數(shù)字信號處理第三版(姚天任、江太輝) 答案 第三章

1、第三章 離散傅里葉變換及其快速算法習題答案參考3.1 圖P3.1所示的序列(xn 是周期為4的周期性序列。請確定其傅里葉級數(shù)的系數(shù)(X k 。解:(111*0(N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k =3.2 (1設(shè)(xn 為實周期序列,證明(x n 的傅里葉級數(shù)(X k 是共軛對稱的,即*(X k X k = 。 (2證明當(xn 為實偶函數(shù)時,(X k 也是實偶函數(shù)。 證明:(1111*(N nk N n N N nk nkNNn n Xk x n W Xk x n W xn W X= k(2因(xn 為實函數(shù),故由

2、(1知有 *(Xk X k = 或*(X k X k = 又因(xn 為偶函數(shù),即(x n x n = ,所以有(111*0(N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k =3.3 圖P3.3所示的是一個實數(shù)周期信號(xn 。利用DFS 的特性及3.2題的結(jié)果,不直接計算其傅里葉級數(shù)的系數(shù)(Xk ,確定以下式子是否正確。 (1,對于所有的k; (10Xk X k =+ (2(Xk X k = ,對于所有的k; (3; (00X=(425(jkX k e,對所有的k是實函數(shù)。 解:(1正確。因為(x n 一個周期為N =10的周

3、期序列,故(X k 也是一個周期為N=10的周期序列。 (2不正確。因為(xn 一個實數(shù)周期序列,由例3.2中的(1知,(X k 是共軛對稱的,即應(yīng)有*(Xk X = k ,這里(X k 不一定是實數(shù)序列。 (3正確。因為(xn (0n =在一個周期內(nèi)正取樣值的個數(shù)與負取樣值的個數(shù)相等,所以有 10(0N n Xx = (4不正確。根據(jù)周期序列的移位性質(zhì),25(jkXk e =對應(yīng)與周期序列,如圖P3.3_1所示,它不是實偶序列。由題3.2中的(2知道,210(kX k W (2x n + 25(jk Xk e 不是實偶序列。 3.4 設(shè)3(x n R n =,(6r xn x n =+ r

4、,求(Xk ,并作圖表示(x n 和(X k 。 解:3152666633111(111k 1j k k N nknknk Nkj k j n n n W e Xk x n W xn W WW e e = (01(2(40(112(311(51jXX XXXeX=+(x n和(X k的圖形如圖3.4_1 所示: 3.5 在圖P3.5中表示了兩個周期序列1(x n和2(x n,兩者的周期都為6,計算這兩個序列的周期卷積3(x n,并圖表示。 解:圖P3.5_1所示的是計算這兩個序列的周期卷積3(x n 過程,可以看出,3(的x n 1(是x n 時1的結(jié)果,即3(xn 延。 1(1x n = 3

5、.6 計算下列序列的N點DFT:(1(x (n n =(2(x 00(*(,0N N n n n R n n N =<<,01nn N =(3(x n a 2(4(cos(,01,n nm n N o m N N=<<1(01,01N nk N n X k n W k N =01(,01N n k nkX k n n R n W W k N =x 解:(1 (200N N N N n =(3111(,0111N Nk N N n nkN Nk kn N Na W a X k a W k N aW aW = (422211002(2(22(1(21(cos(2111211

6、12N N j nm j nm j nk nk N N NN n n j k m j k m j k m j k m NN N j k m j k m j k m j k m j k m N j k m j k m N NX k nmW e e eN e e e e e e e e e e e =+=+=+=+(1(11(20,sin sin 12sin /sin /N j k m N j k m j k m N N N N j k m j k m N NNk m k m e e e k m k m e e k m N k m N +=+=+=或其他3.7 圖P3.7表示的是一個有限長序列(x

7、 n ,畫出1(x n 和2(x n 的圖形。 (1(144(2(x n x n R n =(2(244(2(x n x n R n = 解:1(x n 和2(x n 的圖形如圖P3.7_1所示: 3.8 圖P3.8表示一個4點序列(x n 。(1繪出(x n 與(x n 的線性卷積結(jié)果的圖形。(2繪出(x n 與(x n 的4點循環(huán)卷積結(jié)果的圖形。(3繪出(x n 與(x n 的8點循環(huán)卷積結(jié)果的圖形,并將結(jié)果與(1比較,說明線性卷積與循環(huán)卷積之間的關(guān)系。 解:(1圖P3.8_1(1所示的是(x n 與(x n 的線性卷積結(jié)果的圖形。(2圖P3.8_1(2所示的(x n 與(x n 的4點循

