關(guān)于用割圓術(shù)推導圓周率的計算公式的方法

1、關(guān)于用割圓術(shù)推導圓周率的計算公式的方法周家軍（家庭地址：廣西陸川縣良田鎮(zhèn)馮杏村22隊，郵編：537717）（目前所在地：廣西柳州市，電子郵箱：zhoujiajun198204）摘要：圓周率的計算是有據(jù)可依的，它的計算公式在數(shù)學上可以推導出來。利用割圓術(shù)，可以推導出圓周率的計算公式。關(guān)鍵詞：割圓術(shù)；直徑分割；半徑分割；圓心角。1、緒言利用割圓術(shù)，可以推導出圓周率的計算公式。2、用外切圓分割正多邊形假設(shè)有一個圓，半徑為R，圓心為O，用n根線段（直徑）將其均勻分割，如圖所示。將各端點連接起來，那么它就是一個有2n個偶數(shù)邊的正多邊形。由此可見，此圓周是正多形的外切圓。假若組成正多邊形的一個三角形為AO

2、B，圓心角為 ,設(shè)AB=S，正多邊形的周長為L，依題意，有：OA=OB=R正多邊形的周長L為：L=2*n*S圓心角和分割圓的線段（直徑）n的關(guān)系為：根據(jù)三角函數(shù)，可以列出正多邊形的邊長S和圓周半徑R的關(guān)系式，為：S2=R2+R2-2*R*R*cos（）2.1、圓周率以正多邊形的割邊數(shù)n為變量的計算形式如果分割圓的線段（直徑）n越多，圓周就被分割得越細，組成的正多邊形的邊就越多。那么正多邊形的周長就越接近于圓周的周長，因此，依此就可推導出圓周率的計算公式，為：2.2、圓周率以正多邊形的圓心角為變量的計算形式若以圓心角為變量，也可得到圓周率的另一種計算公式。圓心角值越小，分割圓的直徑數(shù)n就越多，圓

3、就被分割得越細，組成正多邊形的邊就越多，正多邊形的周長就越接近于圓的周長。因此，依題意有：將n=代入上式，可得：3、用外切圓分割正多邊形計算圓周率的另一種方式過O點作AB的垂線OD，如圖所示：在AOD中，依題意有：OA=RAOD=AD=根據(jù)三角函數(shù)，有如下的關(guān)系式：AD=R*sin()=R*sin()S=2*R*sin()正多邊形的周長L為：L=2*n*S =2* * 2*R*sin()3.1、圓周率以正多邊形的圓心角為變量的計算形式圓周率的計算公式為：3.2、圓周率以正多邊形的割邊數(shù)n為變量的計算形式若要以線段（直徑）n為變量，將a =代入上式，即可得4、用內(nèi)切圓分割正多邊形在上面的圓周率推

4、導中，是以正多邊形的外切圓來進行的。也可以以正多邊形的內(nèi)切圓來推導。用n根線段（直徑）將圓周均勻分割，在端點處作該線段的垂線，各垂線所形成的圖形就是一個正多邊形，圓圈就是正多邊形的內(nèi)切圓。如下圖所示：假設(shè)組成正多邊形的一個三角形為AOB，垂足點為D。邊長AB=S，正多邊形的周長為L，圓心角為。依題意，有：OD=R的大小和分割的線段（直徑）n有關(guān)聯(lián)，n越大，正多邊形的邊就越多，就越?。环粗馊?。它們的關(guān)系式如下：在OAD中，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，可列出如下關(guān)系式：AD=AOD=AD=OD*tg()= R* tg()S= 2*R* tg()正多邊形的周長L為：L=2*n*S=2* 2*R* tg()

5、4.1、圓周率以正多邊形的圓心角為變量的計算形式如果分割圓的線段（直徑）n越多，圓周就被分割得越細，組成的正多邊形的邊就越多。那么正多邊形的周長就越接近于圓的周長，因此，依此就可得出圓周率的計算公式，為：4.2、圓周率以正多邊形的割邊數(shù)n為變量的計算形式將代入上式，可得到以線段（直徑）n為變量的另一種形式的計算式子：5、圓周率的取值及祖沖之密率證明將以上推導的圓周率的計算公式整理如下： 或： 公式和、和、和是等價的，可以相互轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換因子為。（用公式計算圓周率時，理論分析上，n只能取正整數(shù)，a為能被360整除并且結(jié)果為偶數(shù)的值，這樣，才能和題意所說的條件相符合，也只有這樣，計算出的圓周率值才能

6、越準確。）以上是用直徑分割圓周來推導圓周率計算公式，也可以用半徑來分割圓周，推導出圓周率的計算式子。在此就不一一敘述了，有興趣的朋友可以做一做。大概在2000年或2001年，我就推導出這些圓周率計算公式。我曾經(jīng)將公式給我的數(shù)學老師（梁春崇先生）看，他試圖用洛必達法則來證明，因進入一個循環(huán)，未果。歷史上，祖沖之算出了圓周率在3.1415926和3.1415927之間。他還得出圓的密率為，這是可以證明的。在以上有a的式子里，將a=7代入公式，在內(nèi)切圓中，,在外切圓中，。由此可知，祖沖之用了n=25.726，用了26根棍子（直徑）去分割圓，才算出了圓周的這個密率。如果將=3.1415926代入式，整理后，得：2*n2-2*n2*cos - 3.1415926*3.1415926=0這個式子我不知道怎樣解，如果哪位朋友如果知道解法，麻煩就請解一下，將n值求出來，就可知道祖沖之當時用了多少根棍子去分割圓，才算出了這個圓周率。不過，當我用數(shù)字代入n值后計算時，我發(fā)現(xiàn)，只有當n=5000時，派=3.14159260，也就是說，用了5000根棍子（直徑）去分割圓周。6、圓周率的其他計算形式當用（k為任意正數(shù) ）代入上面的公式，可得到圓周率的另一種計算公式。這個公式依然可以計算出圓周率的值。比如說：當k=1時，代入上式：代入式得代入式得代入式得（這就是用半徑分