第1章 離散時間信號及系統(tǒng)(第1部分 離散時間信號及系統(tǒng))

1、第一章第一章 離散時間信號與系統(tǒng)離散時間信號與系統(tǒng)(第第I部分：離散時間信號與系統(tǒng)）部分：離散時間信號與系統(tǒng)）1.11.3節(jié)節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) x(n)代表第代表第n個序列值，個序列值， 在數(shù)值上等于信號的采樣值在數(shù)值上等于信號的采樣值x(n)只在只在n為整數(shù)時才有意義為整數(shù)時才有意義一、離散時間信號一、離散時間信號序列序列( )ax t( )()at nTax tx nTn ()ax nT.(),(0),( ),(2 ),.aaaaxTxx TxT序列：對模擬信號序列：對模擬信號 進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到得到 n取整數(shù)。對于不同的取整數(shù)。對于不同的n值，值

2、， 是一個有序的數(shù)字序列：是一個有序的數(shù)字序列： 該數(shù)字序列就是離散時間信該數(shù)字序列就是離散時間信號。實際信號處理中，這些數(shù)字序列值按順序存放于存貯號。實際信號處理中，這些數(shù)字序列值按順序存放于存貯器中，此時器中，此時nT代表的是前后順序。為簡化，不寫采樣間隔，代表的是前后順序。為簡化，不寫采樣間隔，形成形成x(n)信號，稱為信號，稱為序列序列。1、序列的運算、序列的運算1）移位）移位2）翻褶）翻褶3）和）和12( )( )( )x nx nx n4）積）積12( )( )( )x nx nx n5）累加）累加( )( )nky nx k6）差分）差分( )(1)( )x nx nx n( )

3、( )(1)x nx nx n( )(1)x nx n ( )(1)x nx n 7）時間尺度變換）時間尺度變換()nxm( )( )()( )at nTat mnTx nx tx mnx t()x mn8）卷積和）卷積和( )( ) ()( )( )my nx m h nmx nh nn ( )( )( )( )()x nx mh nh mhm1）翻褶：）翻褶：()()hmh nm2）移位：）移位：( )()x mh nmm 3）相乘：）相乘：( ) ()mx m h nm4）相加：）相加：n-2, y(n)=0n=-1n=0n=1y(-1)=8y(0)=6+4=10y(1)=4+3+6=1

4、3n=5n=6n=7y(5)=-1+1=0y(6)=0.5y(n)=0, n7( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm() ( )n kx nk h k nmkmnk令 則 ( ) ()( )( )kh k x nkh nx n2、幾種典型序列、幾種典型序列10( )00nnn10( )00nu nn( )( )(1)nu nu n0( )()( )(1)(2).mu nnmnnn( )nkk與單位抽樣序列的關(guān)系與單位抽樣序列的關(guān)系101( )0nNnNRn其它( )( )()NRnu nu nN10( )()( )(1).(1)NNmRnnmnnnN 與其他序列的關(guān)

5、系與其他序列的關(guān)系( )( )nx na u na00()( )jnjnnx neee00cos()sin()nnenjen0為數(shù)字域頻率為數(shù)字域頻率jnn3x(n)=0.9 e例：例：0( )sin()x nAn( )( )sin()at nTx nx tAnT0/sTf 0：數(shù)字域頻率：模擬域頻率T：采樣周期sf ：采樣頻率( )sin()ax tAt 模擬正弦信號：模擬正弦信號：數(shù)字域頻率是模擬域頻率對采樣頻率的歸一化頻率數(shù)字域頻率是模擬域頻率對采樣頻率的歸一化頻率( )( ) ()( )( )mx nx mnmx nn( )2 (1)( )x nnn1.5 (1)(2)nn0.5 (3

6、)n例：例：3、序列的周期性、序列的周期性( )()x nx nNn ( )sin()sin(8)44x nnn討論一般正弦序列的周期性討論一般正弦序列的周期性0( )sin()x nAn()( )( )x nNx nx nN要使，即為周期為 的周期序列000()sin()sin()x nNAnNAnN0022NkNkNkkN則要求，即， ， 為整數(shù)，且 的取值保證 是最小的正整數(shù)分情況討論分情況討論02020200221( )kx n1）當(dāng)為整數(shù)時，取，即是周期為的周期序列02sin()8448nN0如， ， 該序列是周期為 的周期序列02NkNk， ， 為整數(shù)0022( )PPQQkQNP

