3 第三章.函數(shù)極限與連續(xù)性ppt課件

1、.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx播放播放一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀

2、察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過過程程中中, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx. 0sin)(,無無限限接接近近于于無無限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxf

3、x 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問題問題: 如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近A”.定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim1、定義：、定義：:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng):.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Axfx )(lim2、另兩種情形、另兩種情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3、幾何解釋、幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬

4、為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxAxxysin 例例1. 0sinlim xxx證證明明證證xxxxsin0sin x1 , 0 ,1 X取取時(shí)時(shí)恒恒有有則則當(dāng)當(dāng)Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故?/, 1MXM能否取問題：對(duì)個(gè)。不一定要找最小的那一的取法有無窮多種當(dāng)然可以，可見定義中,X例例22221lim23xxx證明證證|3|72312222xxx時(shí)有使得當(dāng)要找XxX|, 0, 0|3-|, 3,2xxxx此時(shí)有所以限制因?yàn)?|7|3|72xx7|,|7,|3-|72xxx即只需使要使,/7, 3maxX

5、取,時(shí)有則當(dāng)Xx ,成立成立 . 2312lim22xxx231222xx二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過過程程中中,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過過程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn) x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx 定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)1、定義：、定義：2、幾何解釋、幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)

6、寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx留意：留意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf2.只與任意給定的正數(shù) 有關(guān)的取法不唯一。因此義中的小的正數(shù)都可以作為的任何比后找到一個(gè)顯然,定例例3. 211lim21 xxx證證明明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx處存在極限。但它在處沒有定義雖然在此例說明函數(shù)1,11

7、1)(2xxxxxf處可以沒有定義。在這個(gè)條件下因?yàn)樵凇边@個(gè)作為條件的原因“極限定義中要求要有這就是為什么在函數(shù)的00)(,0 xxxfxx適性。普義失去數(shù)學(xué)定義應(yīng)有的這也將使函數(shù)極限的定這顯然是不合理的，限則本題的函數(shù)就沒有極”改成“如果把條件“,000 xxxx例例4.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任給任給,0 x取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx 即可。只要00 xxx.lim,0:000 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明因?yàn)橐驗(yàn)閤0211) 1(lim521xxxx證明例) 1(| 1|2| 1|211) 1(

8、|2xxxxxx因?yàn)樽C：時(shí)，當(dāng)取則有即內(nèi)討論，限制在時(shí)，不妨把當(dāng)| 1-x|0,min1,2,21| 1|211,| 1-|0201xxxxx211) 1(lim221| 1|2| 1|211) 1(|21x2xxxxxxxx從而證得成立。從而驗(yàn)證了極限的存在此時(shí)就有時(shí)或當(dāng)則或取或使之變形為適當(dāng)放大內(nèi)討論或限制在某一范圍，將對(duì)任給出的的過程。方法如下：解不等式的過程就是或而找的過程或找就是根據(jù)的過程定義驗(yàn)證或用“|)(|,)|(|0),/)(/,min|)| /|)(|(| )(|)(|,)(|,)|(|00|)(|)(,)()(lim)(00000)(0axfXxxxXxcxaxfxxxax

9、faxfcxcxxxaxfXXaxfXxx217lim1169xx例6 用極限定義證明222271771691116916971169xxxx證22|1|1|1|(9 16)|(3 4)|(3 4)|xxxxxx1,|1| 1 4,3 45 4|1| 9 4,|3 4| 6 4,xxxxx由于可以先設(shè)即則22|1|1|1|3|1|(9 16)|(3 4)|(3 4)|2 |(3 4)|xxxxxxxx1| 1/8,|3 4| |(1) 1/4| 1 4|1| 1 8,xxxx 進(jìn)而再假定|則3 |1|38|1| 12|1|2 |3 4|2xxxx從而有1,0 |1|8,12x0,取 =min則

10、當(dāng)時(shí)，271169xlimlnln(0).xaxa a 例7 用 - 定義證明0,|lnln|,xa證： 要使即lnxa (1)(1),a exaa e易見上式等價(jià)于 min (1), (1)(1),a eaeae故只要取|lnln|limlnln .xaxaxa就有，因此三、單側(cè)極限三、單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近; 00 xx記記作作,0 xx從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近; 00 xx記記作作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0

11、, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不不存存在在驗(yàn)驗(yàn)證證xxxyx11 oxxxxxx00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6證證1) 1(lim0 xxxxxxx00limlim11lim0 x.11lim1的存在性討論xx

12、x21013/211xxx左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim1不存在xfx例例7證證0) 11(lim11lim11xxxxx1)01(lim11lim11xxxxx四、函數(shù)極限的定義和對(duì)偶法則000,( ),( ),24xx xxxxxf xAf x 自變量的極限過程有六種，函數(shù)的極限過程有四種，交叉后共有種的極限形式。(見下表見下表)0001);:0,:(0),:0,:(),2)( )( ),( ):0,|( )|( ):0,|( )|xxxxxxxxXxxXf xAf xAf xAf xGf xG 極限定義中的描述包含了兩部分內(nèi)容：自變量的過程的描述 如函數(shù)過程的描述

