繪制根軌跡的一般規(guī)則

1、第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 純粹用試驗(yàn)點(diǎn)的辦法手工作圖，工作量純粹用試驗(yàn)點(diǎn)的辦法手工作圖，工作量是十分巨大的，而且對(duì)全貌的把握也很困難，是十分巨大的，而且對(duì)全貌的把握也很困難，于是人們研究根軌跡圖的基本規(guī)則，以便使于是人們研究根軌跡圖的基本規(guī)則，以便使根軌跡繪圖更快更準(zhǔn)。概括起來(lái)，根軌跡繪圖更快更準(zhǔn)。概括起來(lái)， 以開(kāi)環(huán)以開(kāi)環(huán)增益增益K為參變量的根軌跡圖主要有下列基本為參變量的根軌跡圖主要有下列基本規(guī)則：規(guī)則： 第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 如果以系統(tǒng)的其他參量為參變量時(shí)，經(jīng)如果以系統(tǒng)的其他參量為參變量時(shí)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換，以下規(guī)則仍能適用。過(guò)適當(dāng)變換，以下規(guī)則仍能適用。一一.（規(guī)則（規(guī)則1）根軌

2、跡分支數(shù)）根軌跡分支數(shù) 根軌跡在根軌跡在s平面的分支數(shù)等于閉環(huán)特征平面的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)方程的階數(shù)n，也就是總分支數(shù)等于開(kāi)環(huán)傳，也就是總分支數(shù)等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)。遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)。0)()(11imijnjzskps第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 根軌跡的每一條分支表示當(dāng)根軌跡的每一條分支表示當(dāng)k 變化時(shí)，閉變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)在環(huán)極點(diǎn)在s平面的運(yùn)動(dòng)軌跡，所以有幾個(gè)閉環(huán)平面的運(yùn)動(dòng)軌跡，所以有幾個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)就應(yīng)有幾條分支。當(dāng)極點(diǎn)就應(yīng)有幾條分支。當(dāng)n m時(shí)，特征方程時(shí)，特征方程的階次等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)的階次等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，而，而n階特征方程就階特征方程就對(duì)應(yīng)有對(duì)應(yīng)有n個(gè)特征根或個(gè)特征根或n個(gè)

3、閉環(huán)極點(diǎn)，所以其根個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，所以其根軌跡的分支數(shù)就等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)軌跡的分支數(shù)就等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則二二.（規(guī)則（規(guī)則2）根軌跡對(duì)稱(chēng)性）根軌跡對(duì)稱(chēng)性,連續(xù)性連續(xù)性 根軌跡各分支對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。因?yàn)殚]環(huán)系根軌跡各分支對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。因?yàn)殚]環(huán)系統(tǒng)的特征方程式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，故特征方統(tǒng)的特征方程式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，故特征方程式的根只能是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。實(shí)數(shù)必位于實(shí)程式的根只能是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。實(shí)數(shù)必位于實(shí)軸上，復(fù)數(shù)則一定共軛成對(duì)出現(xiàn)，所以當(dāng)軸上，復(fù)數(shù)則一定共軛成對(duì)出現(xiàn)，所以當(dāng)k從從0到無(wú)窮變化時(shí)，根軌跡必對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸，到無(wú)窮變化時(shí)，根軌跡必對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸，且連續(xù)變化。因此一般繪制根軌跡的一半即且連

4、續(xù)變化。因此一般繪制根軌跡的一半即可。可。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 三（規(guī)則三（規(guī)則3）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。如果如果nm ，則有（，則有（n-m）條根軌跡終止于無(wú)）條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。窮遠(yuǎn)處。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則般情況下，為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。一，使等式成立，必有時(shí)是根軌跡的終點(diǎn)，為當(dāng)幾個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。故根軌跡起始于系統(tǒng)的為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，。而必有使等式成立，時(shí)是根軌跡的起點(diǎn)，為當(dāng)證明：iijjnjjmiizmizskpnjpskkpszs2 , 12 , 10111第三節(jié) 繪制根軌跡的一般

