用扭擺法測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1、用扭擺法測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量岡咻的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度，是表征剛體特性的一個(gè)物理量。它與剛體的形狀、總質(zhì)量、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。如果剛體是由幾部分組成的，那么剛體總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J就等于各個(gè)部分對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，即J= Jl+ J2+ 對(duì)于形狀簡(jiǎn)單的勻質(zhì)物體，可以直接計(jì)算岀它繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)于形狀比較復(fù)雜或非勻質(zhì) 的物體，則多采用實(shí)驗(yàn)的方法來測(cè)定，如電機(jī)轉(zhuǎn)子、機(jī)械部件、鐘表齒輪、槍炮彈丸等。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量，一般都是使物體以一定的形式運(yùn)動(dòng)，再通過表征這種運(yùn)動(dòng)的物理量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系,來進(jìn)行轉(zhuǎn)換測(cè)量的。本實(shí)驗(yàn)使物體扭擺轉(zhuǎn)動(dòng)，由對(duì)擺動(dòng)周期及其它參數(shù)的測(cè)量而計(jì)算岀物體的

2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量。這種方法不僅儀器簡(jiǎn)單、操作容易，而且結(jié)果也比較準(zhǔn)確。實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 熟練掌握直尺、游標(biāo)卡尺、數(shù)字式電子天平的使用；2. 熟悉扭擺的構(gòu)造及使用方法，測(cè)定扭擺的儀器常數(shù)（彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)）K ;3. 測(cè)定幾種不同形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并與理論值進(jìn)行比較；4. 驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。儀器與用具扭擺裝置及其附件（塑料圓柱體，金屬空心圓筒，實(shí)心球體，金屬細(xì)長(zhǎng)桿等），轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀，數(shù)字式電子天平，直尺，游標(biāo)卡尺。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀說明：1. 開機(jī)后擺動(dòng)指示燈亮，功能顯示窗顯示“P1”數(shù)據(jù)顯示窗顯示“ 0000”，因本儀器的內(nèi)部單片機(jī)設(shè)置了自動(dòng)復(fù)位功能，所以不會(huì)出現(xiàn)死機(jī)現(xiàn)象。方式設(shè)定鍵“轉(zhuǎn)動(dòng)”和“擺

3、動(dòng)”鍵，功能選擇鍵（左邊的一組鍵） ，數(shù)據(jù)設(shè)置鍵（右面一組箭頭鍵） 以及“清零”、“執(zhí)行”鍵分別有效，“記時(shí)”指示燈工作時(shí)亮。開機(jī)默認(rèn)狀態(tài)為“擺 動(dòng)”，默認(rèn)周期數(shù)為10,測(cè)量次數(shù)為3,執(zhí)行數(shù)據(jù)皆空為0。中親方盃沒歪臬QS-Rfi特動(dòng)AT受測(cè)丸便功假擇功能顯示數(shù)據(jù)設(shè)定數(shù)據(jù)呈示圖1 QS-R型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀面板圖2. 功能選擇按“轉(zhuǎn)動(dòng)” “擺動(dòng)”鍵，可以選擇擺動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)兩種功能（開機(jī)默認(rèn)值為擺動(dòng)）。3. 置數(shù)按左面一排的箭頭鍵，對(duì)“重復(fù)次數(shù)”（周期數(shù)）和“測(cè)量次數(shù)”進(jìn)行選擇，選“重復(fù)次數(shù)”（其左面的指示燈亮）時(shí)顯示“ n =10 ”，按右面“V鍵，周期數(shù)依次加1,按“J”鍵，周期數(shù)依次減 1，周期數(shù)

