新課標高三第一輪溫習單元講座第05講函數(shù)圖象及數(shù)字特點

1、一般高中課程標準實驗教科書一數(shù)學人教版高三新數(shù)學第一輪溫習教案（講座5）一函數(shù)圖象及數(shù)字特點一.課標要求：1 .把握大體初等函數(shù)的圖象的畫法及性質。如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、靠函數(shù)等；2 .把握各類圖象變換規(guī)那么，如：平移變換、對稱變換、翻折變換、伸縮變換等；3 .識圖與作圖：關于給定的函數(shù)圖象，能從圖象的左右、上下散布范圍，轉變趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的概念域、值域、單調性、奇偶性、周期性。乃至是處置涉及函數(shù)圖象與性質一些綜合性問題；14 .通過實例，丁解寡函數(shù)的概念；結合函數(shù)y=x,y=x2,），=；v3,）,=xT,），=x2的圖像，了解

2、它們的靠變情形。二.命題走向函數(shù)不僅是高中數(shù)學的核心內容，仍是學習高等數(shù)學的基礎，因此在高考中，函數(shù)知識占有極為重要的地位。其試題不但形式多樣，而且突出考查學生聯(lián)系與轉化、分類與討論、數(shù)與形結合等重要的教學思想、能力。知識覆蓋面廣、綜合性強、思維力度大、能力要求高,是高考考教學思想、數(shù)學方式、考能力、考素養(yǎng)的主陣地。從歷年高考形勢來看：（1）與函數(shù)圖象有關的試題，要從圖中（或列表中）讀取各類信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對稱變換，注意函數(shù)的對稱性、函數(shù)值的轉變趨勢，培育運用教形結合思想來解題的能力，會利用函數(shù)圖象，進一步研究函數(shù)的性質，解決方程、不等式中的問題；（2）函數(shù)綜合問題多以知識交

3、匯題為主，乃至以抽象函數(shù)為原型來考察；1（3）與寡函數(shù)有關的問題要緊以y=x,y=x2,），=x3,y=xT,y=/為主，利用它們的圖象及性質解決實際問題；預測07年高考函數(shù)圖象：（1）題型為1到2個埴空選擇題；（2）題目多從由解析式得函數(shù)圖象、數(shù)形結合解決問題等方面出題；函數(shù)綜合問題：（1）題型為1個大題；（2）題目多以知識交匯題目為主，重在考察函教的工具作用；案函數(shù)：單獨出題的可能性很小，但一些具體問題乃至是一些大題的小進程要應用其性質來解決；三.要點精講1.函數(shù)圖象(1)作圖方式：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方式有兩種，即列表描點法和圖象變換法，把握這兩種方式是本講座的重點。作函數(shù)圖象的步

4、驟：確信函數(shù)的概念域：化簡函數(shù)的解析式；討論函數(shù)的性質即單調性、奇偶性、周期性、最值(乃至轉變趨勢)；描點連線，畫出函數(shù)的圖象。運用描點法作圖象應幸免描點前的盲目性，也應幸免盲目地連點成線黑把表列在關鍵處，要把線連在適當處這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特點、轉變趨勢等作一個可能的研究。而那個研究要借助于函數(shù)性質、方程、不等式等理論和手腕，是一個難點用圖象變換法作函數(shù)圖象要確信以哪一種函數(shù)的圖象為基礎進行變換，和確信如何的變換，這也是個難點。(2)三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；平移變換：I、水平平移：函數(shù)y=/(x+)的圖像能夠把函數(shù)丁=/(刈的圖像沿x軸方向向左(a0)

5、或向右(av=/(A+h)；2),v5x)y=/(A-h)；II、豎直平移：函數(shù)y=/(x)+的圖像能夠把函數(shù)丁=/(x)的圖像沿x軸方向向上(a0)或向下(。y=/(.v)+h；2).v=7U)y=x)-h.o對稱變換：I、函數(shù)y=/(x)的圖像能夠將函數(shù)y=/(x)的圖像關于軸對稱即可取得；y軸產)-y=A-)II,函數(shù)y=/*)的圖像能夠將函數(shù)y=/(x)的圖像關于x軸對稱即可取得：軸y=.flx)-y=-f(x)III、函數(shù))，=一/(T)的圖像能夠將函數(shù),，=/(X)的圖像關于原點對稱即可取得：原點y=My=-A-a)IV、函數(shù)x=/(y)的圖像能夠將函數(shù)丁=/(X)的圖像關于直線y