5、規(guī)則叫無(wú)限零點(diǎn)。處，把無(wú)窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)其余時(shí)方程左邊，當(dāng)時(shí)，方程右邊趨近于零根軌跡，又因當(dāng)）條個(gè)有限零點(diǎn)，還剩下（條根軌跡終止于條根軌跡中個(gè)有限零點(diǎn)，所以階系統(tǒng)只有，mnssspszsskmnmmnmnmnmnsnmsnjjmii01limlimlim11第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 TTTTsssksssKsTssKTsssKsGTTsssKsG111111110,11寫(xiě)成：解：將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)改及起點(diǎn)、終點(diǎn)。數(shù)試確定根軌跡的的分支系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為例：已知單位反饋控制第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則處。，另一條終止于無(wú)窮遠(yuǎn)軌跡終止于，其中一條根，根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，

6、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，故根軌跡分支數(shù)為分母多項(xiàng)式的最高階次110, 1, 211022121TmnzTppn第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則四四.（規(guī)則（規(guī)則4）實(shí)軸上的根軌跡）實(shí)軸上的根軌跡 實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。 s平面上有四個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，平面上有四個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，p1、p2、p3、 p4和三個(gè)和三個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)z1、 z2 、 z3的的 一種情況，其中一種情況，其中p2、p3是一是一對(duì)共軛極點(diǎn)，對(duì)共軛極點(diǎn)， p3、 z1、 p4 、z2 、z3分別是實(shí)數(shù)極點(diǎn)分別是實(shí)數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)。和零點(diǎn)。 為在實(shí)軸上確定屬于根

7、軌跡的線段，首先在實(shí)軸極為在實(shí)軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在實(shí)軸極點(diǎn)點(diǎn)p4 和實(shí)軸零點(diǎn)和實(shí)軸零點(diǎn)z2 之間任選一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)之間任選一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)s0。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 點(diǎn)和零點(diǎn)。取決于實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)極實(shí)軸上的根軌跡僅沒(méi)有影響對(duì)實(shí)軸上根軌跡的位置復(fù)數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的共軛相角條件的所規(guī)定的存在并不影響說(shuō)明或的相角之和為到開(kāi)環(huán)共軛極點(diǎn).,18012,:3600,111323121132njjmiihpszspppspsspp第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 極點(diǎn)。慮它左側(cè)的實(shí)數(shù)零點(diǎn)、必考軸上根軌跡時(shí)，可以不極點(diǎn)。因此，在繪制實(shí)點(diǎn)左側(cè)的開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)于這一判斷同樣適用于位件的所規(guī)定的相角條的存在

8、并不影響，這說(shuō)明左側(cè)實(shí)數(shù)零點(diǎn)的左方，則向量位于如果實(shí)數(shù)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)1113113,1801202shpszszssznjjmii第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 奇數(shù)。零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和應(yīng)為數(shù)區(qū)段的右側(cè)，其開(kāi)環(huán)實(shí)因此，實(shí)軸上的根軌跡角。，即奇數(shù)個(gè)相角的總和應(yīng)為向量的與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)構(gòu)成的根據(jù)相角條件，根軌跡，則向量的右方，位于，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)如果實(shí)數(shù)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)12,31121111121hpszszsspzz第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則五（規(guī)則5）根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)這是一個(gè)某系統(tǒng)的根軌跡圖。由開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p1， p2出發(fā)的兩條根軌跡，隨K的增大在實(shí)軸上a點(diǎn)相遇后，即 分離進(jìn)入復(fù)平面。隨著k的繼續(xù)增大，兩條根軌跡又

9、在實(shí)軸上的b點(diǎn)相遇 并分別沿實(shí)軸的右左兩方運(yùn)動(dòng)，最終一條終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，另一條終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。bap2p1z1第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 根軌跡與實(shí)軸有兩個(gè)交點(diǎn)根軌跡與實(shí)軸有兩個(gè)交點(diǎn)a和和b，分別稱(chēng)為根，分別稱(chēng)為根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。1.實(shí)軸上分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的判別實(shí)軸上分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的判別（1）若實(shí)軸上相鄰開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間是根軌跡，則相）若實(shí)軸上相鄰開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間是根軌跡，則相鄰開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn)。鄰開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn)。（2）若實(shí)軸上相鄰開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（其中一個(gè)可為無(wú)窮）若實(shí)軸上相鄰開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（其中一個(gè)可為無(wú)窮大零點(diǎn)）之間是根軌跡，則相鄰開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之間大零點(diǎn)）

