杭電信號與系統(tǒng)第十章 - 圖文-

1、 （2）特征方程為 aI - A = a +2 2 1 a +3 = a 2 + 5a + 4 = (a + 1(a + 4 求得特征根為 a 1 = -1, a 2 = -4 。 11 ù 1 ù é 11 ù é-1 + 2 ú = 0 ，即 ê 2 ê ú = 0 ，得 - 1 + 3ú ë û ë 21 û ë 21 û 對應特征根 a1 = -1 的特征矢量為 a1 I - Aé ê 11 = - 21 ，

2、顯然對應特征根 a 1 = -1 的特征矢量是多解的，選 11 = 1, 21 = -1 。 對應特征根 a 2 = -4 的特征矢量為 a 2 I - Aé ê 12 ù 1 ù é 12 ù é-4 + 2 = 0 ，即 ê ú ê ú=0， - 4 + 3ú ë 2 û ë 22 û ë 22 û 得 212 = 22 ，也是多解的，選 12 = 1, 22 = 2 。 所以特征矢量 為 得到 é 1

3、 1ù =ê ú。 ë - 1 2û -1 1 é2 - 1ù é 1 1ù é 1 1ù -1 P = -1 = ê ú = 3 ê1 1 ú ， P = = ê- 1 2ú - 1 2 ë û ë û ë û 新的系數矩陣計算如下 2 -1ù é -2 -1 ù é 1 = PAP -1 = 1 é A ê

4、; úê 1 1ú 3ê ë û ë- 2 - 3û ë- 1 2 -1ù é2ù é1ù = PB = 1 é B ê ê ú=ê ú 3 ë1 1 ú û ë1û ë1û 2 -1ù é 1 1ù é 3 0ù = CP -1 = é C ê0 1 

5、50; ê- 1 2ú = ê- 1 2ú ë ûë û ë û 1ù é-1 0 ù =ê ú 2ú û ë 0 - 4û （3）對角化后的狀態(tài)變量方程 -1 0 ù ì é1ù (t + B e (t = é & (t = A ï ê 0 - 4ú (t + ê1ú e (t ï 

6、35; û ëû í 3 0 ù ïr (t = C (t = é ê- 1 2ú (t ï ë û î 信號流圖如圖 10.8-2。 （4）系統(tǒng)函數為 3 0ù é s + 1 0 ù é1ù ( sI - A -1 B (s = C =é H ê - 1 2ú ê 0 êú s + 4ú ë ûë û &

7、#235;1û 3 é ù ú 0 ù é1ù ê 1 é 3 0ù é s + 4 s + 1 = ú úê 0 ú ê1ú = ê s - 2 - 1 2 s + 1 ( s + 1(s + 4 ê ë ûë ûë û ê ú ë ( s + 1(s + 4 û -1 圖 10.8-2 對角化后的信號流圖

8、 顯然與 H (s 相同。 例 10.8-2 單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 é-5 -1ù é 2ù (n + 1 = ê ( n + ê ú x ( n ú ë 3 - 1û ë5 û y (n = 1 2(n （1）求系統(tǒng)函數； （2）求出對角化后的狀態(tài)方程及信號流圖； （3）求出系統(tǒng)的單位沖激響應和階 躍響應。 解（1）求系統(tǒng)函數 1 ù -1 é2ù éz + 5 H ( z = C ( zI - A -1 B = 1 2

9、34; ú ê ú ë - 3 z + 1û ë5û z + 1 - 1 ù é 2ù 1 12 z + 59 1 2é = = ê ú ê ú z + 5û ë5û ( z + 2( z + 4 ( z + 2( z + 4 ë 3 （2）進行對角化 令 aI - A = a +5 -3 1 a +1 = a 2 + 6a + 8 = (a + 2(a + 4 = 0 求得特征根 a1 = -2, a 2

10、 = -4 對應特征根 a1 = -2 的特征矢量為 é ê 選 11 = 1, 21 = -3 。 ë -3 -4 + 5 1 ù é 12 ù 對應特征根 a 2 = -4 的特征矢量為 é ê ú = 0 ，選 12 = 1, 22 = -1 。 ê -3 - 4 + 1ú ë û ë 22 û 1 1ù 所以特征矢量 為 = é ê- 3 - 1ú 。 ë û -2 + 5 &#

11、249; é 11 ù ê ú = 0， - 2 + 1ú û ë 21 û 1 得到 1 ù -1 1 é- 1 - 1ù é1 P = -1 = ê = ê - 3 - 1ú 2ë3 1ú ë û û ，P -1 1ù é1 = =ê ú ë- 3 - 1û é 7ù - 1 - 1ù é2&#

12、249; ê- 2 ú = PB = 1 é B = úê ú ê ú 2ê ë 3 1 û ë5û ê 11 ú ë 2 û -1 -1ù é-5 -1ù é 1 1 ù é-2 0 ù = PAP -1 = 1 é A úê úê ú=ê ú 2ê ë 3

13、 1 û ë 3 - 1û ë- 3 - 1û ë 0 - 4û 1 1ù = CP -1 = 1 2é C ê- 3 - 1ú = - 5 - 1 ë û 對角化后的狀態(tài)方程為 é- 7 ù ê ú é- 2 0 ù (n + 1 = ê ( n + ê 2 ú x ( n ú 11 ë 0 - 4û ê ú ë 2

14、 û y (n = - 5 - 1 (n 對角化前后的信號流圖如圖 10.8-3(a和(b。 （a）對角化前的信號流圖 （b）對角化后的信號流圖 圖 10.8-3 信號流圖 （3）單位沖激響應和階躍響應 11 é 35 - ù ú 12 z + 59 ù -1 ê 2 h( n = Z H ( z = Z ê =Z ê + 2 ú ú ë ( z + 2( z + 4 û ê z + 2 z + 4ú ë û 35 11 n -1 n -1 = (-2 u (n - 1 - (-4 u (n - 1 2 2 -1 -1 é 35 22 ù é 71 - ú z (12 z + 59 z ù ù -1 é -1 ê 15 3 g ( n = Z ê