8、環(huán)卷積結(jié)果的圖形。 (3圖P3.8_1(3所示的(x n 與(x n 的8點循環(huán)卷積結(jié)果的圖形?？梢钥闯?(x n 與(x n 的8點循環(huán)卷積結(jié)果的圖形與(1中(x n 與(x n 的線性卷積結(jié)果的圖形相同。 3.9 (x n 是一個長度為N 的序列,試證明(N N x n x N n =。證明:因為(N x n 是由(x n (周期性重復(fù)得到的周期序列,故可表示為 取r=1,上式即為(N N x n x n rN =+(N N x n x N n =。3.10 已知序列(,01nx n a u n a =<(|k Nz W z =<?，F(xiàn)在對其Z 變換在單位圓上進行N 等分取樣,取

9、值為,求有限長序列的IDFT。(X k X = 解:在z 平面的單位圓上的N 個等角點上,對z 變換進行取樣,將導(dǎo)致相應(yīng)時間序列的周期延拓,延拓周期為N,即所求有限長序列的IDFT 為 (,0,1, (11n rNp Nr r a x n x n rN au n rN n N a+=+=+= 3.11 若長為N 的有限長序列(x n 是矩陣序列(N x n R n =。 (1求(x n ,并畫出及其-零點分布圖。(2求頻譜(j X e ,并畫出幅度|(的函數(shù)曲線。 |j X e (3求(x n 的DFT 的閉式表示,并與(j X e 對照。 解:(11102111111111(1(1(1(1N

10、 N nnNn n N N N j k k NNNNk k k N N N N z X z Rn zzz z W z W z e z z z z z z z=1極點:;零點:00(1z N =階2,1,2,.,1j k Npk z e k N =圖P3.11_1(1是極-零點分布圖。(212222111222sin 1(2(|1sin(2j N N N jjjN j N j j j z e j j j N e e e eX e X z e e e e e =sin 12|(|,(2sin 2j N N X e = 圖P3.11_1(2所示的是頻譜幅度|(的函數(shù)曲線。|j X e (321,02

11、0,1,2,.,12011(11Nk j k N nk j N k N N Nk N k k j k n NN NW e X k R n WX e W e = 可見,(X k 等于(j X e 在N 個等隔頻率點2(0,1,2,.,1k N N= 上的取樣值。(x n ,試畫出序列4(x n 3.12 在圖P3.12中畫出了有限長序列的略圖。 解:3.13 有限長序列的離散傅里葉變換相當與其Z 變換在單位圓上的取樣。例如10點序列(x n 的離散傅里葉變換相當與(X z 在單位圓10個等分點上的取樣,如圖P3.13(a所示。為求出圖P3.13(b所示圓周上(X z 的等間隔取樣,即(X z 在

12、各點上的取樣,試指出如何修改(2/10(/100.5j k z e+=(x n ,才能得到序列1(x n ,使其傅里葉變換相當于上述Z變換的取樣。 解:22991010102110.5exp 101000(0.5j nk jn jn z j k n n X k x n eX z x n ee=+=由上式得到101(0.5(jnnx n ex n =3.14 如果一臺通用計算機計算一次復(fù)數(shù)乘法需要100s ,計算一次復(fù)數(shù)加法需要20s ,現(xiàn)在用它來計算N=1024點的DFT,問直接計算DFT 和用FFT 計算DFT 各需要多少時間? 解:直接計算DFT:復(fù)數(shù)乘法:2210241048576104

13、8576100105N s =×次,s 復(fù)數(shù)加法:(1102410231047552,10475522021N N s s =×=×次 總計需要時間:(10521126s s +=用 FFT 計算 DFT： 復(fù)數(shù)乘法： N log 2 N = 5120次,5120 ×100 s 0.512 s 2 復(fù)數(shù)加法： N log 2 N = 10240次,10240 × 20 s 0.2048s 總計需要時間： (0.512 + 0.2048 s = 0.7168s 3.15 仿照本教材中的圖 3.15，畫出通過計算兩個 8 點 DFT 的辦法來完成一

14、個 16 點 DFT 計算的流程圖。 解：圖 P3.15_1 所示的是用兩個 8 點 DFT 來計算一個 16 點 DFT 的流程圖。 3.16 設(shè) x( n = 0,1, 0,1,1,1 ，現(xiàn)對 x( n 進行頻譜分析。畫出 FFT 的流程圖，F(xiàn)FT 算法任選。并計算出每級 蝶形運算的結(jié)果。 解：圖 P3.16_1 所示的為時間軸選 8 點 FFT 的流程圖和每級蝶形運算的結(jié)果。 3.17 根據(jù)本教材中圖 3.27 所示的流程圖，研究基 2 頻率抽選 FFT 算法。設(shè) N 為 2 的任意整數(shù)冪，但不等 于 8。為了給數(shù)據(jù)全部加上標號，假設(shè)數(shù)組中的數(shù)據(jù)被存在依次排列的復(fù)數(shù)寄存器中，這些寄存器的