10、之間是根軌跡，則相鄰開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之間必有會(huì)合點(diǎn)。必有會(huì)合點(diǎn)。（3）如果實(shí)軸上的根軌跡在開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)）如果實(shí)軸上的根軌跡在開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間，則它們中若有分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)，則一定之間，則它們中若有分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)，則一定成對(duì)出現(xiàn)，即有一個(gè)分離點(diǎn)一定會(huì)有一個(gè)會(huì)合成對(duì)出現(xiàn)，即有一個(gè)分離點(diǎn)一定會(huì)有一個(gè)會(huì)合點(diǎn)，也可能既無(wú)分離點(diǎn)也無(wú)會(huì)合點(diǎn)。點(diǎn)，也可能既無(wú)分離點(diǎn)也無(wú)會(huì)合點(diǎn)。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則2.分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的計(jì)算。介紹按重根法求分離點(diǎn)分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的計(jì)算。介紹按重根法求分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的方法。和會(huì)合點(diǎn)的方法。 無(wú)論分離點(diǎn)還是會(huì)合點(diǎn)，都表示特征方程式在該無(wú)論分離點(diǎn)還是會(huì)合點(diǎn)，都表示特征方程式在該點(diǎn)

11、出現(xiàn)重根，只要找到這些重根就可以確定分離點(diǎn)出現(xiàn)重根，只要找到這些重根就可以確定分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的位置。點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的位置。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 0011. 010011skNsDsDskNsDsDsNksHsGsDsNksHsGsHsGxfxxf即為求其重根，令，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，則必然同時(shí)滿足具有重根若代數(shù)方程第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 求導(dǎo)，對(duì)特征方程便于記憶，這個(gè)方程怕記混淆，為跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。顯然解方程可求出根軌必須滿足征方程有兩個(gè)重實(shí)根，根據(jù)代數(shù)定理，如果特0110000sHsGdssHsdGsDsNsDsNsDsNksDskN第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 式計(jì)算簡(jiǎn)單。，因

12、此用的階次高于22011010122sNsDsNsDdsdsNsDkdsdsHsGdsdsDskNsHsGsHsGsHsGdsdsHsGdsdsDsDsNsDsNkdssHsGddssHsGd第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 026323211212578. 1422. 00263023263211212232122232sssssdsdsssdsdsNsDdsdsNssssDsssssssssssskdsdsHsGdsdsssksHsG式求用式求解：用分離點(diǎn)。試求根軌跡在實(shí)軸上的傳遞函數(shù)例：已知控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 注意：注意：1、判斷哪一個(gè)是分離點(diǎn)，根據(jù)我們前面介紹判斷哪一

13、個(gè)是分離點(diǎn)，根據(jù)我們前面介紹方法，若相鄰開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間是根軌跡，則相方法，若相鄰開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間是根軌跡，則相鄰開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn)。鄰開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn)。S1是分離點(diǎn)，是分離點(diǎn)， S2 不在根軌跡上，不是分離點(diǎn)。不在根軌跡上，不是分離點(diǎn)。2、必須驗(yàn)證是否在根軌跡上、必須驗(yàn)證是否在根軌跡上六（規(guī)則六（規(guī)則6）根軌跡的漸近線）根軌跡的漸近線 當(dāng)當(dāng)nm時(shí)，有時(shí)，有n-m條根軌跡隨著條根軌跡隨著k的增大的增大而趨向無(wú)窮，這些趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處的根軌跡，而趨向無(wú)窮，這些趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處的根軌跡，將隨著將隨著k的無(wú)限增大而接近于的無(wú)限增大而接近于n-m條直線，條直線，這些直線稱(chēng)為根軌跡的漸近線。漸近線的位這些直線

14、稱(chēng)為根軌跡的漸近線。漸近線的位置由以下兩個(gè)參數(shù)確定，即漸近線傾角和漸置由以下兩個(gè)參數(shù)確定，即漸近線傾角和漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 分代入即可。的極點(diǎn)，零點(diǎn)的實(shí)數(shù)部式計(jì)算時(shí)，只需把必須為實(shí)數(shù)。用互相抵消，所以的虛部可以實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。它們由于極點(diǎn)和零點(diǎn)必須為漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)條。故獨(dú)立漸近線只有現(xiàn)，增大時(shí)，傾角值重復(fù)出時(shí)，漸近線傾角最小，當(dāng)漸近線傾角sHsGmnzzzpppmnhhhmnhamnaaaa11. 20, 2, 1, 012. 12121第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則0jw62ckj62ckj-2-1 條漸近線有解：面上的位置。平試確定根軌跡漸