6、=x對稱取得。-a-=/(v)V、函數(shù)y=/(2。一x)的圖像能夠將函數(shù)y=/(x)的圖像關于直線x=a對稱即可取得;克線Ki)三)-y=A20)的圖像能夠將函數(shù)y=/(x)的圖像中的每一點橫坐標不變縱坐標伸長(41)或緊縮(0。0)的圖像能夠將函數(shù)y=f(x)的圖像中的每一點縱坐標不變橫坐標伸長(a1)或緊縮(0。1)為原先的,倍取得.axaA。)三)-y=fiat)(3)識圖：散布范圍、轉變趨勢、對稱性、周期性等等方面。2.寤函數(shù)在考查學生對事函數(shù)性的把握和運用函數(shù)的性質解決問題時，所涉及的耗函數(shù)y=中al限于在集合2,1,，99192,3）中取值a232J案函數(shù)有如下性質：它的圖象都過（

7、1,1）點，都只是第四象限，且除原點外與坐標軸都不相交：概念域為R或（8,0）u（O，+S）的轅函數(shù)都具有奇偶性，概念域為R+或0,+s的轅函數(shù)都不具有奇偶性;耗函數(shù)），=/7。工0）都是無界函數(shù)：在第一象限中，當。0時為減函數(shù)，當0時為增函數(shù)；任意兩個箱函數(shù)的圖象至少有一個公共點（1,1）,最多有三個公共點:四.典例解析題型1:作圖例1.（06重慶理）如下圖，單位圓中弧A8的長為表示弧A8與弦A8所闈成的弓解析：顯然當x=二時，陰影部份的面積等于1圓的而積減去以圓的半徑為腰的等腰24直角三角形的面積，/（）=2（:一?）=?：,即點（三,三二）在直線y=x的下2422222方，故應在C、D當

8、選擇。而鐺鐺1=巳時，陰影部份的面積等于上圓的面積加上以圓的24半徑為腰的等腰直角三角形的面積，/（藝）=2（4-匚）=包二三江，即點2222（尋,二三）在直線y=x的上方，故應選擇d.點評：該題屬于實際應用的題目，結合函數(shù)值轉變的趨勢和一些特殊點函數(shù)值解決問題即可。要明確函數(shù)圖像與函數(shù)自變量、變量值的對應關系，專門是函數(shù)單調性與函數(shù)圖象個關系：例2.（1996上海，文、理8）在以下圖象中，二次函數(shù)v=*+bx與指數(shù)函數(shù)y=（-）a1的圖象只可能是（）極點坐標為（-2,一L）,又由可得一1一20,觀看選擇支，可選人2a4aa22a解析二：求y=紈2+x與x軸的交點，令“小+以=0,解得x=0或

9、x=,而一10caa應選月。點評：此題要緊考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質，源于講義，考查大體知識，難度不大。此題雖小，但必然要細致觀看圖象，注意細微的地方，取得解題靈感。題型2：識圖例3.（06江西12）某地一年內的氣溫?！保▎挝唬篊）與時刻，（月份）之間的關系如下圖,己知該年的平均氣溫為10,令C”）表示時刻段0,的平均氣溫，C（f）與/之間的函數(shù)關系用以下圖表示，那么正確的應該是（）解析：平均氣溫10C與函數(shù)圖像有兩個交點，觀看圖像可知兩交點的雙側都低于平均氣溫，而中間高于平均氣溫。時刻段內的平均氣溫，應該從開始持續(xù)到平均氣溫左交點向右一段距離才開始達到平均氣溫，持續(xù)上升一段時刻，最

10、后回落到平均氣溫。答案月。點評：聯(lián)系生活，體會變量間的彼此關系，重視觀看圖像的轉變趨勢，結合導數(shù)的知識處置實際問題。例4.（2002上海文，理16）一樣地，家庭用電量（千瓦時）與氣溫（）有必然的關系，如圖21所示，圖（1）表示某年12個月中每一個月的平均氣溫.圖（2）表示某家庭在這年12個月中每一個月的用電量.依照這些信息，以下關于該家庭用電量與其氣溫間關系的表達中，正確的選項是（）i(1)圖A.氣溫最高時，用電量最多B.氣溫最低時，用電量最少C.當氣溫大于某一值時，用電量隨氣溫增高而增加D.當氣溫小于某一值時，用電量隨氣溫漸低而增加解析：經比較可發(fā)覺，2月份用電量最多，而2月份氣溫明顯不是最