13、 如，過過 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 )(xf Axf)(0000,lim( ),0,|,|( )|lim( ),0, |,|()|xxf xaXxXf xaf xaXxXf xa 函數(shù)極限定義的否定的對(duì)偶法則 例如：有有0101100|)(|,|0, 0,)(lim|)(|,|0:, 0,)(lim00axfxxxaxfaxfxxxaxfxxxx有：有時(shí)010101000| )(|, 0, 0)(lim| )(|

14、,:, 0, 0)(lim00GxfxxxxGxfGxfxxxxGxfxxxx有：有時(shí)其它定義的對(duì)偶寫法可舉一反三的類似給出。其它定義的對(duì)偶寫法可舉一反三的類似給出。思考題思考題試試問問函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.0:

15、( ).f xxx練習(xí)1 試證 函數(shù)當(dāng)時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右 極限各自存在并且相等 (2), 自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限; 作業(yè)作業(yè) 小結(jié) (1), 自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限; (3), 函數(shù)極限的幾何意義; (4), 單側(cè)極限的概念; (5), 應(yīng)用函數(shù)極限的定義驗(yàn)證函數(shù)極限的方法; P86: 1, 5,6,7. 如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界 證明有使得那么取設(shè));(, 0, 1,)(lim00 xOxAxfxxo. 1)(1)(AxfAxf.);()(0內(nèi)有界在即xOxfo 函數(shù)極限的性質(zhì)1.局部有界性局部有界性 如果當(dāng)xx0時(shí)f(x

16、)的極限存在, 那么這極限是唯一的證明，xxfBA時(shí)的極限當(dāng)都是設(shè)0,)(0, 0, 0101Axfxx時(shí)有當(dāng)那么,)(0, 0202Bxfxx時(shí)有當(dāng)故有同時(shí)成立時(shí)則當(dāng)取，xx)2(),1 (0),min(021.2)()()()(BxfAxfBxfAxfBA.即其極限唯一的任意性得由BA 2.唯一性唯一性 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么對(duì)任何正數(shù)rA (或 r 0 (或f(x) -r 0)證明).(lim)(lim),()();()(),(0000 xgxfxgxfxOxgxfxxxxxx那么內(nèi)有極限都存在且在時(shí)假設(shè)o,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx設(shè))

17、1 (),(0, 0, 0101xfAxx時(shí)有當(dāng)那么)2(.)(0, 0202Bxgxx時(shí)有當(dāng)于是有同時(shí)成立與不等式時(shí)則當(dāng)令，xgxfxx)2(),1 ()()(,0,min021,)()(BxgxfA.,2BABA的任意性知由從而4.保不等式性保不等式性 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x),0|x-x0|0是 的一個(gè)周期，若則至少存在一點(diǎn)使得令則由定理可知當(dāng)，但矛盾。)(lim,)(0110 xPaxaxaxaxPxxnnnn求設(shè)求極限舉例例 )()(lim,lim,0000 xPxPcxcxNkxxkkxx對(duì)解： 有理函數(shù)的極限?)()(lim0 xQxPxx 對(duì) 當(dāng)0)(0 xQ時(shí) )

18、()()()(lim000 xQxPxQxPxx 當(dāng)0)(0 xQ且0)(0 xP時(shí) )()(lim0 xQxPxx 當(dāng)Q(x0)P(x0)0時(shí) 約去分子分母的公因式(xx0) 解 例例 例例 4 求4532lim2 1xxxx 解解 由于解解 031241513245lim22 1xxxx031241513245lim22 1xxxx 根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系得 4532lim2 1xxxx 例例 37412lim231xxxxx求1)34(lim) 1(lim) 1)(34() 1)(1(lim12121xxxxxxxxxxx原式)0(lim22aaxaxaxax求例 2222limaxa

19、xaxaxax解：原式axaxaxaxaxax1)()(lim22axaxaxaxax1)(lima21先用x3去除分子及分母 然后取極限 解解 先用x3去除分子及分母 然后取極限 例例 例例 5 求357243lim2323xxxxx 解解: 73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx 例 例例 6 求52123lim232xxxxx 020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx020512

20、123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx 討論提示例例 7 求12352lim223xxxxx 例例 解解 解解 因?yàn)?52123lim232xxxxx 所以 12352lim223xxxxx 所以 有理函數(shù)的極限? lim110110 mmmnnnxbxbxbaxaxa mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110 mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110 ., 011lim2babaxxxx求常數(shù)已知例 由極限運(yùn)算法則得解：