15、 編號從 0 到 N1，而數(shù)組的編號為 0 到 log 2 N 。具有最初數(shù)據(jù)的數(shù)組是第 0 列，蝶形的第一級輸出 是第 1 列，依次類推。下列問題均與第 m 列的計算有關(guān)，這里 1m log 2 N ，答案應(yīng)通過 m 和 N 表 示。 （1） 要計算多少個蝶形?每個蝶形有多少次復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)加法運算？整個流程圖需要多少次復(fù)數(shù)加 法和復(fù)數(shù)乘法運算？ （2）由第（m1）列到 m 列，包含的 WN 的冪是什么？ （3）蝶形的兩個復(fù)數(shù)輸入點的地址之間的間隔是多少？ （4）利用同樣系數(shù)的各蝶形的數(shù)據(jù)地址間隔是什么？注意這種算法的蝶形計算的系數(shù)相乘是置于蝶 形的輸出端的。 解： （1） log 2 N

16、級，每級 N N 個蝶形，共 log 2 N 個蝶形。每個蝶形有 1 次復(fù)數(shù)乘法和 2 次復(fù)數(shù) 2 2 N 加法運算，故整個流程圖需要 N log 2 N 次復(fù)數(shù)加法和 log 2 N 次復(fù)數(shù)乘法運算； 2 m 1 （2）由第 m-1 列到 m 列，包含的 WN 的冪是 2 k , k = 0,1,., 2 m N 1 ； m （3）蝶形的兩個復(fù)數(shù)輸入點的地址之間的間隔是 2 （4）利用同樣系數(shù)的各蝶形的數(shù)據(jù)地址間隔是 2 N； m +1 N , 2 m log 2 N 。 3.18 使用 FFT 對一模擬信號作譜分析，已知：頻率分辨率 F5Hz；信號最高頻率 f 0 = 1.25kHz 。試

17、 確定下列參數(shù)： （1）最小記錄長度 t p ； （2）取樣點的最大時間間隔 T； （3）一個記錄長度中的最少點數(shù)。 解： （1） f = 1 1 5 Hz , t p s = 0.2 s ，最小記錄長度 t p = 0.2s ； 5 tp （2） f s = 1 1 2 f 0 = 2 × 1.25kHz = 2.5kHz ，取樣點的最大時間間隔為 T s = 0.4ms ； T 2.5 × 103 tp T = 0.2 = 500 。 2.5 × 103 （3）一個記錄長度中的最少點數(shù)為 N = 3.19 已知信號 x( n 和 FIR 數(shù)字濾波器的單位取樣響

18、應(yīng)分別為 n x ( n = 1,0其他 15 0, h(n = a n ,0 n 10 0,其他 （1）使用基 2 FFT 算法計算 x( n 與 h( n 的線性卷積，寫出計算步驟。 （2）用 C 語言編寫程序，并上機計算。 解： （1）計算步驟： 在序列尾部補零將 h( n 延長成為 16 點的序列； 用基2 FFT 算法分別計算 x( n 和 h( n 的 16 點 DFT，得到 X ( k 和 H (k ； 計算序列的乘積 Y ( k = X ( k H ( k ； 用基2 FFT 算法計算 Y ( k 的 16 點 IDFT，便得到 x( n 和 h( n 的線性卷積 y (n 。

19、 （2） 3.20 已 知 兩 個 實 序 列 x1 ( n 和 x2 ( n 的 離 散 傅 里 葉 變 換 分 別 為 X 1 ( k 和 X 2 ( k 。 設(shè) 復(fù) 序 列 g ( n 為 g (n = x1 (n + jx2 (n 其離散傅里葉變換為 G (k 。令 GOR (k , GER (k , GOI (k , GEI (k 分別表示 G (k 的實部的奇數(shù)部分，實數(shù)的偶數(shù)部分，虛數(shù)的奇數(shù)部分和虛數(shù)的偶數(shù)部分。試用 GOR (k , GER (k , GOI (k , GEI (k 來表示 X 1 (k 和 X 2 (k 。 解：因 GOR ( k = 故 GR (k 1 1

20、GR (k GR (k ， GER (k = GR (k + GR (k 2 2 = GOR (k + GER (k 類似有 GI ( k = GOI (k + GEI (k 因此可以用 GOR ( k , GER (k , GOI ( k , GEI (k 表示 G ( k G ( k = GR ( k + jGI ( k = GOR ( k + GER ( k + j GOI ( k + GEI ( k 另一方面，由于 g ( n = x1 (n + jx2 (n ，故有 G(k = X 1 (k + jX 2 (k 但因 x1 ( n 和 x2 ( n 都是實序列，故 X 1 ( k 和 X 2 ( k 的實部都是偶對稱序列，虛部都是奇對稱序 列，因此應(yīng)將式整理成下列形式 G ( k = GER ( k + jGOI ( k + j GEI ( k jGOR ( k 對照式和式，便可得到 和 X 1 (k = GER (k + jGOI (k X 2 (k = GEI (k jGOR (k 3.21 線性調(diào)頻 Z 變換算法的一個用途是使頻譜的諧振峰變尖。一般說來，如果在 z 平面內(nèi)靠近極點的一條 在應(yīng)用線性調(diào)頻 Z 變換