15、近線在傳遞函數(shù)為環(huán)例：已知控制系統(tǒng)的開(kāi)3. 2, 1, 00, 3,21321mnpppmnssssksHsG第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則30018012221803180318012160318018002, 1, 031212132102212121mnhmnhmnhhhmnhmnzzzpppamna時(shí)，時(shí)，時(shí)，漸近線與實(shí)傾角漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則七.（規(guī)則7）根軌跡的起始角和終止角o當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點(diǎn)或零點(diǎn)時(shí)，根軌跡是沿著什么方向離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的呢？這就是所謂的起始角和終止角問(wèn)題, 先給出定義如下： 起始角 根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處在切線

16、方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖4-8（a）中的 和 。 終止角 根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖4-8（b）中的 和 。1p2p1z2z第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則j3P2P1P0s1p2p第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則js1z2z1p2p1z2z0第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 根軌跡起始角：起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起始點(diǎn)處的切線和水平線正方向的夾角。 根軌跡終止角：終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)處的切線與水平線正方向的夾角。1ps1p1z1p221pp 31pp p311zpjw第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則njjmiinjjmiipzzzhzppzphpppppzph

17、pppspspshpspspszsssp112112111131211111111111312111111111212,12.,12.,跡終止角公式計(jì)算開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處的根軌計(jì)算起始角的公式一般情況下故即為起始角這時(shí)的向量引向極點(diǎn)各開(kāi)環(huán)零的向量就變成了極點(diǎn)引向則各開(kāi)環(huán)零點(diǎn)時(shí)無(wú)限靠近當(dāng)根據(jù)相角條件即是根軌跡上的點(diǎn)取點(diǎn)靠近起點(diǎn)在圖所示的根軌跡上第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 根軌跡起始角和終止角取條漸近線有為根軌跡段，）和，實(shí)軸上（開(kāi)環(huán)零點(diǎn)：解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)例：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的)3(2225 . 15 . 25 . 05 . 00340,1803412121)2(5 . 25

18、. 10) 1 (2, 5 . 1, 5 . 2, 5 . 15 . 0, 05 . 15 . 05 . 15 . 05 . 2225 . 131413,2143,21iijjaazphhmnhjzzpjppjsjsssjsjssksGnjjmiinjjmiipzzzhzppzphp11211211111212,跡終止角公式計(jì)算開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處的根軌計(jì)算起始角的公式一般情況下第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則05 .1495 .32912901175 .631211991531212790791011237905 .10859195 .56121232124122342123122hhhzzpzhzphh

19、hppzphpiiijjjjjii由根軌跡對(duì)稱(chēng)性，第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則八.（規(guī)則8）根軌跡與虛軸交點(diǎn) .,010101101, 1.,:,1值增益還可以求出對(duì)應(yīng)的臨界的坐標(biāo)得到根軌跡與虛軸交點(diǎn)解出或?qū)懗傻玫酱腴]環(huán)特征方程中將與虛軸的交點(diǎn)有兩種方法求出根軌跡狀態(tài)此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定特征方程含有純虛根即閉環(huán)點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)有共軛虛數(shù)極表明根軌跡與虛軸相交kwjwHjwGjIjwHjwGRjwHjwGjIjwHjwGRjwHjwGjwsjwsmeme第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 jkkwkkwwwwkkjwwjwkjwjwjwjwsksssksssksssksHsGc26626,20203023

20、023023211,21. 233232323，交點(diǎn)為時(shí)，根軌跡與虛軸相交所以當(dāng)，為故根軌跡與虛軸的交點(diǎn)代入令閉環(huán)特征方程為：）由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可得解：（。臨界增益與虛軸的交點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的求根軌跡遞函數(shù)例：已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳利用勞斯表求第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則為虛軸的交點(diǎn)。即，行的輔助方程求得，根據(jù)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可，令特征方程式）利用勞斯表求（jssskkkkkkkkkskkkskssksss20636036363636036336363321321023222012323第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則九.（規(guī)則9）根之和 011101112121111011101110111011111, 0

