關(guān)于用割圓術(shù)推導(dǎo)圓周率的計(jì)算公式的方法

1、關(guān)于用割圓術(shù)推導(dǎo)圓周率的計(jì)算公式的方法周家軍（家庭地址：廣西陸川縣良田鎮(zhèn)馮杏村22隊(duì)，郵編：537717）（目前所在地：廣西柳州市，電子郵箱：zhoujiajun198204）摘要：圓周率的計(jì)算是有據(jù)可依的，它的計(jì)算公式在數(shù)學(xué)上可以推導(dǎo)出來。利用割圓術(shù)，可以推導(dǎo)出圓周率的計(jì)算公式。關(guān)鍵詞：割圓術(shù)；直徑分割；半徑分割；圓心角。1、緒言利用割圓術(shù)，可以推導(dǎo)出圓周率的計(jì)算公式。2、用外切圓分割正多邊形假設(shè)有一個(gè)圓，半徑為R，圓心為O，用n根線段（直徑）將其均勻分割，如圖所示。將各端點(diǎn)連接起來，那么它就是一個(gè)有2n個(gè)偶數(shù)邊的正多邊形。由此可見，此圓周是正多形的外切圓。假若組成正多邊形的一個(gè)三角形為AO

2、B，圓心角為 ,設(shè)AB=S，正多邊形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，依題意，有：OA=OB=R正多邊形的周長(zhǎng)L為：L=2*n*S圓心角和分割圓的線段（直徑）n的關(guān)系為：根據(jù)三角函數(shù)，可以列出正多邊形的邊長(zhǎng)S和圓周半徑R的關(guān)系式，為：S2=R2+R2-2*R*R*cos（）2.1、圓周率以正多邊形的割邊數(shù)n為變量的計(jì)算形式如果分割圓的線段（直徑）n越多，圓周就被分割得越細(xì)，組成的正多邊形的邊就越多。那么正多邊形的周長(zhǎng)就越接近于圓周的周長(zhǎng)，因此，依此就可推導(dǎo)出圓周率的計(jì)算公式，為：2.2、圓周率以正多邊形的圓心角為變量的計(jì)算形式若以圓心角為變量，也可得到圓周率的另一種計(jì)算公式。圓心角值越小，分割圓的直徑數(shù)n就越多，圓

3、就被分割得越細(xì)，組成正多邊形的邊就越多，正多邊形的周長(zhǎng)就越接近于圓的周長(zhǎng)。因此，依題意有：將n=代入上式，可得：3、用外切圓分割正多邊形計(jì)算圓周率的另一種方式過O點(diǎn)作AB的垂線OD，如圖所示：在AOD中，依題意有：OA=RAOD=AD=根據(jù)三角函數(shù)，有如下的關(guān)系式：AD=R*sin()=R*sin()S=2*R*sin()正多邊形的周長(zhǎng)L為：L=2*n*S =2* * 2*R*sin()3.1、圓周率以正多邊形的圓心角為變量的計(jì)算形式圓周率的計(jì)算公式為：3.2、圓周率以正多邊形的割邊數(shù)n為變量的計(jì)算形式若要以線段（直徑）n為變量，將a =代入上式，即可得4、用內(nèi)切圓分割正多邊形在上面的圓周率推

4、導(dǎo)中，是以正多邊形的外切圓來進(jìn)行的。也可以以正多邊形的內(nèi)切圓來推導(dǎo)。用n根線段（直徑）將圓周均勻分割，在端點(diǎn)處作該線段的垂線，各垂線所形成的圖形就是一個(gè)正多邊形，圓圈就是正多邊形的內(nèi)切圓。如下圖所示：假設(shè)組成正多邊形的一個(gè)三角形為AOB，垂足點(diǎn)為D。邊長(zhǎng)AB=S，正多邊形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，圓心角為。依題意，有：OD=R的大小和分割的線段（直徑）n有關(guān)聯(lián)，n越大，正多邊形的邊就越多，就越??；反之，意然。它們的關(guān)系式如下：在OAD中，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，可列出如下關(guān)系式：AD=AOD=AD=OD*tg()= R* tg()S= 2*R* tg()正多邊形的周長(zhǎng)L為：L=2*n*S=2* 2*R* tg()

5、4.1、圓周率以正多邊形的圓心角為變量的計(jì)算形式如果分割圓的線段（直徑）n越多，圓周就被分割得越細(xì)，組成的正多邊形的邊就越多。那么正多邊形的周長(zhǎng)就越接近于圓的周長(zhǎng)，因此，依此就可得出圓周率的計(jì)算公式，為：4.2、圓周率以正多邊形的割邊數(shù)n為變量的計(jì)算形式將代入上式，可得到以線段（直徑）n為變量的另一種形式的計(jì)算式子：5、圓周率的取值及祖沖之密率證明將以上推導(dǎo)的圓周率的計(jì)算公式整理如下： 或： 公式和、和、和是等價(jià)的，可以相互轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換因子為。（用公式計(jì)算圓周率時(shí)，理論分析上，n只能取正整數(shù)，a為能被360整除并且結(jié)果為偶數(shù)的值，這樣，才能和題意所說的條件相符合，也只有這樣，計(jì)算出的圓周率值才能

6、越準(zhǔn)確。）以上是用直徑分割圓周來推導(dǎo)圓周率計(jì)算公式，也可以用半徑來分割圓周，推導(dǎo)出圓周率的計(jì)算式子。在此就不一一敘述了，有興趣的朋友可以做一做。大概在2000年或2001年，我就推導(dǎo)出這些圓周率計(jì)算公式。我曾經(jīng)將公式給我的數(shù)學(xué)老師（梁春崇先生）看，他試圖用洛必達(dá)法則來證明，因進(jìn)入一個(gè)循環(huán)，未果。歷史上，祖沖之算出了圓周率在3.1415926和3.1415927之間。他還得出圓的密率為，這是可以證明的。在以上有a的式子里，將a=7代入公式，在內(nèi)切圓中，,在外切圓中，。由此可知，祖沖之用了n=25.726，用了26根棍子（直徑）去分割圓，才算出了圓周的這個(gè)密率。如果將=3.1415926代入式，整理后，得：2*n2-2*n2*cos - 3.1415926*3.1415926=0這個(gè)式子我不知道怎樣解，如果哪位朋友如果知道解法，麻煩就請(qǐng)解一下，將n值求出來，就可知道祖沖之當(dāng)時(shí)用了多少根棍子去分割圓，才算出了這個(gè)圓周率。不過，當(dāng)我用數(shù)字代入n值后計(jì)算時(shí)，我發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)n=5000時(shí)，派=3.14159260，也就是說，用了5000根棍子（直徑）去分割圓周。6、圓周率的其他計(jì)算形式當(dāng)用（k為任意正數(shù) ）代入上面的公式，可得到圓周率的另一種計(jì)算公式。這個(gè)公式依然可以計(jì)算出圓周率的值。比如說：當(dāng)k=1時(shí)，代入上式：代入式得代入式得代入式得（這就是用半徑分