構(gòu)件的承載能力計算

1、教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握構(gòu)件基本變形形式，正確理解內(nèi)力和應(yīng)力的基本概念，熟練掌握截面法求解內(nèi)力；掌握 構(gòu)件基本變形時橫截面的內(nèi)力和應(yīng)力分析及計算方法，并熟練繪制其內(nèi)力圖；掌握構(gòu)件基本變形的強度 和剛度計算；掌握材料力學(xué)性能的基本參數(shù)，并熟練掌握常見脆、塑性材料的力學(xué)性能；掌握組合變形 的基本概念及分析方法；掌握細(xì)長桿的穩(wěn)定性概念及臨界力和臨界應(yīng)力的求法。教學(xué)重點理解內(nèi)力和應(yīng)力的概念，熟練掌握內(nèi)力和應(yīng)力分析及計算方法。教學(xué)難點掌握組合變形的基本概念及分析方法，并進(jìn)行計算。教學(xué)手段實物演示；教學(xué)板書；錄像插件；電子課件。教學(xué)學(xué)時20學(xué)時教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過程設(shè)計注釋模塊二構(gòu)件的承載能力計算任務(wù)一軸向拉伸

2、與壓縮變形時的承載能力計算任務(wù)描述明確任務(wù)。如圖2-1所示的起重設(shè)備結(jié)構(gòu)中，鋼桿AB為直徑50mm勺圓桿，鋼桿 BC為50mnX 40mm的矩形截面桿，材料的許用應(yīng)力為100MPa(1) 若載荷F=200kN,試校核桿 AB和桿BC的強度。(2) 求許可載荷】F。明確課題任務(wù)重I點。i:II介紹了軸向拉伸、I壓縮變形基本概I念。II引入軸力的概念， 并以實例說明軸 力圖的繪制方法。I任務(wù)分析掌握典型構(gòu)件軸向拉伸與壓縮變形時的強度計算。講述了橫截面、斜 截面上的應(yīng)力分 析方法，并推導(dǎo)出 應(yīng)力計算公式。知識準(zhǔn)備在工程中，構(gòu)件在外力作用下有 4種基本變形形式，包括軸向拉伸與壓縮變形、剪切與 擠壓變形

3、、扭轉(zhuǎn)變形和彎曲變形。本任務(wù)重點研究軸向拉伸與壓縮變形的內(nèi)力和應(yīng)力的基本 概念及計算，材料的力學(xué)性能及測定，軸向拉壓的變形及強度計算。一、軸向拉伸與壓縮變形概念工程中很多構(gòu)件承受拉伸或壓縮。雖然這些承受拉壓外力的桿件外形各有差異，加載方 式也不盡相同，但它們有共同的受力特點：作用于桿件上的外力合力作用線與桿軸線重合。 在這種受力狀態(tài)下，桿件主要變形是縱向伸長，相鄰兩截面移遠(yuǎn)，或者縱向縮短，相鄰兩截 面移近，這種變形形式稱為軸向拉伸與壓縮變形。二、軸向拉伸和壓縮變形時的內(nèi)力分析1. 軸力由于該段桿所有外力的作用線與桿軸線重合，內(nèi)力合力FN的作用線也必與桿軸線重合。這種作用線與軸線重合(垂直于橫截

4、面并通過其形心)的內(nèi)力稱為軸力。軸力FN的符號習(xí)慣上規(guī)定：拉伸為正，壓縮為負(fù)。即正軸力方向背離所作用截面，負(fù)軸力方向指向所作用截面。詳細(xì)闡述了軸向i載荷下低碳鋼及其他常用材料的 |力學(xué)性能。通過所研究的桿段的平衡條件即可求得軸力F2由于整個桿件處于平衡狀態(tài)，故其任一截開部分也應(yīng)處于平衡狀態(tài)，該段桿列平衡方程刀Fx=O, FN- F1=0故 FN=F12. 截面法將桿在任一橫截面 m m處假想地截分為兩部分，任取一段(比如左段)分析研究，棄去另一段，畫出該段所受外力，而將另一段對該段的作用以橫截面上的內(nèi)力代替，這種表示和求 解桿件橫截面的內(nèi)力方法稱為截面法。3. 軸力圖軸力圖是按選定的比例，以平

5、行于軸線的坐標(biāo)表示橫截面位置，垂直于軸線的坐標(biāo)表示 相應(yīng)截面的軸力值，從而得到截面位置坐標(biāo)與相應(yīng)截面軸力間關(guān)系的圖線。三、軸向拉伸和壓縮變形時的應(yīng)力分析1. 橫截面上的應(yīng)力介紹了軸向拉壓 I的變形計算方法，并以實例加以說 明。I取等直均質(zhì)桿進(jìn)行分析。桿件受力變形前在其側(cè)表面畫兩條垂直于軸線的橫向直線ab和cd。桿件拉伸變形后，可觀察到兩橫向直線仍為直線，只是平行移動到a' b'和c' d'。根據(jù)這一現(xiàn)象，可以假設(shè)：原為平面的橫截面在桿件變形后仍保持為平面，且仍垂直于軸線。此即為平面假設(shè)。由平面假設(shè)可推知，桿中所有縱向纖維的伸長相等。又由于假設(shè)材料是均勻的，各點的

6、 力學(xué)性能相同，故各點的正應(yīng)力b與線應(yīng)變£的關(guān)系均相同，所以橫截面上各點正應(yīng)力b相 同，即橫截面上正應(yīng)力6均勻分布。介紹了軸向拉壓 變形強度的計算 方法，并以實例加 以說明。I若以A表示橫截面面積，其面積微分dA上的內(nèi)力微分dA組成一個垂直于橫截面的平行力系。于是按靜力合成的方法可得FN=/ Ab dA(2-1)因為正應(yīng)力b均勻分布，故FN=/ Ab dA=bA于是得b =FN/A(2-2)此即為橫截面上正應(yīng)力b的計算公式。式中，F(xiàn)N為軸力；A為橫截面面積。正應(yīng)力b的根據(jù)前面所學(xué)知 識，對實例進(jìn)行受 力分析。:符號規(guī)定：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。2. 斜截面上的應(yīng)力為了解桿任意斜截面上

7、的應(yīng)力情況，可用一個假想的與橫截面夾角為a的斜截面k k,將桿一分為二，并取左段桿研究。由該段桿的平衡可得此斜截面上的內(nèi)力，即Fa =F=FN(2-3)仿照前面推論橫截面上正應(yīng)力b分布變化規(guī)律的方法過程，可知斜截面上各點處的應(yīng)力 也是均勻分布的。若以A a表示斜截面面積，則有幾何關(guān)系明確任務(wù)。!i明確課題任務(wù)重 點。1i引入剪切與擠壓 變形概念。Ii:I1I以鉚釘連接件為 例，說明剪切受力 的實用計算方法。Aa =Acos a (2-4)于是可得任意斜截面 k k上的應(yīng)力為p a =F a Aa =FAcos a = b COS a (2-5)將斜截面上應(yīng)力 p a分解為垂直于斜截面的正應(yīng)力分