11、高。因此A項錯誤。同理可判定出B項錯誤。由五、六、7三個月的氣溫和用電量可得出。項正確。點評：該題考查對圖表表達的函數(shù)的識別和明白得能力，要從題目講解入手，結合圖像和實際解決問題。題型3：函數(shù)的圖象變換例5.（2002全國理，10）函數(shù)尸1一一的圖象是（）X-1解析一：該題考查對f（x）=9圖象和對坐標平移公式的明白得，將函數(shù)v=L的圖形XX變形到、=，即向右平移一個單位，再變形到冷一一1-7即將前面圖形沿尤軸翻轉，再X-lX-1變形到、=一一!一+i,從而取得答案七解析二：可利用特殊值法，取后0,現(xiàn)在尸1,取42,現(xiàn)在尸0。因此選瓦點評：借助函數(shù)圖像的變換規(guī)那么解決實際問題。例6.（05廣東

12、理9）在同一平面直角坐標系中，函數(shù),，=/（幻和y=g（x）的圖象關于直線y=x對稱。現(xiàn)將y=g（x）的圖象沿x軸向左平移2個單位，再沿），軸向上平移1個單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折（如圖2所示），那么函數(shù)/（x）的表達式為（）2x+2-1x0X-+2,0x212&/=D./W=2工一2,-1x0r-2,0x212r2x-24x2x-+l,2x4122x-6Jx,o)U(o,y)，圖像不通過坐標原點，故能夠排除C、D。由于當x為很小的正數(shù)時f(x)0且g(x)vO,故/(xAg(x)vO。.選A。點評：明確函數(shù)圖像在x軸上下方與函數(shù)值符號改變的關系，數(shù)值相乘“同號為正、異號為負例8.(

13、2000春天北京、安徽，14)已知函數(shù)兀r)=,=+加+cx+d的圖象如圖，求的范圍。彳/:解法一：觀看./U)的圖象，可知函數(shù)./U)的圖象/過原點，即的)=。,得心。,-：6太又7U)的圖象過(1,0),/.fi,x)=a+b+c又有人-1)0,即一c。+得2時，段)0,從而有a0,：.b0.點評：通過觀看函數(shù)圖像，變形函數(shù)解析式，得參數(shù)的取值范圍。題型5：函數(shù)圖像變換的應用例9.已知方程。=Hog“xl的實根個數(shù)為()A.2B.3C.4D.2或3或4依照函數(shù)與方程的關系，知方程dTlo&xl的根的個數(shù)即為函數(shù)),=與函數(shù)y=Hog“xl的圖像交點的個數(shù)。該題通過作圖極可能選錯答案為A,這

14、是咱們作圖的易錯點。假設作圖標準的話，在同一個直角坐標系下畫出這兩個函數(shù)的圖像，由圖知當Ovave7i時，圖像的交點個數(shù)為3個；當4=-L時，圖像的交點個數(shù)為4個；當=!時，圖像的交點個數(shù)為2個。選項162為D。點評：該題屬于“數(shù)形結合”的題目。解題思路是將“函數(shù)的零點”問題轉化為“函數(shù)的交點問題”，借助函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象變換規(guī)那么求得結果即可。例10.設假設“/2)解析：保留函數(shù)y=2-/在x軸上方的圖像，將其在x軸下方的圖像翻折到x軸上方區(qū)即可取得函數(shù)/(x)T2-丁|的圖像。通過觀看圖像，可知在區(qū)間(-8,-夜上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由且./(4)=/()可知“一0,因此/(a

15、)=T2,f(h)=2-b2,從而/一2二2-，/，即/+/=4,又21而上。2+6=4,因此0“均為奇數(shù)8- inn0,m,n一奇一偶一0xC. mn0,一奇一偶解析：該題考察了基函數(shù)的性質，由于暮函數(shù)在第一象限的圖像趨勢說明函數(shù)在m_咧(0,+8)上單調遞減，現(xiàn)在只需保證”0,即70,有)，=*；=*.而：同時函數(shù)只n在第一象限有圖像，那么函數(shù)的概念域為(0,+8),現(xiàn)在定為偶數(shù)，即為偶數(shù)，由于兩個數(shù)互質，那么根定為奇數(shù)。答案：選項為瓦點評：該題沖破了傳統(tǒng)借形言數(shù)思路，屬于“由圖形得解析式”的題目。為此需要分清事函數(shù)y=x。在av0。va1幾種不同情形下函數(shù)的圖像的特點，更乃至在同一種情形

16、下。取不同數(shù)值對函數(shù)圖像的阻礙也要了解。3-2%例12.畫出函數(shù)y的圖象，試分析其性質。x-3解析：先要找出它是哪一種函數(shù)平移而來的，它應是由反比例函數(shù)平移而來，y=-=-二2(這種變x3x3x3換是解決這種問題的關鍵)，由此說明，y=二x33是由)，=一二圖象向右平移3個單位，再向下平移2x個單位取得的，如下圖：具體畫圖時關于圖象與坐標軸的交點位置要大致準確，即3x=0,y=-l,y=0,x=。故圖象必然過(0,1)2和G，o)兩個關鍵點。再觀看其圖象能夠取得如下性質：概念域xlXW3,XR值域yIyW-2,yeR,單調區(qū)間(一,3)祝1(3,)上單調遞增：既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，可是圖象

