0051(1 )3411 71 0ABCA B例 1矩陣乘法： 兩矩陣A = (aik)，B = (bkj)相乘為AB = (cij) A的列數(shù) = B的行數(shù)，兩矩陣A，B方可

7、相乘； AB的第 i 行、第 j 列元素cij等于A的第 i 行與B的1. 第 j 列對應元素乘積的和 .高等代數(shù)4矩陣高等代數(shù)4矩陣11121311 11221331121222321 12222332231323331 13223333341424341 14224334aaaa ya ya yxyaaaa ya ya yxyaaaa ya ya yxyaaaa ya ya yx高等代數(shù)4矩陣1112111212222212nnsssnnsaaaxbaaaxbAXBaaaxb高等代數(shù)4矩陣11112132112122232213132332xaaaxXyaaayAXzaaaz 高等代數(shù)4矩

8、陣 x M y1 y2 x2 x1 x Y實例：將直角坐標系xoy旋轉度到x1oy1,再旋轉度到x2oy2 . 設M點在三個坐標系下的坐標依次為(x,y),(x1,y1),(x2,y2)，利用平面解析幾何的坐標旋轉公式有1111111221212212cossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincosx xyxxAy xyyyxxyxxByxyyyAB 其 中高等代數(shù)4矩陣22222222222222(cossin) cos(sincos) sin(coscossinsin)(sincoscossin)cos()sin().sin()cos()co

9、s()sin()sin()o (,c s)xxyyxyxxyxyxyxyyxyxy于 是類 似 可 得即若 用 矩 陣 表 示 ， 則 有122122()(),cossincossinsincossincoscoscossinsincossinsincossincoscossinsinsincoscoscos()sin()sin(xxxAA BAByyyAB 其 中 22cos()sin()s,)cos(in()cos().xxyy 即高等代數(shù)4矩陣高等代數(shù)4矩陣高等代數(shù)4矩陣1031231201213213100312312010.213213001 ；高等代數(shù)4矩陣高等代數(shù)4矩陣高等代數(shù)4

10、矩陣高等代數(shù)4矩陣高等代數(shù)4矩陣/(1,1, 2),210210113 ,(1,1, 2) 113(9, 2,1),421421121421411 ,11211212031031292(9, 2,1)() .1ABABABB AAB例： 設矩陣 則 又，故高等代數(shù)4矩陣4.3 矩陣乘積的行列式與秩高等代數(shù)4矩陣高等代數(shù)4矩陣P12412.()rrMNMNMNMNr.r 等價線表等價線表線表推論證明：設的一個極大無關組是，的補充命題向量組向量組()一個極大無關組是，即() ()().高等代數(shù)4矩陣高等代數(shù)4矩陣高等代數(shù)4矩陣4.4 矩陣的逆高等代數(shù)4矩陣一 矩陣逆的概念 設 Mn(P) = A|A是數(shù)域P上的n階矩陣 ； 矩陣相仿復數(shù)，有加、減、乘運算，是否也可以引入除法運算？ 對任意的AMn(P)，AE =