7、x nP2）當(dāng)為有理數(shù)時，表示成， ， 為互為素數(shù)的整數(shù)取，則，即是周期為 的周期序列04425sin()5525n0如， ， ， 該序列是周期為 的周期序列02NkNk， ， 為整數(shù)02( )kNx n3）當(dāng)為無理數(shù)時，取任何整數(shù) 都不能使 為正整數(shù)，不是周期序列0112sin()844n0如， ， 該序列不是周期序列02NkNk， ， 為整數(shù)()()666()n NnNjjx nNee 解：( )( )()26x nx nx nNNkNk若為周期序列，則必須滿足，即滿足，且 ， 為整數(shù)例：判斷例：判斷()6( )njx ne是否是周期序列是否是周期序列12kNk而不論 取什么整數(shù)，都是一個

8、無理數(shù)( )x n不是周期序列0( )sin()x tAt00( )( )sin()sin()t nTx nx tAnTAn0000021/2 /fTf 000022TTf TT 002TT設(shè)連續(xù)正弦信號：設(shè)連續(xù)正弦信號：抽樣序列：抽樣序列：當(dāng)當(dāng)為整數(shù)或有理數(shù)時，為整數(shù)或有理數(shù)時，x(n)為周期序列為周期序列0NTkT0TNTk3( )sin(2)14x nn00032142143NTkT0143 ( )14TTx n當(dāng)時，為周期為的周期序列例：例：N，k為互為素數(shù)的正整數(shù)為互為素數(shù)的正整數(shù)即即N個抽樣間隔應(yīng)等于個抽樣間隔應(yīng)等于k個連續(xù)正弦信號周期個連續(xù)正弦信號周期4、序列的能量、序列的能量2

9、( )nEx n 二、線性移不變系統(tǒng)二、線性移不變系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)T x(n)y(n)( ) ( )y nT x n T 記為：1、線性系統(tǒng)、線性系統(tǒng)1 1221122( )( )( )( )T a x na x na y na y n1212 ( )( )( )( )T x nx ny ny n11( )( )T ax nay n12,a a a為常數(shù)11( ) ( )y nT x n22( )( )y nT x n T 線性系統(tǒng)滿足疊加原理的直接結(jié)果：零輸入產(chǎn)生零輸出。1112( )( )( )sin()97y nT x nx nn解：設(shè)2222( )( )( )sin()97

10、y nT x nx nn12122 ( )( ) ( )( )sin()97T x nx nx nx nn1222( )sin()( )sin()9797x nnx nn112( )( )sin()97T ax nax nn1( )ay na， 為常數(shù)該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)2( )( )sin()97y nx nn例：判斷系統(tǒng)是否線性12( )( )y ny n滿足可加性滿足比例性( )( )y nax nb, a b為常數(shù)是非線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)111( )( )( )y nT x nax nb證：設(shè)222( )( )( )y nT x nax nb1212 ( )( ) ( )( )T x nx

11、 na x nx nb12( )( )y ny n該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)12( )( )ax nax nb不滿足可加性線性系統(tǒng)滿足疊加原理的直接結(jié)果：零輸入產(chǎn)生零輸出。 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)x(n)y0(n)y(n)( )( )y nax nb零輸入響應(yīng)2、移不變系統(tǒng)、移不變系統(tǒng)Tx(n)( ) ()()y nT x nmy nmm對移不變系統(tǒng)，若則 ， 為任意整數(shù)2 ()()sin()97T x nmx nmn解：2()()sin()97y nmx nmnm ()T x nm該系統(tǒng)不是移不變系統(tǒng)例：試判斷例：試判斷2( )( )sin()97y nx nn是否是移不變系統(tǒng)是否是移不變系統(tǒng) 3、單位抽

12、樣響應(yīng)與系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系、單位抽樣響應(yīng)與系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系（卷積和的關(guān)系）（卷積和的關(guān)系）( )n( ) ( )h nTnT ( )n( )h nT x(n)y(n)( )( ) ()mx nx mnm任意輸入序列： ( ) ( )( ) ()my nT x nTx mnm系統(tǒng)輸出：( ) ()mx m Tnm，線性性( ) ( )() ()h nTnh nmTnm( ) ( )iiiiiiTa x naT x n ( ) ()mx m h nm， 移不變性( )( )x nh nLSIh(n)x(n)y(n)( )( )( )y nx nh n( )( )* ( )y nx nh n解：(