17、是中心對稱圖形，對稱中心是(3,2)。點評：塞函數(shù)y=L的圖象與性質是解決該類問題基礎。注意此題兩個增區(qū)間之間不x能用并集號U。題型7：抽象函數(shù)問題例13.函數(shù)/的概念域為D：.Who且知足關于任意“吃。，有/(x,-x,)=/(a1)+/(2).(I)求/(I)的值；(II)判定/a)的奇偶性并證明：(III)若是/(4)=1,/(3工+1)+/(2工一6)3,自/3)在(0,+8)上是增函數(shù)，求X的取值范圍。(I)解：令玉=1，奇(1、1)=/(1)+/(1),解彳號(1)=0.(II)證明：令玉=一1,Wf(-DX(-1)=/(-1)+/(-IX解敏(T)=o令X=-l,x2=xf(-x

18、)=/(-I)+f(-x)=f(x).(HI)/(4x4)=/(4)+/(4)=2J(16x4)=/(16)+/(4)=3./.f(3x+1)+f(2x-6)3B|J/3x+l)(2x-6)0,任,或”(3x+l)(26)0,(3x+1)(2工-6)64,(3x+l)(2x-6)3sJcx-,37-a5,、3I、-x3,或J3xeR、71、13x5或-x一一或-x3.71x的取值范圍為工1一一工工一一或一一不3或3X45.333點評：以抽象函數(shù)為模型，考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性和數(shù)列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力。認真分析處置好各知識的彼此聯(lián)系，抓住條件於什=/3)火刈)

19、找到問題的沖破口，由於什X2片/3)危2)變形為/(x)=/g+$=/(*/(-)是解2222決問題的關鍵。例14.(2005廣東19)設函數(shù)/(X)在(f,RD)上知足f(2-x)=f(2+x),/(7-x)=/(7+x),且在閉區(qū)間0,7上，只有/(1)=/(3)=0.(I)試判定函數(shù)y=/(x)的奇偶性:(II)試求方程/(幻=0在閉區(qū)間-2005,2005上的根的個數(shù)，并證明你的結論。解析：(【)由/(2-x)=/(2+x)=7U)=/(4-x)：/(7-x)=/(7+x)/(%)=/(14-x)=/(D=/(14r)從而知函數(shù)y=/(幻的周期為丁=10又/)=/=0,何(7)。0,/

20、(-3)=/(-3+10)=/(7)h0,因此”一3)*/(3)故函數(shù)y=/(X)是非奇非偶函數(shù):(II)又。(3)=/(1)=0,/(11)=/(13)=/(-7)=/(-9)=0故於)在0,10和-10.0上均有有兩個解，從而可知函數(shù)y=/(x)在0.2005上有402個解,在一上有400個解，因此函數(shù)y=/(X)在-2005,2005上有802個解。點評：充分利用函數(shù)的數(shù)字特點，并將其轉化為函數(shù)的性質，再來解題C題型8：函數(shù)圖象綜合問題例15.如圖，點A、B、。都在函數(shù)尸五的圖象上，它們的橫坐標別離是+一、+2。又A、B、。在x軸上的射影別離是A、夕、C,記AB。的面積為人，A4BC的面

21、積為g(4)。(1)求函數(shù).A”)和g(a)的表達式：(2)比較大與g3)的大小，并證明你的結論。解：(1)連結/VV、BB、CC,貝lj/(a)=5awy力慢物tvcc-S.aaa-Sccb=-(AfA+CrC)=-(ya+fa+2)922g(a)=S,A,bc=A*CrBB=BB=+12(2)/(4)-g(4)=；(&+皿+2-2&1+D乙=(yja+2-7+1)(y/a+y/d)2=(/,/,/y=)02。4+2+00+1(I+yj(l點評：此題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識圖能力、圖形的組合等，充分借助圖象信息，利用面積問題的拆拼和等價變形找到問題的沖破口，解題思路：圖形面枳可不能拆拼、數(shù)形結合、等價轉化。例16.設曲線。的方程是)，=d一”,將C沿x軸、y軸正方向別離平移/、s(rwO)個單位長度后取得曲線,(1)寫出曲線G的方程：(2)證明曲線C與q關于點嗎,；)對稱；r(3)若是曲線。與G有且僅有一個公共點，證明：s=-1.4解析：(1)曲線C的方程為y=(xf)3(xT)+s；(2)證明：在曲線。上任意取一點4(%,y),設82（X2