8、量ba和相切于斜截面的切應(yīng)力分 量Ta,得ba =p a cOS a = b cos2 a (2-6)Ta =p a sin a = b 2sin2 a (2-7)式(2-6 )和式(2-7 )表示過拉壓桿內(nèi)任一點的不同截面上的正應(yīng)力ba和切應(yīng)力Ta 隨a角而改變的規(guī)律。一般而言，斜截面上既有正應(yīng)力ba也有切應(yīng)力Ta。四、軸向載荷下材料的力學(xué)性能下面主要以低碳鋼為代表，介紹材料拉伸及壓縮時的力學(xué)性能。1低碳鋼拉伸圖及其力學(xué)性能低碳鋼是含碳量在 0.3 %以下的碳素鋼，是工程中使用最廣泛的材料。低碳鋼在拉伸試 驗中表現(xiàn)出的力學(xué)性能比較全面和典型。引入擠壓力、擠壓 應(yīng)力的概念，并說 明擠壓變形的應(yīng)

9、 用計算。根據(jù)試驗結(jié)果，低碳鋼的力學(xué)性能大致如下。(1) 彈性階段。(2) 屈服階段。(3) 強化階段。(4) 頸縮破壞階段。2. 強度指標(biāo)和塑性指標(biāo)通過分析低碳鋼的拉伸過程可得到衡量材料強度的兩個重要指標(biāo) ds和b b。由于材根據(jù)前面所學(xué)知 識，對實例進(jìn)行求 解。料屈服時將出現(xiàn)顯著的塑性變形，而零件的大量塑性變形將影響機(jī)器的正常工作，所以屈服 極限d s是衡量材料強度的一個重要指標(biāo)。而d b是材料所能承受的最大應(yīng)力，顯然是衡量材料強度的另一重要指標(biāo)。除強度指標(biāo)外，還可得到衡量材料塑性的兩個重要指標(biāo)一一伸長率和斷面收縮率。工程上通常按伸長率的大小把材料分成兩大類，3>5%的材料稱為塑性材

10、料；3v 5%明確任務(wù)。明確課題任務(wù)重 點。引入了圓軸扭轉(zhuǎn) 變形的概念。講述了力偶矩的 分析和計算方法，通過例題來說明 扭矩圖的畫法。的材料稱為脆性材料。3. 卸載定律及冷作硬化在卸載過程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線規(guī)律變化，此即為卸載定律。拉力完全解除后，應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系圖中，HJ相應(yīng)的一部分變形為卸載后消失了的彈性變形&e,而OH相應(yīng)的一部分變形表示卸載后殘留下的塑性變形&p。工程上經(jīng)常利用冷作硬化來提高材料的彈性階段曲線。如起重鋼索和建筑鋼筋，常用冷 拔工藝以提高強度。又如對某些零件進(jìn)行噴丸處理，可使其表面發(fā)生塑性變形而形成冷硬層，從而提高零件表面層的強度。但另一方面，零件初加工后

11、由于冷作硬化而變脆變硬，使材料 可持續(xù)加工性能劣化。產(chǎn)生冷作硬化的零件，后續(xù)加工困難且容易產(chǎn)生裂紋，因而往往需要 在幾道工序之間安排退火處理，以消除硬化效應(yīng)。4. 其他材料拉伸時的力學(xué)性能工程上常用的塑性材料，除低碳鋼外，還有中碳鋼、高碳鋼、合金鋼、鋁、鋁合金、青 銅、黃銅、銅合金和球墨鑄鐵等。這些材料伸長率都較大，明顯大于5%,都屬塑性材料。推導(dǎo)受扭圓桿橫 截面上的切應(yīng)力 計算公式并討論 其強度計算。其中有的材料，如16M n鋼，和低碳鋼一樣有明顯的彈性階段、屈服階段、強化階段和局部變 形階段。很多其他材料，如青銅、硬鋁和退火球墨鑄鐵等，沒有明顯的屈服階段。還有些材 料如Mn鋼等，沒有屈服階

12、段和縮頸破壞階段，只有彈性階段和強化階段。對沒有明顯屈服極限的塑性材料，通常將產(chǎn)生0.2 %塑性應(yīng)變時對應(yīng)的應(yīng)力值作為屈服指標(biāo)，并用d 0.2來表示。該應(yīng)力值可代表屈服極限作為無明顯屈服階段材料的強度指標(biāo)值。脆性材料的共同特點是塑性較差，伸長率3很小?；铱阼T鐵是典型的脆性材料之一，其 拉伸時的d - £曲線是一段微彎曲線，無明顯直線部分，也沒有屈服和縮頸現(xiàn)象。講解了圓桿扭轉(zhuǎn) 變形的強度和剛 度計算方法?；铱阼T鐵在較小的拉應(yīng)力下就被拉斷，拉斷前應(yīng)變很小，橫向尺寸無明顯變化，伸長率 也很小。通常取應(yīng)力應(yīng)變曲線的割線代替曲線初始部分，并以其割線斜率作為彈性模量，稱 為割線彈性模量。鑄鐵拉斷

13、時的最大應(yīng)力即為其強度極限，因為沒有屈服現(xiàn)象，強度極限db是衡量其強根據(jù)前面所學(xué)知 識，對實例進(jìn)行求 解。度的唯一指標(biāo)。鑄鐵經(jīng)球化處理成為球墨鑄鐵后，力學(xué)性能有顯著變化，不但強度較高，還有較好的塑 性。用球墨鑄鐵代替鋼材制造管道、曲軸和齒輪等構(gòu)件具有較好的經(jīng)濟(jì)性。5. 材料壓縮時的力學(xué)性能比較低碳鋼壓縮時的d - &曲線與拉伸時的d - &曲線可看出：在屈服之前，拉壓兩條圖 線基本重合，可見低碳鋼壓縮時的彈性模量E和屈服極限d s都與拉伸時大致相同。實驗表明，屈服階段以后，隨著試樣越壓越扁(呈腰鼓狀)，橫截面面積不斷增大，將逐漸趨于扁餅明確任務(wù)。狀，試樣單位面積上的受力很難繼續(xù)