21、, 01limxx111lim111lim11lim1lim02222aaxbaxxxbaxxxxbaxxxxxxxx. 111lim12xxxbax代入原式，將0011)1 ()()1 (1122baaxbxbaxabaxxxaxxxfaxfxx)(lim,)(lim證明設(shè)已知例5 )()(1)(xxfxxfxxf解：)()(1)(1)(, 0 xfxxxfxxfxxxfx有當(dāng)?shù)米C。有函數(shù)極限的夾逼性，令,x22lim,222xxbaxxbax使練習(xí)：求8. 復(fù)合函數(shù)的極限復(fù)合函數(shù)的極限BufxgfBufAxgAuxxAuxx)(lim)(lim:,)(lim,)(lim00是是否否成成立立

22、問問設(shè)設(shè) 請(qǐng)看下面的例請(qǐng)看下面的例子子0)(lim, 1)(lim,0001)(,1sin)(00 xgufuuufxxxgxu顯然有令故極限不存在。有和子列顯然存在兩個(gè)趨于零的但, 1)(lim, 0)(lim11, 2, 1,/10/1, 01)(nnnnnnygfxgfnynxnnxnxxxgf導(dǎo)致復(fù)合函數(shù)導(dǎo)致復(fù)合函數(shù)f(g(x)的極限不存在的原因有兩個(gè)：的極限不存在的原因有兩個(gè)：不不能能得得到到滿滿足足；，使使得得可可以以無無窮窮多多次次取取到到時(shí)時(shí)在在|0)(|00,01sin)(xgxxxxg存在呢？件才能保證自然要問，需要什么條)(lim0 xgfxx)0)()0(1)(lim0

23、點(diǎn)不連續(xù)在 xxffufu000000lim( ),lim( ),1)(,)( );2) lim( )( )( ( )lim( ( )lim( )(lim( )xxuAuAxxuAxxg xAf uBxxg xAf uf ABf uuAf g xf uBfg xo定理 設(shè)如果滿足以下條件之一的一個(gè)去心鄰域，使得在其中在點(diǎn)處連續(xù)則成立或。證證 1) 1)由條件由條件limf(u)=B(ulimf(u)=B(uA),A),對(duì)對(duì)0,0,110,0,使使 得當(dāng)?shù)卯?dāng)0|u-A|0|u-A|1,1,成立成立|f(u)-B|f(u)-B|0,0,使得使得當(dāng)當(dāng)0|x-x0|0|x-x0|, ,成立成立|g(x

24、)-A|g(x)-A|1.1.根據(jù)題設(shè)條件知在根據(jù)題設(shè)條件知在x0 x0的的去心鄰域內(nèi)去心鄰域內(nèi), ,有有0|g(x)-A| 0|g(x)-A| 1,1,因此成立因此成立|f(g(x)-|f(g(x)-B|B|0,0,10,10,使得當(dāng)使得當(dāng)|u-A|u-A|1,1,成立成立|f(u)-f(A)|f(u)-f(A)|0,0,使使得當(dāng)?shù)卯?dāng)0|x-x0|0|x-x0|, ,成立成立|g(x)-A|g(x)-A|1.1.從而成立從而成立|f(g(x)-f(A)|f(g(x)-f(A)|0(無論多么大), )(lim)(0 xfxxx記作： 0(或X0), 當(dāng)0|xxo|X)時(shí)，有|f (x)|M,則

25、稱f (x)是x x0(或x )時(shí)的無窮大量. 若以“ f (x)M ”代替定義中的 “ |f (x)|M ”, 就得到正無窮大量的定義. )(lim)(0 xfxxx)(lim)(0 xfxxx若以“ f (x)M ”,就得到負(fù)無窮大量的定義.分別記作： 0, 0(或X0), 當(dāng)0|xxo|X)時(shí)，有|f (x)|M,.)(lim)(0 xfxxx則記特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或留意留意（1無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（3無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界

26、變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim20認(rèn)認(rèn)為為極極限限存存在在）切切勿勿將將（ xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但但不不是是無無窮窮大大是是一一個(gè)個(gè)無無界界變變量量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無窮大不是無窮大無界，無界，.11lim1 xx證證明明例例證證. 0 M,11Mx 要要使使,11Mx 只只要

27、要,1M 取取,110時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Mx .11Mx 就就有有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx 11 xy例例2: 試從函數(shù)圖形判斷下列極限試從函數(shù)圖形判斷下列極限.,tglim ,tglim ,tglim ) 1 (222xxxxxx ,lim ,lim )2(xxxxee ,lnlim ,lnlim )3(0 xxxx 解：解： (1)2232xy0 xyy = tgxxy從圖上可看出.tglim ,tglim ,tglim222 xxxxxx ,lim xxe從圖上看出(2) xoyxxy

