管道運輸與訂購優(yōu)化模型(CAI)-數(shù)學建模

1、 鋼管訂購和運輸優(yōu)化模型要鋪設一條的輸送天然氣的主管道, 如圖一所示(見反面)。經(jīng)篩選后可以生產(chǎn)這種主管道鋼管的鋼廠有。圖中粗線表示鐵路，單細線表示公路，雙細線表示要鋪設的管道(假設沿管道或者原來有公路，或者建有施工公路)，圓圈表示火車站，每段鐵路、公路和管道旁的阿拉伯數(shù)字表示里程(單位km)。為方便計，1km主管道鋼管稱為1單位鋼管。一個鋼廠如果承擔制造這種鋼管，至少需要生產(chǎn)500個單位。鋼廠在指定期限內(nèi)能生產(chǎn)該鋼管的最大數(shù)量為個單位，鋼管出廠銷價1單位鋼管為萬元，如下表：1234567800800100020002000200030001601551551601551501601單位鋼管的

2、鐵路運價如下表：里程(km)300301350351400401450451500運價(萬元)2023262932里程(km)5016006017007018008019009011000運價(萬元)37445055601000km以上每增加1至100km運價增加5萬元。公路運輸費用為1單位鋼管每公里0.1萬元（不足整公里部分按整公里計算）。鋼管可由鐵路、公路運往鋪設地點（不只是運到點，而是管道全線）。問題：（1）請制定一個主管道鋼管的訂購和運輸計劃，使總費用最小（給出總費用)。思考題：（2）請就（1）的模型分析：哪個鋼廠鋼管的銷價的變化對購運計劃和總費用影響最大，哪個鋼廠鋼管的產(chǎn)量的上限的變

3、化對購運計劃和總費用的影響最大，并給出相應的數(shù)字結(jié)果。（3）如果要鋪設的管道不是一條線，而是一個樹形圖，鐵路、公路和管道構(gòu)成網(wǎng)絡，請就這種更一般的情形給出一種解決辦法，并對圖二按（1）的要求給出模型和結(jié)果。A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A11A711A11A8A11A911A11A10A11A12A13A14A15S1S

4、2S3S4S5S6S7圖一A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A11A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20(A21)圖二一 基本假設：1 沿鋪設的主管道以有公路或者有施工公路。2 在主管道上，每公里卸1單位的鋼管。3 公路運輸費用為1單

5、位鋼管每公里0.1萬元（不足整公里部分按整公里計算）4 在計算總費用時，只考慮運輸費和購買鋼管的費用，而不考慮其他費用。5 在計算鋼廠的產(chǎn)量對購運計劃影響時，只考慮鋼廠的產(chǎn)量足夠滿足需要的情況，即鋼廠的產(chǎn)量不受限制。6 假設鋼管在鐵路運輸路程超過1000km時，鐵路每增加1至100km，1單位鋼管的運價增加5萬元。二符號說明：第個鋼廠； ：第個鋼廠的最大產(chǎn)量； ：輸送管道（主管道）上的第個點； ：第個鋼廠1單位鋼管的銷價； ：鋼廠向點運輸?shù)匿摴芰浚?：在點與點之間的公路上，運輸點向點方向鋪設的鋼管量； ()：1單位鋼管從鋼廠運到結(jié)點的最少總費用，即公路運費鐵路運費和 鋼管銷價之和； ：與點相連

6、的公路和鐵路的相交點； ：相鄰點與之間的距離； 三模型的建立與求解問題一：討論如何調(diào)整主管道鋼管的訂購和運輸方案使總費用最小由題意可知，鋼管從鋼廠到運輸結(jié)點的費用包括鋼管的銷價鋼管的鐵路運輸費用和鋼管的公路運輸費用。在費用最小時，對鋼管的訂購和運輸進行分配，可得出本問題的最佳方案。1、 求鋼管從鋼廠運到運輸點的最小費用1）將圖一轉(zhuǎn)換為一系列以單位鋼管的運輸費用為權(quán)的賦權(quán)圖。由于鋼管從鋼廠運到運輸點要通過鐵路和公路運輸，而鐵路運輸費用是分段函數(shù)，與全程運輸總距離有關(guān)。又由于鋼廠直接與鐵路相連，所以可先求出鋼廠到鐵路與公路相交點的最短路徑。如圖三 圖三 鐵路網(wǎng)絡圖依據(jù)鋼管的鐵路運價表，算出鋼廠到鐵