14、增加，因而壓縮強度極限也就無法測出。低碳鋼壓縮時 的主要性能可用拉伸試驗測定。明確任務(wù)重點。鑄鐵的抗壓強度比它的抗拉強度高45倍。其他脆性材料的抗壓強度也遠(yuǎn)高于抗拉強度。脆性材料的壓縮性能比拉伸性能更為重要。從材料拉壓實驗的全過程可見，衡量材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)：比例極限b p、屈服極限d s、強度極限b b和彈性模量E、伸長率3及斷面收縮率”等。材料的上述指標(biāo)往往受溫度、熱處理等條件的影響。表2-1中列出幾種常用材料在常溫、靜載下的若干主要力學(xué)性能指標(biāo)值。將梁進(jìn)行簡化，引 入了梁的剪力、彎 矩和載荷集度的 微分關(guān)系計算。i6. 溫度和時間對材料力學(xué)性能的影響溫度和時間對材料力學(xué)性能的影響相當(dāng)

15、復(fù)雜，下面僅作簡略介紹。(1) 短期靜載下溫度的影響。(2) 長期靜載下溫度的影響。五、軸向拉壓的變形計算拉壓桿變形的主要現(xiàn)象：在軸向拉力作用下，將引起軸向尺寸伸長而徑向尺寸縮短；在 軸向壓力作用下，將引起軸向尺寸縮短而徑向尺寸伸長。以下將討論其變形與受力的關(guān)系問 題。1. 線應(yīng)變2. 胡克定律六、軸向拉壓變形強度計算1. 許用應(yīng)力與強度條件要保證構(gòu)件不發(fā)生強度破壞，除了與桿件的最大工作應(yīng)力有關(guān)外，還取決于材料強度失 效時的極限應(yīng)力值。工程上將材料出現(xiàn)斷裂和塑性變形這兩種情況統(tǒng)稱為強度失效。d b和d s兩者都是標(biāo)志構(gòu)件強度失效時的極限應(yīng)力。講述了彎曲試驗 和變形的特點，以 及正應(yīng)力的公式 計

16、算。I為保證有足夠的強度，構(gòu)件在載荷作用下的實際應(yīng)力(以后稱為工作應(yīng)力)應(yīng)低于上述 極限應(yīng)力，以留有必要的強度儲備和安全限度。在考慮了諸多因素后，將確保材料強度足夠 而能正常工作的應(yīng)力最高限度分別取為d = d bnb (脆性材料)(2-23)d = d sns (塑性材料)(2-24)式中，d稱為拉伸(壓縮)時材料的許用應(yīng)力(Pa)。大于1的因數(shù)nb和ns稱為安全因數(shù)，其數(shù)值通常是由設(shè)計規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的。為保證軸向拉壓桿件強度足夠而能正常工作，必須使其最大工作應(yīng)力不超過材料的許用 應(yīng)力，即 d max=FNAd (2-25)這就是軸向拉壓桿的強度條件。根據(jù)以上強度條件，對三種不同情況可分別進(jìn)行

17、的強度 計算：強度校核，截面選擇，確定許用荷載。介紹了等截面直 梁在對稱彎曲情 形下幾種常見截 面上切應(yīng)力的計 算方式。(1) 若已知桿件的材料、尺寸及載荷情況(即間接地知道FN),可由式(2-25)復(fù)核檢查桿件的強度是否滿足強度條件要求，這一工作即為強度校核。(2) 若已知桿件的材料和所受載荷，按上述強度條件選擇桿件的截面面積或幾何尺寸，(3) 若已知桿件的材料和截面形狀尺寸，按上述強度條件確定桿件所允許承受的最大軸力或結(jié)構(gòu)所允許承受的最大載荷值，2. 安全因數(shù)確定安全因數(shù)應(yīng)考慮的因素，一般有以下幾個主要方面。(1) 材料質(zhì)量的差異。(2) 構(gòu)件尺寸的差異。I介紹了梁內(nèi)同時 存在的彎曲正應(yīng)

18、力和彎曲切應(yīng)力 的強度條件及計(3) 載荷情況。(4) 構(gòu)件簡化和計算方法的準(zhǔn)確程度。(5) 工作條件。(6) 構(gòu)件的重要性、損壞的后果嚴(yán)重性、制造和修配的難易程度。安全因數(shù)的數(shù)值可從相關(guān)專業(yè)的一些規(guī)范中查到。目前一般機(jī)械制造工程中，對于靜載荷作用下的構(gòu)件，塑性材料可取ns=1.22.5。脆性材料質(zhì)量均勻性較差，加之?dāng)嗔寻l(fā)生突然而相應(yīng)危險性較大，所以nb取值較大。常取nb= 23.5，甚至可到39。任務(wù)實施桿件拉壓變形時承載能力的求解一一校核桿AB的強度并確定許用載荷。算方式。>(b)|圖2-41起重設(shè)備受力分析任務(wù)二剪切與擠壓變形時的承載能力計算任務(wù)描述螺栓聯(lián)接件及其尺寸如圖 2-50

19、所示，承受拉力 F=30kN,螺栓直徑為 10mm t1=8mm t2=16mm 許用切應(yīng)力t =120MPa許用擠壓應(yīng)力c bs=150MPa拉桿的寬度 b=70mm許用應(yīng) 力b =100MPa試校核螺栓與拉桿的強度。I引入了梁在對稱 彎曲下由彎矩引 起的變形計算，并 舉例說明積分常 數(shù)的確定以及撓 度和轉(zhuǎn)角的計算。IIjI根據(jù)前面所學(xué)知識，對實例進(jìn)行求 解。:I:I明確任務(wù)。I!i:I明確任務(wù)重點。I:引入組合變形和 疊加原理的概念。任務(wù)分析熟悉典型構(gòu)件剪切與擠壓變形時的實用計算。知識準(zhǔn)備一、剪切與擠壓變形概念和實例在工程中，經(jīng)常需要把一些構(gòu)件相互連接起來，這些由拉、壓桿組成的工程結(jié)構(gòu)物，

20、一 般采用鍵、鉚釘、螺栓、銷釘或榫等連接起來。這些起連接作用的部件，稱為連接件。連接件在工作中主要承受剪切和擠壓作用。鉚釘連接件的破壞有兩種形式。(1) 剪切破壞。(2) 擠壓破壞。在連接件工作時，剪切和擠壓是同時發(fā)生的，它們都可能導(dǎo)致連接破壞。它們的受力及 變形比較復(fù)雜，用精確的理論方法分析它們的應(yīng)力比較困難，因此工程中常根據(jù)構(gòu)件的受力 特點和實踐經(jīng)驗，做出一些假設(shè)進(jìn)行簡化計算，這種計算方法稱為實用計算法。二、剪切變形的實用計算1. 剪切受力和變形特點1) 受力特點連接件受有大小相等、方向相反、作用線相距很近并且垂直于連接件軸線的兩個外力的 作用。2) 變形特點連接件將沿兩外力作用線之間的截