28、y ?lim ?,lim(xxxxaa一般 ).1, 10討論分aaxey . 0limxxex+x ,lnlim )3( xx ).1, 10討論分aa ?loglim ?,loglim(0 xxaxax一般.lnlim 0 xx注1：若在定義中，將“ f (x)” 換成“ xn” ,注2：若lim f (x)=, 將“ X” 換成“ N” ,將“ x” 換成就得到數(shù)列xn為無窮大量定義.“ n”,則表示在該極限過程中f (x)的極限不存在. 0, X0, 當(dāng)|x|X 時(shí), 有|f (x)|M,.)(limxfx則記注3：不能脫離極限過程談無窮大量. 注4：無窮大量一定是無界量, 任何常量都

29、不是無窮大量.但無界量不一定是無窮大量.),()cos)(sin)(在或xxxfxxxf例例3 3：.sinlim,sinlim不存在內(nèi)是無界函數(shù)，但xxxxxx只須內(nèi)無界函數(shù)是要說明 .),(sin xxy解：解：闡明0, x0(, +)，使得|x0sinx0|M即可.為自然數(shù)，現(xiàn)在取kkx,220，充分大時(shí)當(dāng)則)(22|sin|00kMkxx.sin 是無界函數(shù)故xxy ,2Xxkkxkk充分大時(shí)當(dāng)又取| )(|kxf但.0M不大于.sinlimxxx故,) 1(1 (nnnx例4：例4：.) 1(1 (lim nnn但.2 0 2 0 2 0642是無界數(shù)列，三、無窮小與無窮大的關(guān)系三、

30、無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè),1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng).)(1 xf即即.)(1,0為為無無窮窮小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng).)(1Mxf 從從而而.)(1,0為為無無窮窮大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx , 0)( xf由由于于意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論, ,都可

31、歸結(jié)為關(guān)于無窮都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論小的討論. .四、無窮小的比較四、無窮小的比較 觀察兩個(gè)無窮小比值的極限v觀察與比較03lim20 xxx 203limxxx 1sinlim0 xxx 兩個(gè)無窮小比值的極限的各種不同情況 反映了不同的無窮小趨于零的“快慢程度 在x0的過程中 x2比3x趨于零的速度快些 反過來3x比x2趨于零的速度慢些 而sin x與x趨于零的速度相仿 v無窮小的階 設(shè)a 及b 為同一個(gè)自變量的變化過程中的無窮小 如果0lim 就說是比高階的無窮小 記為o() 如果lim 就說是比低階的無窮小 如果0limc 就說與是同階無窮小 如果0limck k0 就說是關(guān)于的 k

32、 階無窮小 如果1lim 就說與是等價(jià)無窮小 記為 )(o記作“屬于”。例如示中間的等號(hào)的含義是表的函數(shù)都可以記為之比的極限為，凡是與等式右邊是一個(gè)函數(shù)類而是一個(gè)函數(shù)等式左邊兩邊的含義是不同的，等式的比較中注意：在上面無窮小階),(0)(,)()()(,xoxxxox0)(lim| )()(0 xxxxox其中)0()(cos1xxox中的一個(gè)元素。是集合即屬于函數(shù)類上式表示函數(shù))(cos1),(cos1xoxxox)(,)2()(,) 1 (:axhfhggfaxaxfggfax則時(shí)若當(dāng)傳遞性則時(shí)若當(dāng)對(duì)稱性”具有如下性質(zhì)等價(jià)無窮小的符號(hào)“則有因?yàn)? 1lim, 1lim)2(hggfaxax

33、11limlim, 1lim) 1 (gffggfaxaxax所以因?yàn)樽C：. 1limlimlimlimhggfhggfhfaxaxaxax的性質(zhì)。同階無窮小也具有相同同理可證,是同階無窮小。與時(shí)則稱當(dāng)時(shí)有使得且存在正數(shù)都是無窮小與時(shí)若一般的定義同階無窮小還有一個(gè)更)()(,)()()(,)()(,:000 xgxfxxAxgxfaxxAaxgxfxxo界的。的某個(gè)去心鄰域內(nèi)是有在即表示是有界量。表示則若取00)()()(1 ()(, 1)(xxfxfxxxfxgo時(shí)的無窮小量。是即表示是無窮小量。表示若類似地00)()(),)(1 ()(,xxxfxfxxoxf定理1與是等價(jià)無窮小的充分必要

34、條件為o v關(guān)于等價(jià)無窮小的定理 必要性: 證明 01lim) 1lim(lim所以b a=o(a)由于設(shè)ab 只需證b a=o(a) 01lim) 1lim(lim01lim) 1lim(lim 充分性: 設(shè)b=a+o(a) 那么 1)(1lim)(limlimoo1)(1lim)(limlimoo1)(1lim)(limlimoo1)(1lim)(limlimoo 因此ab v關(guān)于等價(jià)無窮小的定理 設(shè) 且lim存在 則limlim 定理2 (無窮小等價(jià)代換定理） limlimlimlimlimlim 證明 limlimlimlimlimlim 定理2的意義: 求兩個(gè)無窮小比值的極限時(shí) 分子