13、 ) ()mx m h nm( )( )01nh na u na( )( )()x nu nu nNLSI例：某系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為：輸入序列為：求系統(tǒng)輸出。0nN當(dāng)時0( )( ) ()1nn mmmy nx m h nma(1)1011nnnmnmaaaaa0( )0ny n當(dāng)時nN當(dāng)時( )( ) ()my nx m h nm11001NNn mnmmmaaa111Nnaaa(1)11001( )0111nnNnnay nanNaaanNa01nN 時0( )( ) ()nmy nx m h nm0( )0ny n解：時( )( )( )( )( )( )( )NMx nx n Rnh

14、 nh n Rny n若求輸出MN1) 當(dāng)1NnM 時10( )( ) ()Nmy nx m h nm2MnNM 時11( )( ) ()Nm n My nx m h nm 1( )0nNMy n時例：例：01nM 時0( )( ) ()nmy nx m h nm0( )0ny n時MN2) 當(dāng)1MnN 時1( )( ) ()nm n My nx m h nm 2NnNM 時11( )( ) ()Nm n My nx m h nm 1( )0nNMy n時4、LSI系統(tǒng)的性質(zhì)系統(tǒng)的性質(zhì)h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)( )( )( )( )( )y nx nh nh nx nh

15、1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)1221( )* ( )*( )( )*( )* ( )x nh nh nx nh nh n12( )( )*( )h nh nh n( )( )* ( )y nx nh n1212( )* ( )( )( )*( )( )*( )x nh nh nx nh nx nh nh1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)5、因果系統(tǒng)、因果系統(tǒng)( )00h nnLSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：6、穩(wěn)定系統(tǒng)、穩(wěn)定系統(tǒng)( )x nM ( )n

16、h nP LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：( )y nP 則則0( )0nh n解：討論因果性： 時 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)討論穩(wěn)定性：00( )nnnnnh naa11111aaa11aa當(dāng)時系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)時系統(tǒng)不穩(wěn)定例：某例：某LSI系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為( )()nh na un試討論其是否是因果的、穩(wěn)定的。試討論其是否是因果的、穩(wěn)定的。 ( ) ( )( )nh nh n u nh n 三、常系數(shù)線性差分方程三、常系數(shù)線性差分方程00()()NMkmkma y nkb x nm01kmaab ，是常數(shù)其中：其中：它們決定系統(tǒng)的特征它們決定系統(tǒng)的

17、特征1-3 常系數(shù)線性差分方程常系數(shù)線性差分方程離散時間線性離散時間線性移不變系統(tǒng)移不變系統(tǒng)(n)y(n)NkMmmkmnxbknya00)()(xNkMmmkmnxbknya00)()(二二. 用迭代法求解差分方程用迭代法求解差分方程求單位抽樣響應(yīng)求單位抽樣響應(yīng))()()(nhnxny( )(1)( )y nay nx n( 1)0y ( )( )( )( )( 1)0 x nny nh ny解：令輸入，則輸出，又已知23( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)(2)(1)(2)(3)(2)(3)( )0ny nay nx nyayxyayxayayxayayxay nan

18、由，得，1(1) ( )( )1( 2) ( 1)( 1)01( 3) ( 2)( 2)0( )01y ny nx nayyxayyxay nn 由，得，( )( )( )nh ny na u n(0)0y( )( )( )( )(0)0 x nny nh ny解：令輸入，則輸出，又已知( )(1)( )(1)(0)(1)0(2)(1)(2)0( )01y nay nx nyayxyayxy nn由，得，1231(1) ( )( )11( 1) (0)(0)1( 2) ( 1)( 1)1( 3) ( 2)( 2)( )1ny ny nx nayyxaaayyxaayyxaay nan 由，得，

19、( )( )(1)nh ny na un ( 1)1y 111( )( )( 1)1( )x nnyy n解：1）令輸入，由，求輸出111111111211131111( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)( )(1)0ny nay nx nyayxayayxa ayayxaayayxa ay naan由，得，11111112111111(1)( )( )1( 2)( 1)( 1)1( 3)( 2)( 2)( )1ny ny nx nayyxaayyxaay nan 由，得，11( )(1)( )(1)nny na a

20、u naun 222( )(1)( 1)1( )x nnyy n2）令輸入，由，求輸出2222222222222222222122( )(1)( )(0)( 1)(0)(1)(0)(1)1(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)( )(1)1ny nay nx nyayxayayxayayxa ayayxaay naan由，得，2221211(1)( )( )( )1ny ny nx nay nan 同步驟 ），由得，2112( )( )(1)(1)(1)nnynanaau naun 31233( )( )( )( )(1)( 1)1( )x nx nx nnnyy n3）令輸入，由，