21、面發(fā)生相對錯動變形。介紹了拉伸或壓 縮與彎曲的組合(包括偏心拉伸 或壓縮)。掌握截面核心的 計算方法，并以實 例進(jìn)行計算。:2. 剪切力的計算1) 剪力Fs首先要計算鉚釘在剪切面上的內(nèi)力，稱之為剪力，用Fs表示。應(yīng)用截面法將受剪構(gòu)件沿剪切面m m分成兩部分,并以其中的一部分為研究對象。m m截面上的內(nèi)力(即剪力)與截面相切，由平衡條件可得Fs=F2) 切應(yīng)力T設(shè)剪切面上任一點處的切應(yīng)力為t,則剪力 Fs是剪切面上各點處微內(nèi)力tdA的合力。掌握內(nèi)力、應(yīng)力的 計算方法和步驟。按此假設(shè)計算的切應(yīng)力實際上是剪切面上的平均切應(yīng)力，稱之為名義切應(yīng)力。若以A表示剪切面面積，則名義切應(yīng)力t可表示為t=FsA

22、(2-26 )3) 剪切強度條件為了保證連接件不被剪斷，要求連接件在工作時剪切面上的切應(yīng)力t不得超過材料的許用切應(yīng)力t,因此剪切強度條件為t=FsAWt( 2-27 )三、擠壓變形的實用計算1. 擠壓力擠壓面上的壓力稱為擠壓力，用Fbs表示。其大小可根據(jù)被連接件所受的外力，由靜力平衡條件求得。在擠壓面上發(fā)生的變形稱為擠壓變形。2. 擠壓應(yīng)力在擠壓面上應(yīng)力的分布比較復(fù)雜，因此在工程上通常采用擠壓的實用計算方法，即假設(shè) 擠壓應(yīng)力在擠壓面上是均勻分布的，則擠壓應(yīng)力的計算公式為d bs=FbsAbs (2-28 )式中，F(xiàn)bs為擠壓面上的擠壓力；Abs為擠壓面面積。相應(yīng)的強度條件是掌握梁在斜彎曲 情況

23、下的應(yīng)力計 算方法。d bs=FbsAbsWd bs (2-29 )擠壓應(yīng)力d bs與直桿壓縮時的壓應(yīng)力d不同。壓應(yīng)力d遍及整個桿件的內(nèi)部，在橫截面 上是均勻分布的，而擠壓應(yīng)力dbs則只限于接觸面附近的局部區(qū)域，而且在接觸面上的分布情況比較復(fù)雜。3. 擠壓面面積的計算1) 連接件與被連接件的接觸面為平面2) 連接件與被連接件的接觸面為圓柱面任務(wù)實施構(gòu)件受剪切和擠壓變形時的承載能力求解校核螺栓與拉桿的強度。拉桿與螺栓的受 力簡圖如圖2-57所示。r4&mw44rt:lb)圖2-57拉桿與螺栓的受力簡圖講述了梁在斜彎 曲情況下的強度 條件及變形計算。明確任務(wù)。明確任務(wù)重點。引入壓桿穩(wěn)定性

24、和臨界力的概念。任務(wù)三圓軸扭轉(zhuǎn)變形時的承載能力計算任務(wù)描述n如圖2-68所示階梯圓軸，作用 3個外力偶 Me1=800Nm Me2=1400Nm Me3=600Nm, AC段直徑d仁70mm CD段直徑d2=40mm材料的許用切應(yīng)力t =50MPa切變模量 G=80GPa 許用單位長度扭轉(zhuǎn)角B =1.5 ° /m。(1) 求A D兩端截面的相對扭轉(zhuǎn)角。(2) 校核軸的強度和剛度。圖2-68階梯圓軸掌握不同支承條 件下細(xì)長壓桿的 臨界力計算方法， 推導(dǎo)出歐拉公式。掌握不同壓桿的 臨界應(yīng)力計算方 法，以及歐拉公式 的適用范圍。介紹了提高壓桿穩(wěn)定性的方法。任務(wù)分析I典型構(gòu)件扭轉(zhuǎn)變形的強度、

25、剛度計算和提高圓軸承載能力的措施。知識準(zhǔn)備一、圓軸扭轉(zhuǎn)變形概念和實例扭轉(zhuǎn)變形的受力特點：桿件在作用面和其軸線相垂直的外力偶作用下將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。 其變形特點：對等直圓桿來說，其軸線仍然是直線，但各橫截面將發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。相應(yīng)的桿 件表面的縱向線也發(fā)生了傾斜而成為螺旋線。二、圓軸扭轉(zhuǎn)變形時橫截面的內(nèi)力分析1. 力偶矩的計算圓軸在扭轉(zhuǎn)外力偶作用下會發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。在很多情況下僅知道軸的轉(zhuǎn)速和所傳遞的功 率，而不知道外力偶矩的大小，這時就需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)計算出外力偶矩的大小。2. 內(nèi)力分析及扭矩圖圓桿兩端作用有大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶 Me用截面法可求出其任一截面(如m m 截面)上的內(nèi)力。假設(shè)將圓桿

26、沿 mm截面分為兩部分，因為圓桿在分割前處于平衡狀態(tài)，所 以假想分開后的兩部分仍處于平衡狀態(tài)。根據(jù)平衡條件，mm截面上內(nèi)力系的合力必然為一力偶，用T表示，稱之為扭矩。從兩部分中任選一部分作為研究對象，例如選取左邊部分為 研究對象，對桿軸線求矩，列平衡方程刀Mx=0 T Me=O,解得T=Me材料力學(xué)對扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法則將扭矩表示為矢量，如果該矢量與截面的ii 外法線方向一致，則扭矩為正，反之為負(fù)。當(dāng)桿件作用有多個外力偶時，橫截面上的扭矩將是一個變量。所以，一般情況下橫截面 上的扭矩是截面位置的函數(shù)。如果把這個函數(shù)用圖形表示，稱之為扭矩圖。三、圓桿扭轉(zhuǎn)變形時橫截面的應(yīng)力分析1. 實驗

27、研究取一實心圓桿，其半徑為R。為了便于觀察圓桿扭轉(zhuǎn)時的外部變形情況，外加扭轉(zhuǎn)力偶前在圓桿外表面畫上圓周線和縱向線。然后在圓桿兩端加上扭轉(zhuǎn)外力偶Me使桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。(1) 圓桿外表面上各圓周線的形狀、大小和間距均不變，但都繞圓桿軸線相對轉(zhuǎn)過了一 個角度。(2) 各縱向線仍近似為直線，但都傾斜了一個相同的微小角度。II2. 理論分析1) 橫截面上各點的切應(yīng)變分布規(guī)律2) 橫截面上各點的切應(yīng)力分布規(guī)律3) 利用靜力平衡關(guān)系確定單位長度扭轉(zhuǎn)角四、圓桿扭轉(zhuǎn)變形的強度和剛度計算1. 圓桿扭轉(zhuǎn)變形時的強度計算對等截面受扭圓桿，危險截面發(fā)生在扭矩最大的橫截面上，根據(jù)扭矩圖即可確定危險截 面。對階梯圓桿，需要