35、及分母都可用等價(jià)無窮小來代替 因此 用簡(jiǎn)單的無窮小代替復(fù)雜的無窮小 則可使計(jì)算簡(jiǎn)化 axaxxxxxexxxxxxxxxxxxln1,1)1 ( ,21cos1,1)1ln(,arcsin,tan,sin02等價(jià)時(shí)，下列函數(shù)與容易證明，在仍然成立。，上述函數(shù)的等價(jià)式子都換成的將上述等價(jià)式中有若在某一極限過程中)(, 0)(,xxx)()()(cos1 (2ln11)(1 (1)(1ln()(arcsin)(tan)(sin)()(xxxaaxexxxxxxxxgeexfxxxgxxfxxxxgxxfxxx1)(,)(,)3(1)(,1)(, 1)2(sin)(,tan)(,0) 1 (11si

36、n2sin32階比較下列各無窮小量的例同階無窮小于是時(shí)當(dāng)則令的高階無窮小是，所以當(dāng)解3133lim)1 (1limlim, 0,1,)1 (,1)2(0limsintanlimlimsintan, 0) 1 (2303013320200ttttttgftxtxxtgfxxxxxxgfxxxxxtxxxxsin2sin000(3)1,1 ,0,11sin2sinlimlim()limlim1.ttxttttxxtxtfeettgttttfg 令則當(dāng)時(shí)于是與 是等階無窮小是同階無窮小。與時(shí)當(dāng)證明例)0( 1)1 ()(sin1tan1)(,02xxgxxxfx是同階無窮小。與性，即證再由同階無窮小

37、的傳遞同階都與時(shí)我們先證當(dāng)同階比較繁與解：由于直接證)()(,0,xgxfxgfxgf1coscos1sinsin1tan11limsin1tan1lim00 xxxxxxxxxxx是同階無窮小。與性即得是同階無窮小，由傳遞都與與由于)()(lim1)1 (lim,1)1 (00 xgxfxgfxxxxxxxxxexxexxxxxxxxxeexxxxxxxxxxx2)ln()ln(sinlim)4(sintanlim) 3(2sin)1ln()(tan)2cos1)(lim)2(cos11sin1lim) 1 (3222030tan00下列極限。利用等價(jià)無窮小代換求例1sinlim22sinl

38、imcos11sin1lim,2cos1 ,21)1 ( , 0) 1 (0200221xxxxxxxxxxxxxxxx于是解： 122lim2)(tan2)(tanlim2)(tan2) 1(lim2sin)1ln()(tan)2cos1)(lim)2(22022022tan0tan0 xxexxxxxxexxxxeexxxxxeexxxxxxxxxxx21cos2limcos)cos1 (sinlimsintanlim) 3(3203030 xxxxxxxxxxxxxx1sinlim)1ln()sin1ln(limln)ln(ln)ln(sinlim2)ln()ln(sinlim)4(22

39、202220222202220 xxxxxxxxxxxxxxexexexexeexeexxexxex33003300cossincos1limlim2tansintantanlimlim0 xxxxxxxxxxxxxxxxxx 如。加減因子一般不能代換乘積因子可以代換說價(jià)無窮小代換。換句話只對(duì)其中的一部分用等而不能做整體代換或分母即一定要對(duì)整個(gè)分子代換為也不能隨便將即使函數(shù)極限時(shí)的或代換求形如注意：利用等價(jià)無窮小,)(,)(uuuuwvuvu。實(shí)際上此極限等于無法求出。不確定失效但此方法對(duì)這樣的21,)(limsintanlim.sintanlim303030 xxoxxxxxxxxxxx)(

40、)()()(1xovuxovxouvu如進(jìn)行代換，的定理但可以利用等價(jià)無窮小1212)(32lim2)(3()(2(lim2)1 () 11(lim)21ln(1lim003030 xxoxxxxoxxoxxexxexxxxxxx例如vuvuvuvuvvuuvvuu1,)lim(lim,:，則有且不等于存在或均是無窮小量，且中在相同的某一極限過程一般地有如下的命題題也成立。因而命等于則它們比值的極限就不同號(hào)或若同時(shí)還可以看出整體替換就可以用求函數(shù)極限時(shí)在命題成立的條件下由此命題可知, 1,),(,vuvuvuvu0tanlim1,sinxxx 如上題，tanx-sinx=tanx+(-sinx

41、) 故不能替換。0)(lim:vuvuvu事實(shí)上只需證明命題的證明)1ln(sin1tan1lim0 xxxx練習(xí)：0limlim)(limvuvvvuuuvuvuvu而011limlim, 011limlimvuvuvuvvuvuuvuuu的幾階無窮??？是時(shí)當(dāng)例xaaxax)0(,045555005500limlim()11limlim2nnxxnxxaxaxxxaxaxaaxa解：階無窮小。時(shí)的是當(dāng)因此函數(shù)必須使為使極限為非零常數(shù)，50, 55xaxan思考與練習(xí)思考與練習(xí)性和傳遞性。證明同階無窮小的對(duì)稱. 1)()()5()()()4()()()()3()()()()()2()()()(