7、路與公路相交點的最小鐵路運輸費用，并把費用作為邊權(quán)賦給從鋼廠到的邊。再將與相連的公路、運輸點及其與之相連的要鋪設管道的線路（也是公路）添加到圖上，根據(jù)單位鋼管在公路上的運價規(guī)定，得出每一段公路的運費，并把此費用作為邊權(quán)賦給相應的邊。以為例得圖四 圖四 鋼管從鋼廠運到各運輸點的鐵路運輸與公路運輸費用權(quán)值圖2）計算單位鋼管從到的最少運輸費用根據(jù)圖四，借助圖論軟件包中求最短路的方法求出單位鋼管從到的最少運輸費用依次為：170.7，160.3，140.2，98.6，38，20.5，3.1，21.2，64.2，92，96，106，121.2，128，142（單位：萬元）。加上單位鋼管的銷售價，得出從鋼廠

8、購買單位鋼管運輸?shù)近c的最小費用依次為：330.3，320.3，300.2，258.6，198，180.5，163.1，181.2，224.2，252，256，266，281.2，288，302（單位：萬元）。同理，可用同樣的方法求出鋼廠到點的最小費用，從而得出鋼廠到點的最小總費用（單位：萬元）為： 表一 到點最小費用a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15s1320.3300.2258.6198180.5163181.2224.2252256266281.2288302s2360.3345.2326.6266250.5241226.2269.229730131132

9、6.2333347s3375.3355.2336.6276260.5251241.2203.2237241251266.2273287s4410.3395.2376.6316300.5291276.2244.2222211221236.2243257s5400.3380.2361.6301285.5276266.2234.2212188206226.2228242s6405.3385.2366.6306290.5281271.2234.2212201195176.2161178s7425.3405.2386.6326310.5301291.2259.2237226216198.2186162

10、2、建立模型運輸總費用可分為兩部分： 運輸總費用=鋼廠到各點的運輸費用+鋪設費用。 運輸費用：若運輸點向鋼廠訂購單位鋼管，則鋼管從鋼廠運到運輸點所需的費用為。由于鋼管運到必須經(jīng)過，所以可不考慮，那么所有鋼管從各鋼廠運到各運輸點上的總費用為：。鋪設費用：當鋼管從鋼廠運到點后，鋼管就要向運輸點的兩邊段和段運輸（鋪設）管道。設向段鋪設的管道長度為，則向段的運輸費用為（萬元）；由于相鄰運輸點與之間的距離為，那么向段鋪設的管道長為，所對應的鋪設費用為（萬元）。所以，主管道上的鋪設費用為： 總費用為：又因為一個鋼廠如果承擔制造鋼管任務，至少需要生產(chǎn)500個單位，鋼廠在指定期限內(nèi)最大生產(chǎn)量為個單位，故 或

11、因此本問題可建立如下的非線性規(guī)劃模型： 3、模型求解：由于MATLAB不能直接處理約束條件：或，我們可先將此條件改為，得到如下模型： 用MATLAB求解，分析結(jié)果后發(fā)現(xiàn)購運方案中鋼廠的生產(chǎn)量不足500單位，下面我們采用不讓鋼廠生產(chǎn)和要求鋼廠的產(chǎn)量不小于500個單位兩種方法計算： 1）不讓鋼廠生產(chǎn) 計算結(jié)果：1278632（萬元）（此時每個鋼廠的產(chǎn)量都滿足條件）。 2）要求鋼廠的產(chǎn)量不小于500個單位 計算結(jié)果： 1279664 （萬元） （此時每個鋼廠的產(chǎn)量都滿足條件）。比較這兩種情況，得最優(yōu)解為， =1278632（萬元） 具體的購運計劃如表二：表二 問題一的訂購和調(diào)運方案 訂購量A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14