28、根據(jù)扭矩圖和桿的幾何尺寸共同確定危險截面。最大切應(yīng)力發(fā)生在危 險截面的周邊各點處，要使受扭圓桿不發(fā)生破壞，最大切應(yīng)力tmax必須小于材料的許用切應(yīng)力T,所以其強度條件為t max=TW|P t( 2-47 )利用式（2-47 ）可解決三個方面的強度計算問題，即強度校核、橫截面尺寸設(shè)計和許用 載荷的計算。2. 圓桿扭轉(zhuǎn)變形時的剛度計算1）圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形計算2）圓桿扭轉(zhuǎn)時的剛度校核任務(wù)實施圓軸扭轉(zhuǎn)變形時承載能力的求解求如圖2-87（a）所示軸A、D端截面的相對扭轉(zhuǎn)角,并校核該軸的強度和剛度。圖2-87階梯圓軸扭矩圖任務(wù)四彎曲變形時的承載能力計算任務(wù)描述T形截面鑄鐵梁受力如圖 2-96所示，已知材

29、料的許用拉應(yīng)力為b l=30MPa，許用壓應(yīng)力 為b a=90MPa給出截面的部分尺寸， 試按合理截面的要求確定尺寸3, 并按所確定的截面尺 寸計算梁的許用載荷。圖2-96T形截面鑄鐵梁受力任務(wù)分析掌握典型構(gòu)件彎曲變形時的承載能力計算。知識準(zhǔn)備一、梁的內(nèi)力1. 梁的概念當(dāng)桿件受到矢量方向垂直于軸線的外力或外力偶作用時，其軸線將由直線變?yōu)榍€。以 軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲。凡是以彎曲變形為主的桿件，工程上稱為梁。分 析計算時，通常用梁的軸線代表梁。在工程實際中，大多數(shù)梁都具有一個縱向?qū)ΨQ面，而外力也作用在該對稱面內(nèi)。在這種 情況下，梁的變形對稱于縱向?qū)ΨQ面，且變形后的軸線也在對稱面內(nèi)

30、，即所謂的對稱彎曲。 它是彎曲問題中最基本、最常見的情況。三種常見的靜定梁形式：簡支梁，兩端分別為固定鉸支座和活動鉸支座；懸臂梁，一端 固定端約束，一端自由；外伸梁，它是具有一個或兩個外伸部分的簡支梁。作用在梁上的外載荷，常見的有集中力偶、分布載荷和集中力。在實際問題中2. 梁的剪力與彎矩前面已經(jīng)介紹了求桿件內(nèi)力的通用方法，即截面法。梁的內(nèi)力分量為剪力和彎矩，規(guī)定當(dāng)剪力相對于橫截面的轉(zhuǎn)向為順時針時符號為正，使桿件發(fā)生上凹下凸的彎矩為正。3. 剪力、彎矩和載荷集度的微分關(guān)系首先討論梁上無集中載荷的情況。如圖2-103(a)所示梁，受分布載荷q=q(x)作用。規(guī)定x軸水平向右，分布載荷向上為正。

31、為研究剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，用坐標(biāo)分別為x與x+dx的橫截面從梁中切取一段來進(jìn)行分析，如圖2-103(b)。圖2-103剪力、彎矩與載荷集中度的微分關(guān)系微段左右截面上的剪力和彎矩分別為Fs和M Fs+dFs和M+dM它們和微段上的分布載荷q(x) 起組成平衡力系，豎直方向的平衡方程為刀 Fy=O,Fs+q(x)dx (Fs+dFs)=0dFsdx=q(x)(2-52)式(2-52)就是剪力Fs(x)和分布載荷q(x)之間的微分關(guān)系。對右截面形心C取矩，可得平衡方程刀 MC( F) =0,M+dM q(x)2(dx)2 Fsdx M=0略去高階無窮小q(x)2(dx)2 后，得dMdx=

32、Fs(2-53)式(2-53)是彎矩M(x)和剪力Fs(x)之間的微分關(guān)系。將式(2-52)代入式(2-53)，得到彎 矩M(x)和分布載荷q(x)之間的微分關(guān)系d2Mdx2=q(x)(2-54)現(xiàn)討論微段上作用有集中載荷的情況，如圖2-104所示。容易證明，在集中力P作用處,見圖2-104(a)，左右兩側(cè)的彎矩相同，而剪力則發(fā)生突變，其突變量等于P,且彎矩圖出現(xiàn)尖點；在集中力偶m作用處，見圖2-104(b)，其左右兩側(cè)的剪力相同，而彎矩發(fā)生突變，其突變量等于(m)(b)圖2-104集中載荷的影響利用剪力Fs(x)、彎矩M(x)和分布載荷q(x)之間的微分關(guān)系，可以對剪力圖和彎矩圖的 形態(tài)作直

33、觀的判斷。(1) q(x) 、Fs(x)和M(x)的函數(shù)階次依次升高一階,q(x)的箭頭“頂”在M(x)的凸出一側(cè)。(2) 在Fs(x)=0的截面上，M(x)取極值。(3) 對只有集中載荷作用的梁，其剪力圖和彎矩圖一定是由分段直線構(gòu)成的。二、彎曲時橫截面上的正應(yīng)力在一般情況下，梁的橫截面上存在著正應(yīng)力和切應(yīng)力。正應(yīng)力向橫截面形心簡化將產(chǎn)生 彎矩，而切應(yīng)力的簡化結(jié)果產(chǎn)生剪力。若梁內(nèi)各橫截面的剪力為零而彎矩為常量，即為純彎 曲狀態(tài)。這時梁的橫截面上只存在正應(yīng)力。1. 彎曲試驗和變形特點Ii 取一根對稱截面梁，在其表面畫上縱線和橫線，然后在梁兩端的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)作用一對I外力偶，使梁處于純彎曲狀態(tài)。從