42、) 1 (,. 20 xfoxfoxfoxfooxfxfoxfxgxfoxgoxfoxgoxgoxgoxxooo下列各式成立時(shí)證明當(dāng)0)()(lim)()(lim)()()(lim).1 (2000 xgxgoxgxgoxgxgoxgoxxxxxx因?yàn)榻?0)()(lim)()(lim)()()()(lim)()()(lim)3(0000ccxfxfoxfxfxfxfoxfxfxfxfoxfxxxxxxxxooo作業(yè)作業(yè) P108 1(2)(4)(6)(8)(10),2,3. v 1 連續(xù)性概念v 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)v 3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1 連續(xù)性概念 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一

43、個(gè)鄰域U(x0)內(nèi)有定義 稱 y=f(x0+ x)-f(x0)為函數(shù)y在x0處的增量 在鄰域U(x0)內(nèi) 若自變量x從初值x0變到終值x1則稱x=x1-x0為自變量x的增量 xy1.函數(shù)的增量 函數(shù)連續(xù)與否的概念源于對(duì)函數(shù)圖像的直觀分析。直觀的看，如果函數(shù)的圖像是一條各點(diǎn)相互“連結(jié)而不出現(xiàn)“延續(xù)的曲線，這樣的函數(shù)我們稱之為連續(xù)函數(shù) 為了深入研究函數(shù)連續(xù)的概念，我們首先引入增量的概念分析:0lim0yx設(shè)x=x0+Dx 則當(dāng)Dx0時(shí) xx0 因此 設(shè)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義 假設(shè)那么就稱函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)x0處連續(xù) 0lim0yx 或0lim0yx 或)()(lim

44、00 xfxfxx yfx0 xfx00lim0yx0)()(lim00 xfxfxx0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性 那么稱函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，點(diǎn) 稱為函數(shù) 的 連續(xù)點(diǎn)。)(xf0 x0 x)(xf2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性 定義 假設(shè) （1函數(shù) 在 處及其近旁有定義；)(xfy 0 x（2） 存在； )(lim0 xfxx（3）)()(0lim0 xfxfxx交換。與函數(shù)號(hào)可以把極限號(hào)極限時(shí)，函數(shù)連續(xù)，則在求函數(shù)這個(gè)式子意味著：如果即有下式成立點(diǎn)處連續(xù)在如果fxfxfxfxxxfxxxxlim)lim()()(lim,)(0000

45、如何用e-d 語言敘述函數(shù)的連續(xù)性定義？ e 0 d 0 x滿足|x-x0|d時(shí) 有|f(x)-f(x0)|0 d 0 x滿足|x-x0|0當(dāng)時(shí)，注: (1)把定理中的xx0換成x 可得類似的定理(2)定理的結(jié)論也可寫成)(lim)(lim00 xgfxgfxxxx 提示:93lim23xxx61 函數(shù)uy在點(diǎn)61u連續(xù) 例例4 例 3 求93lim23xxx 解 93lim23xxx93lim23xxx61 解解 93lim23xxx93lim23xxx6193lim23xxx93lim23xxx61 932xxy是由uy與932xxu復(fù)合而成的 sin u 當(dāng)-u+時(shí)是連續(xù)的 例例5 例例

46、 4 討論函數(shù)xy1sin的連續(xù)性 解解 函數(shù)xy1sin是由 ysin u 及xu1復(fù)合而成的 x1當(dāng)x0 和 0 x0,M0,對(duì)xo(,)a,b,有 |f(x)|M 但對(duì)充分大的n應(yīng)有an bn o(,)a,b,于是就得到f(x)在這樣的an,bn上有界,構(gòu)成矛盾. 因此函數(shù) f (x)在a b上有界 例例1 設(shè)設(shè)f(x)在在a,+)上連續(xù)上連續(xù),且且limf(x)(x+)存在存在,證明證明f(x)在在a,+)上有界上有界 證明證明 由題設(shè)由題設(shè),令令lim f(x)=A(x+),則對(duì)則對(duì)=1,X0,當(dāng)當(dāng)xX時(shí)時(shí),有有|f(x)-A|1,從而當(dāng)從而當(dāng)xa,+)時(shí)，有時(shí)，有 |f(x)|=|

47、f (x)-A+A|f (x)-A|+|A| 0,M0,當(dāng)當(dāng)xX時(shí)時(shí),有有|f(x)-A|A|時(shí)，時(shí)，f(x)在在a,+)上能取到最大值上能取到最大值M, 若若m-|A|,f(x)在在a,+)上能取到最小值上能取到最小值m,但不一定同時(shí)都能取到但不一定同時(shí)都能取到f(x)的最大值和最小值。的最大值和最小值。 請(qǐng)同學(xué)思考，給出反例。 例例2 設(shè)設(shè)f(x)是是a,b上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),且對(duì)每一個(gè)且對(duì)每一個(gè)xa,b, 存在存在ya,b,使得使得|f(y)|f(x)|/2。證明。證明f(x)在在a,b中有零點(diǎn)中有零點(diǎn) 證明證明 f(x)是是a,b上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), |f(x)|在閉區(qū)間在