4、只能在1 20范圍內(nèi)任意設(shè)定。選“測(cè)量次數(shù)”時(shí)，顯示“ n=3”，按“f”，測(cè)量次數(shù)依次加1,按“J”，測(cè)量次數(shù)依次減1。各參數(shù)一旦予置完 畢，除再次置數(shù)外，其它操作均不改變予置的參數(shù)。4. 執(zhí)行將測(cè)量次數(shù)和重復(fù)次數(shù)選定后，按左面的，選定“測(cè)量”，然后將剛體水平旋轉(zhuǎn)約 90度后讓其自由擺動(dòng)，按“執(zhí)行”鍵，儀器的兩表頭分別顯示“P1” “000.0 ”，當(dāng)被測(cè)物體上的擋光桿第一次通過光電門時(shí)開始計(jì)時(shí)，同時(shí)狀態(tài)指示的“計(jì)時(shí)”燈點(diǎn)亮。隨著剛體的擺動(dòng)，儀器開始連續(xù)計(jì)時(shí)，直到周期數(shù)（重復(fù)次數(shù)）等于設(shè)定值時(shí)，停止計(jì)時(shí)，計(jì)時(shí)指示燈隨 之熄滅，此時(shí)儀器顯示第一次測(cè)量的總時(shí)間。重復(fù)上述步驟，可進(jìn)行多次測(cè)量。本機(jī)

5、設(shè)定重復(fù)測(cè)量的最多次數(shù)為 5次，即（P1、P2、P3、P4、P5）。執(zhí)行鍵還具有修改功能，按執(zhí)行鍵 可重新測(cè)量數(shù)據(jù)。5. 查詢按“查詢”鍵，可知每次測(cè)量的周期（C1-C5）以及多次測(cè)量的周期平均值CA如沒有數(shù)據(jù)，則每次的總時(shí)間數(shù)顯示為“ 0000”，周期數(shù)不顯示。實(shí)驗(yàn)原理圖2扭擺的構(gòu)造及光電探頭扭擺的構(gòu)造如圖2所示，在其垂直軸1上裝有一個(gè)薄片狀的螺旋彈簧2，用以產(chǎn)生恢復(fù)力矩。在軸1上可以安裝各種待測(cè)物體。垂直軸與支架間裝有軸承，以減小摩擦力矩。將待測(cè)物體裝在軸1上，在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)過角度 二后，在彈簧的恢復(fù)力矩作用下，物體就開始繞垂 直軸作往返扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。根據(jù)胡克定律，彈簧受扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的恢復(fù)力矩M與

6、所轉(zhuǎn)過的角度二成正比，即M=-K二（1）式中K為彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)。根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=J?式中J為物體繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，？為角加速度，有(2)二成正比，且方向相反。?=Mj2 K令灼，且忽略軸承的摩擦阻力矩，由式（1）、（ 2）可得J丄 £ K _ ,2 二dt2 J此方程表示扭擺運(yùn)動(dòng)具有角簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特性；角加速度1與角位移 此微分方程的解為v= Acos( t+ )式中，A為諧振動(dòng)的角振幅，為角速度，為初相位。此間諧振動(dòng)的擺功周期為由式（3）可知，在測(cè)得了扭擺的擺動(dòng)周期T后，在K和J中任何一個(gè)量已知時(shí)，即可3）可知,計(jì)算出另外一個(gè)量的值。在本實(shí)驗(yàn)中，是將待測(cè)物體放在載物盤上測(cè)量其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

7、的，則由式（式中Jo為金屬載物盤繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,T。為其擺動(dòng)周期，待測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J1，它與載物盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期為Ti，其單獨(dú)繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期為T0J 0或Jo T2T i Jo JiJiT?-T0式中，A為諧振動(dòng)的角振幅，為角速度，為初相位。此間諧振動(dòng)的擺功周期為式中，A為諧振動(dòng)的角振幅，為角速度，為初相位。此間諧振動(dòng)的擺功周期為Ti - T0 （為什么？）。因此，彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)對(duì)于實(shí)驗(yàn)中所用的質(zhì)量為=4-mi、直徑為Di的勻質(zhì)圓柱體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1 2 J 8miD2由此可以求出扭擺彈簧裝置的儀器常數(shù)若要測(cè)定其它形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，只需將待測(cè)物體固定在扭擺裝置的垂直軸上，測(cè)

