第二章連續(xù)小波變換

1、第二章連續(xù)小波變換2.1.1 連續(xù)小波基函數(shù)小波，即小區(qū)域的波，是一種特殊的長度有限、平均值為零的波形。小波的可容許條件：RC| )(|2小波特點：（一）“小”。即在時域都具有緊支集或近似緊支集。（二）正負交替的“波動性”。即直流分量為零。信號可分解為一系列由同一個母小波函數(shù)經(jīng)平移與尺度伸縮得到的小波函數(shù)的疊加。優(yōu)點：將小波母函數(shù) 進行伸縮和平移，就可以得到函數(shù)：小波函數(shù)基，它們是由同一母函數(shù) 經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)序列。)(t0;,),(1)(,aRaatata)(t伸縮和平移的含義2. 時間平移n由于小波基函數(shù)在時間、頻率域都具有有限或近似有限的定義域，顯然，經(jīng)過伸縮平移后的函數(shù)在時

2、、頻域仍是局部性的。n小波基函數(shù)的窗口隨尺度因子的不同而伸縮，當a逐漸增大時，基函數(shù)的時間窗口也逐漸增大，而其對應的頻域窗口逐漸減小；反之亦然。定量分析-時域假定小波母函數(shù)窗口寬度為t，窗口中心為t0，則相應可求出連續(xù)小波 的窗口中心為at0+，窗口寬度為a t。 即信號限制在時間窗內(nèi)：at0+- t a/2, at0+t a/2)(1)(,atata定量分析-頻域同樣，對于小波母函數(shù)的頻域變換，其頻域窗口中心為0，窗口寬度為 ，則相應的連續(xù)小波的傅立葉變換為：其頻域窗口中心為：窗口寬度為：信號在頻域窗內(nèi)：)()(21,aeaja0,1aaa1211,21100aaaa從上面的時頻域的討論可見

3、，連續(xù)小波的時頻域窗口中心及其寬度都隨a的變化而伸縮，如果我們稱t 為窗口函數(shù)的窗口面積，則：可見：連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積不隨參數(shù)的變化而變化。atataa1,幾點結(jié)論：（1）尺度的倒數(shù)1/a在一定意義上對應于頻率。即尺度越小，對應的頻率越高。如果我們將尺度理解為時間窗口的話，則小尺度信號為短時間信號，大尺度信號為長時間信號。（2）在任何值上，小波的時頻窗口大小t和 都隨頻率（或a）的變化而變化。與短時傅立葉變換中的基 不同。tjetgtg)()(,（3）在任何尺度a，時間點上，窗口面積保持不變，也可以說時間、尺度分辨率是相互制約的，不可能同時得到提高。（4）品質(zhì)因素 不隨尺度變化而變化。0

4、Q2.1.2 連續(xù)小波變換的定義和性質(zhì)將任意L2（R）空間中的函數(shù)f(t)在小波基下展開，稱這種展開為函數(shù)f(t)的連續(xù)小波變換（CWT）。其表達式為：其中：dtattfattfaWTRaf)()(1)(),(),(,0,),(|)(21,RaRbatata從定義可以看出：小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種變換， 為小波變換系數(shù)。也可見其與傅立葉變換的區(qū)別。),(aWTf逆變換若小波滿足容許條件，則連續(xù)小波變換存在著逆變換。容許條件：逆變換公式：RdC| )(|2dataaWTadaCdtaWTadaCtffaf)(1),(1)(),(1)(02,02說明：（1）必須滿足“容許條件”，反變換才

5、存在。（2）在實際應用中，對基本小波的要求往往不局限于滿足容許條件，對 還要施加所謂“正則性條件”，使 在頻域上表現(xiàn)出較好的局域性能。為了在頻域上有較好的局域性，要求 隨a的減小而迅速減小，所以這就要求 的前n階原點距為0，且n值越高越好。即：)(t)(| ),(|aWTf)(t值越大越好。且nnpdtttp,1, 0)(（1）線性（2）時移共變性（3）時標定理。性質(zhì)（4）微分運算（5）能量守恒（6）冗余度2.2 幾種常用的小波小波分類的標準（1） 的支撐長度，即當時間或頻率趨向于無窮大時，它們從一個有限值收斂到0。（2）對稱性。它在圖像處理中可以有效的避免移相。)()()()(、tt（3）

6、的消失矩陣數(shù)。這對于壓縮非常有用。（4）正則性。它在對信號或圖像的重構(gòu)獲得較好的平滑效果作用上是非常有用的。具有對稱性的小波不易產(chǎn)生相位畸變；具有好的正則性的小波，易于獲得光滑的重構(gòu)曲線和圖像，從而減小誤差。)()(tt和常用的小波1.Haar小波。其他, 0121, 1210 , 1)(ttt2.Daubechies（dbN）小波12002220110121)()2(sin)2(cos| )(|)(NkjkkNkNNkkkNehmPmCyCyPkk式中，則有：為二項式的系數(shù)，其中，令3.Mexican Hat(mexh)小波其函數(shù)為Gauss函數(shù)的二階導數(shù)：2222222)()1 ()(eettt4.Morlet小波它是高斯包絡下的單頻率復正弦函數(shù)。是重構(gòu)時的歸一化常數(shù)CxCett)5cos()(222.3 連續(xù)小波變換的步驟（1）選擇小波函數(shù)及其尺度a值。（2）從信號的起始位置開始，將小波函數(shù)和信號進行比較，即計算小波系數(shù)。（3）沿時間軸移動小波函數(shù)，即改變參