48、閉區(qū)間a,b上也是連續(xù)的上也是連續(xù)的 對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)|f(x)|應(yīng)用最值定理，則必存在應(yīng)用最值定理，則必存在a,b，使得，使得 |f()|是函數(shù)是函數(shù)|f(x)|在在a,b上的最小值，且上的最小值，且|f()|0. 另 一 方 面另 一 方 面 , 由 題 設(shè) 條 件 知 ， 存 在由 題 設(shè) 條 件 知 ， 存 在 y a , b , 使使|f(y)|f()|/2, 假設(shè)假設(shè)|f()|0, |f()|就不是最小值，則就與就不是最小值，則就與最值定理矛盾。所以最值定理矛盾。所以|f()|=0，從而，從而f()=0，即，即f(x)在在a,b上上有零點(diǎn)。有零點(diǎn)。 注: 如果x0使f(x0)=0 則x

49、0稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn) 定理3(零點(diǎn)定理，也稱根的存在定理) 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號(hào) 那么在開區(qū)間(a b)內(nèi)至少一點(diǎn)x 使f(x)=0 證明 用區(qū)間套定理證。 不失一般性, 設(shè)f(a)0 但對(duì)xa,b,都有f(x)0。將a,b等分,用a1,b1表示滿足f(a1)0的那一半?yún)^(qū)間。再將a1,b1等分,用a2,b2表示滿足f(a2)0的那一半?yún)^(qū)間，如此繼續(xù)下去，便得到一個(gè)閉區(qū)間套 a1,b1a2,b2 an,bn滿足f(an)0，且bn-an=(b-a)/2n0 (n)由閉區(qū)間套定理，存在(a,b),使得 liman=limbn= (n)再由f(x)的連續(xù)性

50、,得 f ()=limf(an)0 , f ()=limf(bn)0 (n) 這就表明f()=0。 另證 用確界原理證。 不失一般性, 設(shè)f(a)0 令 V=x |f (x)0, xa,b, 顯然集合V有界、非空,所以必有 上 界 . 設(shè) = s u p V , 由 f ( x ) 的 連 續(xù) 性 及f(a)0,xa,a+1,有f(x)0,20,對(duì)xb-2,b,有f(x)0,于是知a+1,b-2 (a,b). 由上確界定義,存在數(shù)列xnV,滿足 -1/nxn，f(xn)0于是xn, 再由f(x)的連續(xù)性,得 f ()=limf(xn)0 (n) 另一方面,由于是V的上確界，且0 f(1)=-2

51、0 根據(jù)零點(diǎn)定理根據(jù)零點(diǎn)定理 在在(0 1)內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn)x 使得使得 f(x)=0 即即 x 3-4x 2+1=0 這說明方程這說明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間在區(qū)間(0 1)內(nèi)至少有一個(gè)根是內(nèi)至少有一個(gè)根是x 例例4 設(shè)設(shè)f(x)是是0,1上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),且且f(0)=f(1), 證明對(duì)任意證明對(duì)任意的自然數(shù)的自然數(shù)n, 必存在一點(diǎn)必存在一點(diǎn)0,1, 使使 f()=f(+1/n) 證明證明 這類問題通常的思路是構(gòu)造輔助函數(shù)。這類問題通常的思路是構(gòu)造輔助函數(shù)。令令 F(x)= f (x)-f (x+1/n), 顯然顯然F(x)是是0,1-1/n上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),

52、 分別令分別令 x=0, 1/n, 2/n, , (n-1)/n，那么，那么 F(0)+F(1/n)+F(2/n)+ F(n-1)/n) = f(0)-f(1) =0 因此因此F(0),F(1/n),F(n-1/n)這這n個(gè)函數(shù)值中必存在個(gè)函數(shù)值中必存在0kmn-1使得使得F(k/n)F(m/n)0,x0,1-1/n,于是于是對(duì)對(duì)k=0,1,n-1,有有 F(k/n)0 f (k/n)f(k+1)/n) 因此推出因此推出f(0)f(1/n)f(1)，可見與題設(shè)矛盾。，可見與題設(shè)矛盾。定理4(介值定理) 設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)f(b) 那么 對(duì)于f(a)與f(b)之間的