34、試驗中觀察到：(1) 橫線仍保持直線且仍與縱線正交，只是橫線間作相對轉(zhuǎn)動。j(2) 縱線變?yōu)榍€，上面的縱線縮短，下面的縱線伸長。根據(jù)上述現(xiàn)象，對梁內(nèi)變形作如下假設(shè)。i(1) 平面假設(shè)：變形后橫截面仍保持平面且仍與軸線正交，只是橫截面間作相對轉(zhuǎn)動。|(2) 單向受力假設(shè)：梁由無數(shù)縱向纖維組織，各縱向纖維只受拉伸或壓縮，不存在相互| 擠壓。2. 對稱彎曲正應(yīng)力一般公式i在對彎曲變形作出合理的簡化后，即可通過對變形、物理和靜力學(xué)三方面的綜合分析，i建立彎曲正應(yīng)力公式。3. 截面的靜矩和慣性矩II 如圖2-115所示，任意截面的面積為 A,在任一坐標(biāo)系 Oyz內(nèi)，定義截面對軸 y和軸z 1 的靜矩

35、Sy=/ AzdA Sz=/ AydA由上述定義可看出，同一截面在不同坐標(biāo)系下的靜矩可正可負(fù)可為零，其量綱為長度的i三次方。圖2-115截面的靜矩均質(zhì)等厚薄板的重心與該板平面的形心重合。因此可用求重心的方法來求截面的形心。 若某坐標(biāo)軸通過截面之形心，則稱該軸為截面的形心軸。截面對形心軸之靜矩為零，反之亦 然。此外若某一軸為截面的對稱軸，則該軸為截面的形心軸。截面的慣性矩恒為正，其量綱為長度的四次方。三、彎曲時橫截面上的切應(yīng)力1. 矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力寬為b、高為h的矩形截面，截面上沿y軸作用有剪力Fs。假設(shè)橫截面上各點處的切應(yīng)力的方向均平行于剪力，且沿截面寬度均勻分布?？蓪?dǎo)出橫截面上距中性軸

36、為y的各點處切應(yīng)力的近似計算公式為t=FsS*zblz(2-65)式中，S*z代表y處橫線外側(cè)的橫截面對中性軸的靜矩，對矩形截面S*z=b(h4-y)(h4+y)=b2(h24-y2)將上式及 Iz=bh3/12 代入式(2-65)，得 t =3Fs2bh(1-4y2h2)(2-66)可見，矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力沿截面高度成拋物線分布。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸(y=0)處 t max=3Fs2bh=1.5FsA(2-67)即最大切應(yīng)力是平均切應(yīng)力的1.5倍。精確分析表明，當(dāng)h/b > 2時，此解答的誤差極??；當(dāng)h/b=1，誤差約為10%|2. 工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力工字形截面由上、下兩翼

37、緣及中間的腹板組成。由于翼緣和腹板都是狹長矩形，因此可 以假設(shè)：腹板(或翼緣)上各點的切應(yīng)力都平行于腹板(或翼緣)側(cè)邊，且沿厚度均勻分布。根據(jù)上述假設(shè)，可導(dǎo)出工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力公式t =FsS*z S lz(2-68)ii 式中，S為腹板(或翼緣)的厚度(m) ; S*z為y處橫線外側(cè)的橫截面(包括腹板和翼| 緣)(m2)。容易驗證，對腹板上各點，S*z也是關(guān)于y的二次函數(shù)，因此腹板上的彎曲切應(yīng)力沿腹板高度呈拋物線分布。最大切應(yīng)力同樣發(fā)生在中性軸上，其值取決于S*zmax/lz，對于工字形鋼，該比值可直接由型鋼表查得。腹板上最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力相差甚小，當(dāng)腹板厚度遠(yuǎn)小于翼緣寬度時，這種

38、現(xiàn)象更 為明顯。因此，腹板上切應(yīng)力可近似看成是均勻分布的。3. 圓形截面的彎曲切應(yīng)力|圓截面梁的最大彎曲切應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上，且中性軸上各點的切應(yīng)力都近似平行于 剪力。這樣仍可利用式(2-68)計算截面上的最大彎曲切應(yīng)力I t max=FsS*zmaxdlz式中，d為圓截面的直徑，S*zmax為半圓形截面對中性軸的靜矩，其值為II S*zmax=n d28 3d2 n =d312I 由此可得到圓截面梁的最大彎曲切應(yīng)力tmax=FsS*zmaxdlz=4Fs3A(2-69)與精確解相比，式(2-69)的誤差約為4%|四、彎曲強度條件及應(yīng)用1. 彎曲正應(yīng)力強度條件由式(2-58)可知，最大彎曲正

39、應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點處，而此處的切 應(yīng)力為零或很小。因而可以處理成單向受力狀態(tài)，建立起彎曲正應(yīng)力強度條件cr max=MWz 門 (2-70)上述強度條件僅適用于許用拉應(yīng)力b+與許用壓應(yīng)力c -相同的材料。由式(2-70)可知，欲提高梁的強度，應(yīng)提高截面抗彎模量 Wz或降低梁中最大彎矩。主要 措施有：(1) 選用合理的截面形狀。(2) 合理安排梁的約束與加載方式。2. 彎曲切應(yīng)力強度條件彎曲切應(yīng)力的最大值通常發(fā)生在中性軸上各點處，而此處正應(yīng)力為零，是純剪切應(yīng)力狀 態(tài)，相應(yīng)的彎曲切應(yīng)力強度條件i t max=FsS*zmaxdlzWT (2-71)五、梁的彎曲變形計算1. 撓曲線

40、近似微分方程 梁變形的主要特征是梁軸線變成了曲線，該曲線稱為撓曲線。在發(fā)生對稱彎曲時，撓曲 線與外力的作用平面重合或平行，是一條光滑平坦的平面曲線。沿變形前的梁軸線選取x軸，豎直向上為y軸。梁橫截面的形心沿 y軸的橫向線位移，稱為橫截面的撓度，表示為W。任一截面的撓度 w是截面位置x的函數(shù)，撓曲線方程w=f(x)(2-72)根據(jù)平面假設(shè)，橫截面變形后仍然保持平面，且仍垂直于變形后的軸線。因此，任一橫 截面的轉(zhuǎn)角就是該處撓曲線的切線與x軸的夾角，以B表示。在小變形假設(shè)0 tan 0 =df(x)dx=w ' (x)(2-73)式(2-73)就是轉(zhuǎn)角方程。在工程實際中梁的轉(zhuǎn)角一般不會超過0

41、.0175弧度或1度，所以式(2-73)完全能滿足工程上的要求。應(yīng)當(dāng)指出梁軸線彎成曲線后，在x方向也會產(chǎn)生軸向變形。但細(xì)長梁在小變形條件下，其軸向變形與撓度相比屬于高階微量，一般可略去不計。純彎曲狀態(tài)下用中性層曲率表示的彎曲變形公式為式(2-56 ) : 1 p =MEIz如果忽略剪力對變形的影響，上式也適用于一般非純彎曲。撓曲線 w=f(x)的曲率為 1 p =w" (x)1+w ' (x)21.5在小變形條件下，梁的轉(zhuǎn)角B=w'很小，因此曲率1/ p可近似為1 p- W (x)(2-74)將式(2-74)代入式(2-56)，即可得到撓曲線近似微分方程W (x)=M