21、求輸出3333332333233322333123( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)1(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)( )(1)1ny nay nx nyayxayayxaayayxa aayayxaaay naaan由，得，3331311(1)( )( )( )1ny ny nx nay nan 同步驟 ），由得，213( )(1) ( )(1)(1)ny nanaaau n1(1)naun 4）結(jié)論：2112( )( )(1)(1)(1)nny nanaau naun 2( )(1)x nn當(dāng)輸入時，輸出1( )( )x nn當(dāng)輸入時，輸出11(

22、)(1)( )(1)nny na a u naun 2121( )(1)( )(1)( 1)1x nx ny ny ny由于，而邊界條件下的系統(tǒng)不是移不變系統(tǒng)312( )( )( )( )(1)x nx nxnnn當(dāng)輸入時，輸出213( )(1) ( )(1)(1)ny nanaaau n1(1)naun ( 1)1y 邊界條件下的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)不滿足可加性12( )( )y ny n 一些關(guān)于差分方程的結(jié)論：一些關(guān)于差分方程的結(jié)論：Z-1ax(n)y(n)( )(1)( )y nay nx n1.4 連續(xù)時間信號的抽樣連續(xù)時間信號的抽樣( )( )aax tx t ( )( )( )aaT

23、x tx tpt0 ( )( )( )aax tx ts t當(dāng) 討論：討論：1、理想抽樣、理想抽樣 ( )( )( )( ) ()() ()aaananx tx ts tx ttnTx nTtnT0()aXj求理想抽樣的頻譜( )()ns ttnT理想抽樣輸出：理想抽樣輸出：() ( )( )j tS jDTFT s ts t edt ()( )( )j taaaXjDTFT x tx t edt ()( )( )j taaaXjDTFT x tx t edt 現(xiàn)考察抽樣后信號頻譜發(fā)生什么變化現(xiàn)考察抽樣后信號頻譜發(fā)生什么變化則應(yīng)該滿足：則應(yīng)該滿足：)()(21)(jSjXjXaa現(xiàn)求現(xiàn)求S(j

24、)=Fs(t)。由于。由于s(t)是以采樣頻率重復(fù)是以采樣頻率重復(fù)的沖激脈沖，故為一個以的沖激脈沖，故為一個以T為周期的為周期的周期函數(shù)周期函數(shù)，可表示為傅里葉級數(shù)，即可表示為傅里葉級數(shù)，即 ktjkkseats )(21ssfTT 其中: 為級數(shù)的基頻，為采樣頻率 根據(jù)傅氏級數(shù)的知識，系數(shù)根據(jù)傅氏級數(shù)的知識，系數(shù)ak可通過如下求得可通過如下求得 TdtetTdtenTtTdtetsTaTTtjkntjkTTtjkTTksss1)(1)(1)(12/2/2/2/2/2/以上結(jié)果的得出是考慮到在以上結(jié)果的得出是考慮到在|t|T/2的積分區(qū)間內(nèi)，只有的積分區(qū)間內(nèi)，只有一個沖激脈沖一個沖激脈沖(t)

25、，其他沖激，其他沖激(t-nT)，n0 都在積分區(qū)都在積分區(qū)間之外，且利用了以下關(guān)系間之外，且利用了以下關(guān)系: dtttff)()()0(故故 ktjkseTts1)(由此得出由此得出 ktjkktjksseFTeTFtsFjS11)()(可記住此傅氏變換可記住此傅氏變換 )(2sjkkeFs所以所以 s(t)的頻譜為的頻譜為kssskkkTjS)()(2)()11ssjktjktj tkkeedtedtTT 122()()sskkkkTT 1()()2aXjS jjd1()( )()* ()2aaaXjDTFT x tXjS j 12()()2askXjkdT 1() ()askXjkdT

26、1()askXjjkT因此因此 22shs ， 為折疊頻率則延拓分量產(chǎn)生則延拓分量產(chǎn)生頻譜混疊頻譜混疊奈奎斯特抽樣定理奈奎斯特抽樣定理22shshff 即前置預(yù)濾波器前置預(yù)濾波器A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器數(shù)字信號處理器數(shù)字信號處理器D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器模擬濾波器模擬濾波器y(n)y(t)(txa)(tya)(nx因此，因此，DSPDSP系統(tǒng)的基本框圖為：系統(tǒng)的基本框圖為：2、抽樣的恢復(fù)、抽樣的恢復(fù)2()02ssTH j s s/2-s s/2T 0H(j)Hj()aXj()aYj理想低通濾波器理想低通濾波器:()()()()aaaYjXjH jXj ( )( )aax tx t1( )()2j th tH jed( )( )(