53、任意一個(gè)數(shù)C 在開區(qū)間(a b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x 使得f(x)=C 證明 用輔助函數(shù)方法證。 不失一般性, 設(shè)f(a)C f(b) 考察輔助函數(shù) F(x)=f (x)-C xa,b, 顯然函數(shù)F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且 F(a)=f(a)-C0,由零點(diǎn)存在定理，必有(a,b), 使得 F()=0 , 即 f ()=C推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值 換句話說，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的值域也是一個(gè)閉區(qū)間。 例例5 設(shè)設(shè)f(x)在在(-,+)上有定義，具有如下的介質(zhì)性質(zhì)：上有定義，具有如下的介質(zhì)性質(zhì)：介于介于f(a)與與f(b)之間的數(shù)之間的數(shù)C,則均存在則均存在

54、(a,b),使得使得f()=C,且且f(x)的每個(gè)值僅取到一次。證明的每個(gè)值僅取到一次。證明 f(x)在在(-,+)上連續(xù)上連續(xù) 證明證明 用反證法用反證法 假設(shè)假設(shè)f(x)在在x0處不連續(xù)，則必在某一處不連續(xù)，則必在某一側(cè)側(cè)不連續(xù)，不妨假定不連續(xù)，不妨假定f (x)在在x0的右側(cè)不連續(xù)，則對(duì)的右側(cè)不連續(xù)，則對(duì)00,對(duì)對(duì)0 x，當(dāng)，當(dāng)0 x -x0f(x0)+0 或或 f(xn)f(x0)+0f(x0)由介質(zhì)定理由介質(zhì)定理,則必存在則必存在n(x0, xn)，使得，使得 f(n)=f(x0)+0。即有無窮多個(gè)即有無窮多個(gè)n取值取值f(x0)+0，這與題設(shè)矛盾。，這與題設(shè)矛盾。 例例6 設(shè)設(shè)f(

55、x)在在(a,b)上連續(xù)，若存在上連續(xù)，若存在xn,yn(a,b)滿足滿足 Limxn=linyn=a (n)使得使得limf(xn)=A,且且limf(yn)=B(n),則對(duì)則對(duì)A與與B之間的任意之間的任意數(shù)數(shù)C,證明必存在數(shù)列證明必存在數(shù)列zn(a,b),使使limzn=a,(n),且且 limf(zn)=C (n) 證明證明 不失一般性不失一般性 令令A(yù)C N 時(shí) ， 有時(shí) ， 有f(xn )(C+B)/2。 即當(dāng)即當(dāng)n充分大時(shí)有充分大時(shí)有 f(xn)C0,0,只要x1,x2X, 滿足|x1-x2| 就成立|f(x1)-f(x2)|0,0,都x1,x2X,滿足|x1-x2|0, 使得 |

56、 f (xn)- f (yn) | 0 nN+ 若取=1/n，n=1,2,于是xn,ynX, 滿足|xn-yn|0,取=，則對(duì)任意兩點(diǎn)x1,x2R, 只需 |x1-x2|, 就一定成立|sinx1-sinx2 |x1-x2|0,只要取=2，就可以使x1,x2,1) 且 |x1-x2|時(shí), 成立|1/x1-1/x2|。這表明f(x)=1/x在,1)上一 致連續(xù)。 但可以證明 f(x)=1/x 在,1)上一致連續(xù)。 事實(shí)上,對(duì)x1,x2,1)，有22121212121|11| )()(|xxxxxxxxxfxf函數(shù)在區(qū)間I的一致連續(xù)性是函數(shù)在I上整體變化情況的一種衡量.直觀上如果函數(shù)變化較為劇烈,

57、即函數(shù)圖像很陡，那么函數(shù)可能就不一致連續(xù)；如果連續(xù)函數(shù)變化較平緩，其函數(shù)圖像較為平坦，那么它可能是一致連續(xù)的。f xx例3 證明 ( )=在0,+ )上當(dāng)01時(shí)一致連續(xù)， 當(dāng)1時(shí)不一致連續(xù)性。0,1,1)+1x- xxxx 證 當(dāng)01時(shí),有()（1-11x- x()f xx易見( )=在0,+ )上當(dāng)00, ( + ) -x xx x1212對(duì),0,+ ), ,有22121112111(1(xxxxxxxxxx()1limlim(1)1limlimxxxxxxxxxxx ( + ) -1210,0,xxx于是取 充分大且有12| 1xx 。( )0,)f xx故在上不一致連續(xù)。( )( , , )( )( , )f xa bb cf xa c例4 若函數(shù)在區(qū)間和上都一致連續(xù)，證明在上一致連續(xù)。, 2/| )()(|,|), 2/| )()(|,|,(, 0,2211 xfxfxxcbxxxfxfxxbaxx成立時(shí)且當(dāng)使得又存在成立時(shí)且使得當(dāng)對(duì)由題設(shè)條件證明因此有時(shí)且，當(dāng)取,| ,|,|,min2121 bxbxxxxbx上也是一致連續(xù)的。在合并的區(qū)間就證明了此時(shí)，結(jié)論是顯然的。因或同屬當(dāng)),()(),(,caxfcbcaxx 22| )()(| )()(| )()(|b