42、EIz(2-75)式(2-75)適用于在線彈性范圍和小變形的條件下的對稱彎曲梁。2. 積分法求撓曲線及轉(zhuǎn)角方程將撓曲線近似微分方程(2-75)積分，即可得轉(zhuǎn)角方程和撓度方程0 (x)= / MEIdx+C(2-76)w(x)= / ( / MEIdx)dx+Cx+D(2-77)式(2-76)和式(2-77)中C、D為積分常數(shù)，可利用梁的位移邊界條件來確定。3. 求彎曲變形在小變形條件下，當(dāng)梁內(nèi)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，撓曲線近似微分方程式(2-75)是一個線性微分方程，因此可應(yīng)用疊加法來求解梁的變形。即梁在幾項載荷同時作用下，任 一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角，等于各載荷單獨作用時在該截面處引起的撓度

43、和轉(zhuǎn)角之和。任務(wù)實施解：為了達(dá)到合理截面要求，必須使同一橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力之比bImax/ bamax等于相應(yīng)的拉、壓許用應(yīng)力之比b 門/ b a,這樣當(dāng)荷載增大時，截面上 的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力將同時達(dá)到容許應(yīng)力，受拉區(qū)和受壓區(qū)的材料可以同樣程度地發(fā) 揮潛力。任務(wù)五組合變形的強度計算1任務(wù)描述有一屋桁架結(jié)構(gòu)如圖 2-145 (a)所示。已知屋面坡度為 1 : 2,兩桁架之間的距離為 4m 木檁條的間距為1.5m，屋面重(包括檁條)為 1.4kN/m2。若木檁條采用120mnX 180mm的矩 形截面，所用松木的彈性模量 E=10GPa許用應(yīng)力b =10MPa許可撓度f =12

44、00 ,試 校核木檁條的強度和剛度。圖2-145屋桁架結(jié)構(gòu)任務(wù)分析掌握典型構(gòu)件斜彎曲變形時的強度計算。知識準(zhǔn)備一、組合變形和疊加原理的概念桿件的變形是由兩種或兩種以上的基本變形的組合時，稱為組合變形。在彈性力學(xué)中，小變形假設(shè)指物體在外力作用下產(chǎn)生的變形與其本身幾何尺寸相比很小， 可以不考慮因變形而引起的尺寸變化。在小變形假設(shè)和胡克定律有效的情況下可根據(jù)疊加原 理來處理桿件的組合變形問題。即首先將桿件的變形分解為基本變形，然后分別考慮桿件在 每一種基本變形情況下所發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變或位移，最后再將它們疊加起來，即可得到桿件 在組合變形情況下所發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變或位移。為了便于讀者研究桿件的組合變形問

45、題，表2-4列出了桿件在四種基本變形情況下的外力、內(nèi)力、應(yīng)力和變形的計算公式以及強度條件，作為前面內(nèi)容的小結(jié)。二、拉壓和彎曲組合變形若作用在桿上的外力除軸向力外，還有橫向力，則桿將發(fā)生拉伸或壓縮與彎曲的組合變矩形等截面石墩同時受到水平方向的土壓力和豎直方向的自重作用。顯然土壓力會使它發(fā)生彎曲變形，而自重則會使它發(fā)生壓縮變形。因石墩的橫截面積 A和慣性矩I都比較大，在受力后其變形很小，故可以忽略其壓縮變 形和彎曲變形間的相互影響，并根據(jù)疊加原理求得石墩任一截面上的應(yīng)力?，F(xiàn)研究距墩頂端的距離為x的任意截面上的應(yīng)力。由于自重作用，在此截面上將引起均勻分布的壓應(yīng)力b N=N(x)A由于土壓力的作用，在

46、同一截面上離中性軸Oz的距離為y的任一點處的彎曲應(yīng)力b q=M(x)yIz根據(jù)疊加原理，在此截面上離中性軸的距離為y的點上的總應(yīng)力b = b N+b q=N(x)A+M(x)yIz應(yīng)用上式時注意將 N(x)、M(x)、y的大小和正負(fù)號同時代入。石墩橫截面上應(yīng)力b Nb q和b的分布情況一般如圖2-149 (c)、(d)、(e)所示。由于土壓力和自重大小的不同，總應(yīng)力b的分布也可能有如圖2-149 (f )或(g)所示的情況。圖2-149在自重和土壓力作用下的石墩Mmax及最大軸力Nmax石墩的最大正應(yīng)力b max及最小正應(yīng)力b min，都發(fā)生在最大彎矩 所在的截面上離中性軸最遠(yuǎn)處。故石墩的強度

47、條件為b max=NmaxA+MmaxWzb (2-78 )三、偏心拉伸(壓縮)截面核心當(dāng)桿受到與桿軸線平行但不通過其截面形心的集中壓力P作用時，桿處在偏心壓縮的情況下。1. 單向偏心受壓因壓力P的作用線平行于桿軸線，故在桿的各橫截面上有同樣的軸力N和同樣的彎矩 M根據(jù)疊加原理，可求得桿任一橫截面上任一點處的正應(yīng)力b=NA± MyIz (2-79 )在應(yīng)用式(2-79 )時，對第二項前的正負(fù)號一般可根據(jù)彎矩M的轉(zhuǎn)向憑直觀來選定，即當(dāng)M對計算點處引起的正應(yīng)力為壓應(yīng)力時取正號，為拉應(yīng)力時取負(fù)號。但應(yīng)注意在這種情況 下，M和y都只要代入它們的絕對值。最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力分別發(fā)生在截面的兩

48、個邊緣上，其計算公式為b maxmin=NAt MW( 2-80 )式中，A為桿的橫截面面積(m2); W為相應(yīng)的抗彎截面模量(m3)。對矩形截面偏心受壓桿，從偏心力P所在的位置可以看出，在任一橫截面上，最大的正應(yīng)力發(fā)生在邊緣 BC上。在邊緣AD上則根據(jù)N和M的不同大小，可能發(fā)生最小的壓應(yīng)力、最 大的拉應(yīng)力或在該處的應(yīng)力等于零。若將矩形截面的面積A=bh,抗彎截面模量 Wz=bh26和截面上的彎矩 M=Ne代入式(2-80 ),即可將其改寫為b maxmin=Nbh± 6Nebh2=Nbh仕 6eh (2-81 )2. 雙向偏心受壓當(dāng)偏心壓力P的作用點E不在橫截面的任一形心主軸上時，