8、定其擺動(dòng)周期，利用已知的 K值，帶入式（3）即可計(jì)算出該物體繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J,即(4)根據(jù)剛體力學(xué)理論，若質(zhì)量為m的物體繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為j0，則繞距其質(zhì)心軸平移距離為 x的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2J 二 Jo mx（5）這個(gè)定理稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟1. 用數(shù)字式電子天平測(cè)量塑料圓柱、金屬圓筒、實(shí)心球以及金屬細(xì)桿的質(zhì)量。2. 用游標(biāo)卡尺分別測(cè)量塑料圓柱的外徑，金屬圓筒的內(nèi)、外徑各三次，用直尺測(cè)量細(xì) 桿的長(zhǎng)度三次。3. 調(diào)整扭擺基座螺釘，使水準(zhǔn)泡的氣泡居中。4. 裝上金屬載物盤，調(diào)整光電探頭的位置使載物盤擋光桿處于其缺口（見圖2）中央,且能遮住紅外線的小孔，測(cè)量其i0次

9、往返擺動(dòng)所用的時(shí)間3次。將塑料圓柱、金屬圓筒分別垂直放于載物盤上，測(cè)量其i0次往返擺動(dòng)所用時(shí)間。5. 取下載物盤，分別裝上實(shí)心球及金屬細(xì)桿，測(cè)量其10次往返擺動(dòng)所用時(shí)間。6. 將滑塊對(duì)稱的放在細(xì)桿兩邊的凹槽內(nèi)（滑塊質(zhì)心距轉(zhuǎn)軸距離分別為5.00cm，10.00cm，15.00cm，20.00cm, 25.00cm）分別測(cè)量細(xì)桿 5次往返擺動(dòng)所用時(shí)間。數(shù)據(jù)表格及數(shù)據(jù)處理1. 彈簧扭轉(zhuǎn)系數(shù)及物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)定物體名稱質(zhì)量（kg）幾何尺寸（cm）周期T (s)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值_42（10 kg m）實(shí)驗(yàn)值/ A2(10 kg m)百 分 誤 差金屬載物盤/10T0.T0J1/J0 2 2T內(nèi)-T2平均值

10、塑料 圓柱D110T1J1 =8m1D2 =/平均值平均值金屬 圓筒D內(nèi)10T2J 2晉（D j內(nèi)+D外平均值D外平均值平均值實(shí)心球D310T3” 1 _2J3-石m3D3_平均值平均值金屬細(xì)桿L10T4J“*m4l2 =平均值平均值K = 4 -2二N?mTi -To2驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理X ( cm)5.0010.0015.0020.025.00擺動(dòng)5個(gè)周期的時(shí)間（s）擺動(dòng)周期T（ s）實(shí)驗(yàn)值(10kg .m2) j_ K2T24兀理論值（10鼻kg m2）2宀4+叫+J：百分誤差其中：細(xì)桿夾具轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J =0.230 10*kg *m2球支座轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J=0.i78 io°

11、;kgm2兩個(gè)滑塊繞繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J 5 =2 0.406 lOkg m2 =0.812 10kg m2單個(gè)滑塊質(zhì)量 m=239.7g。注意事項(xiàng)1. 彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù) K不是固定常數(shù)，與擺動(dòng)的角度有關(guān)，但在 40度-90度間基本相同。因 此為了減少擺角變化帶來得系統(tǒng)誤差， 在測(cè)量過程中，擺角不宜過小，且各次測(cè)量時(shí)的擺角 應(yīng)基本相當(dāng)，整個(gè)實(shí)驗(yàn)中擺角應(yīng)基本保持在這一范圍內(nèi)。2. 光電探頭應(yīng)放置在擋光桿的平衡位置處，且不能相互接觸，以免增加摩擦力矩。3. 在使用過程中，基座應(yīng)保持水平狀態(tài)。4. 載物盤必須插入轉(zhuǎn)軸，并將螺絲旋緊，使它與彈簧組成固定的系統(tǒng)。如果發(fā)現(xiàn)擺動(dòng)數(shù)次 之后擺角明顯減小或停下，應(yīng)將止動(dòng)螺絲旋緊。思考題1. 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與哪些因素有關(guān)？說“一個(gè)確定的剛體有確定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量”，這句話對(duì)嗎？為什么？2. 在測(cè)定擺動(dòng)周期時(shí)，光電探頭應(yīng)放置在擋