49、力P可簡化為作用在截面形心0處的軸向壓力P和兩彎曲力偶 my=Pez, mz=Pey。故在桿任一橫截面上的內(nèi)力，將包括軸 力N=P和彎矩My=Pez Mz=Pey根據(jù)疊加原理，可得到桿橫截面上任一點（ y, z ）處的正應(yīng) 力計算公式為i er =NA+Myzly+Mzylz=PA+Pezzly+Peyylz （2-82 ）式中，ly和lz為橫截面分別對 y軸和z軸的慣性矩。雙向偏心受壓實際上是軸心受壓 與斜彎曲的疊加。當(dāng)式（2-82 ）中的ez或ey為零時，它就成為在單向偏心受壓情況下的式（2-79 ）。式（2-82 ）是根據(jù)力P作用在坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，并規(guī)定壓應(yīng)力的符號為正而導(dǎo)出的。為了

50、進(jìn)行強度計算，我們需要求出在截面上所產(chǎn)生的最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力，為此需 先確定出中性軸的位置。同樣，根據(jù)中性軸的概念可將e=0代入式（2-82 ），求得中性軸的I 方程為 PA+Pezzly+Peyylz=O將ly=Ar2y、lz=Ar2z代入，則上式可改寫為H 1+ezzr2y+eyyr2z=0 （2-83 ） 式（2-83 ）這個方程是一直線方程，故中性軸為一直線。由式（2-83 ）還可看出，坐標(biāo)II y和z不能同時為零，故中性軸不通過截面的形心。至于中性軸是在截面之內(nèi)還是在截面之I 外，則與力P的作用點E的位置（ey, ez）有關(guān)。將z=0和y=0分別代入式（2-83 ），即可求 得中

51、性軸與軸y和軸z的截距ay、az如下ay=-r2zeyI az=-r2yez （2=84）由式（2-84 ）可以看出，ey、ez愈小時，ay、az就愈大，即力P的作用點愈向截面形心 靠近，截面的中性軸就離截面形心愈遠(yuǎn)，甚至?xí)频浇孛嬉酝馊?。中性軸不在截面上面，則 意味著在整個截面上只有壓應(yīng)力作用。3. 截面核心 采用使偏心壓力 P向截面形心靠近（即減小偏心距ey, ez）的辦法，可使桿橫截面上的正應(yīng)力全部為壓應(yīng)力而不是拉應(yīng)力。當(dāng)偏心壓力作用在截面的某個范圍以內(nèi)時，中性軸的位 置將在截面以外或與截面周邊相切，這樣在整個截面上就只會產(chǎn)生壓應(yīng)力。通常把截面上的 這個范圍稱為截面核心。一任意形狀的截面

52、，要求其截面核心時，首先應(yīng)選擇通過截面形心的主軸Oy與Oz為坐標(biāo)II 軸，然后過截面周邊上的任意一點F'作與周邊相切的中性軸f f,并求出它在兩坐標(biāo)軸上的截距ay和az，將ay與az代入式（2-84 ）求得ey和ez，它們就是與中性軸f f相對應(yīng)的偏心壓力作用點F的坐標(biāo)。按照同樣的方法，由與截面周邊相切的一系列中性軸，可求得一系列偏心壓力作用點，將這些點按順序連接起來得出的閉合圖形即為我們要求的截面核心。將定點B的坐標(biāo)yB與zB代入中性軸方程式（2-83 ）可以得到； ey=-r2zyB-r2zzBr2yyBez因截面的形狀不變，其A、ly、lz均為定值，故上式中的ry、rz也都是常數(shù)

53、，ey、ez間的關(guān)系是線性關(guān)系。四、扭轉(zhuǎn)與彎曲組合變形 前面研究桿件的扭轉(zhuǎn)時只考慮了扭矩對桿的作用。實際上工程中的許多受扭桿件，在發(fā) 生扭轉(zhuǎn)變形的同時，還常會發(fā)生彎曲變形，當(dāng)這種彎曲變形不能忽略時，則應(yīng)按彎曲與扭轉(zhuǎn) 的組合變形問題來處理。1. 內(nèi)力計算一橫截面直徑為 d的機(jī)軸，在軸的左端有一重量為 W半徑為R的皮帶輪，軸轉(zhuǎn)動時皮 帶中的拉力為T和t （ T>t ）,軸的右端為一曲柄，曲柄把手上的力P總是垂直于曲柄平面。為了求得在機(jī)軸各個截面上的扭矩 Mn彎矩M和剪力Fs,首先需將各個外力對軸心進(jìn)行簡化。當(dāng)力（T+1 ）、P、W吏機(jī)軸彎曲時，A與B可以看做是鉸支座。這樣，豎直力W使機(jī)軸在豎

54、直平面內(nèi)引起的彎矩圖如圖2-165 （a）所示，水平力（T+t）和P使機(jī)軸在水平面內(nèi)引起的彎矩圖如圖2-165 （ b）所示。在機(jī)軸每個橫截面上的總彎矩應(yīng)等于在豎直方向的彎矩和在 水平方向的彎矩的幾何疊加。用類似的計算方法也可求出在機(jī)軸各個橫截面上的剪力。2. 應(yīng)力計算由于扭矩 Mn的作用，在圓截面上產(chǎn)生剪應(yīng)力t =Mnp Ip，它在圓截面的邊緣p =d2達(dá)到 最大值t n=MnWp方向與圓截面的周邊相切。對于實心圓軸，其抗扭截面模量Wpn d316。彎矩M作用在水平面上，使圓形截面水平直徑的兩端點處產(chǎn)生最大正應(yīng)力bM=M,如圖2 166 （ b）所示。對實心圓軸來說，其抗彎截面模量 Wn d

55、332，并與 Wp具有Wp=2W勺關(guān) 系。機(jī)軸彎曲時，剪力 Q在圓軸截面上產(chǎn)生的剪應(yīng)力仍可用公式t =QSbl計算，最大剪應(yīng)力 t Q=43QA=16Q3 d2發(fā)生在圓截面的豎向直徑上。由上面的分析可知，各種應(yīng)力的最不利組合情況肯定會發(fā)生在最大彎矩和最大扭矩所作 用的橫截面的邊緣處。在工程實際中，因作用在實心圓軸上的tQ一般都很小，往往可忽略不計。若在機(jī)軸上還作用有軸力 N它會在截面上產(chǎn)生正應(yīng)力bN=NA在這種情況下，應(yīng)將b N與b M的代數(shù)和代入式（2-85 ）中的b M3. 強度校核當(dāng)構(gòu)件處在扭轉(zhuǎn)和彎曲組合變形的情況下時，由其中取出的單元體一般是處在復(fù)雜應(yīng)力 狀態(tài)之下。在對這類構(gòu)件進(jìn)行強度校核時，首先應(yīng)計算出危