21、asasasbsbsbskpspspszszszskpszsksHsGAsAssssAsAsAsbsbsbskasasaszskpsmnnnnmmmnmnjjmiinjjnnjjjnjjnnnmmmnnnmiinjj，的關(guān)系有根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)閉環(huán)特征根。的情況下，可以表示為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程在njjnjjnnjjnjjmmmnnnnnjjnjjnnnpsasmnssbsbsbskasasasaPpsasasas所以：時(shí)，當(dāng)閉環(huán)特征方程開(kāi)環(huán)特征方程11011101111101112)(00第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則的大致形狀。一點(diǎn)有助于確定根軌跡之和保持不變，明確這閉環(huán)極點(diǎn)根軌跡向右移動(dòng)，

22、以便左方移動(dòng)，必有另一些變化時(shí)，一些根軌跡向，隨著表明：在繪制根軌跡時(shí)值無(wú)關(guān)。是與常數(shù)，下，閉環(huán)特征根之和為在開(kāi)環(huán)極點(diǎn)確定的情況kk第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 001011101111011110111101110111011121211100kbAsbsbsbsksasasassasasassasasasbsbsbsasasassbsbsbspspspsszszszskpsszsksHsGnjjmmmrrnrnnrrnrnnrrnrnnmmmrnrnrnrmmmrnrmrnjjrmii閉環(huán)特征方程開(kāi)環(huán)特征方程上的積分環(huán)節(jié)也就是說(shuō)開(kāi)環(huán)有一個(gè)以當(dāng)開(kāi)環(huán)有零值極點(diǎn)時(shí)，miimnjjnnjjnjjm

23、imiimmimnjnjjnnjnimijnjzkpssszszskpspszskpssD111111111111) 1() 1()()(0) 1() 1()()()(n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)之積為個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)之積為第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 6322133223332102, 0, 0,2,21321003210121332132111021jjssskbbkssskbsjjssssssppppskjssssksHsGccnjjnjjnjj，由于閉環(huán)第三個(gè)特征根為閉環(huán)特征根之和為解：由式極點(diǎn)。值及對(duì)應(yīng)的第三個(gè)閉環(huán)，求交點(diǎn)處的臨界交點(diǎn)為根軌跡與虛軸函數(shù)例：已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞，第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 開(kāi)

24、環(huán)無(wú)零點(diǎn)。，開(kāi)環(huán)有四個(gè)極點(diǎn)式成繪制根軌跡的標(biāo)準(zhǔn)形解：將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)寫(xiě)試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。，函數(shù)例：已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞，42200,4004242202042040005. 0105. 02 . 005. 0105. 005. 012 . 005. 0105. 012 . 005. 0105. 043212222jpppkkjsjssskssssksssskssssksHsGssssksHsG第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 下面按繪制根軌跡的規(guī)則求根軌跡的有關(guān)參數(shù) (1)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有四個(gè)極點(diǎn)n=4，故有4 條根軌跡。 （2確定實(shí)軸上的根軌跡，在實(shí)軸上，（0-20）之間的根軌跡 （3）根軌跡起點(diǎn) 四

25、個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 根軌跡終點(diǎn)：四條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 45, 4135, 2135, 145, 018041212644242200515040020072440010024141123234aaaaanjmiijahhhhhmnhjjmnzpssssssssdsdsMsNdsdsHsGdsd根軌跡的漸近線試探法求解出根軌跡分離點(diǎn)第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則 39039905 .125 .1161212126443231313133343phhpppppphppzphppminjjji根據(jù)對(duì)稱(chēng)性規(guī)則，處的根軌跡起始角極點(diǎn)，需求因開(kāi)環(huán)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根軌跡起始角，第三節(jié)

26、繪制根軌跡的一般規(guī)則 47. 313911 . 402440001000244001000400100244000400100247324324234234KkwwwkwwwwjkwwkjwjwjwjwjwsKkkssss代入方程中，令其中系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程根軌跡與虛軸的交點(diǎn)第三節(jié) 繪制根軌跡的一般規(guī)則2s2s)2s (K) s (H) s (G2r已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。解 這是一個(gè)二階系統(tǒng)，在S平面上有兩條連續(xù)且對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的根軌跡。 由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)有一個(gè)開(kāi)環(huán)實(shí)零點(diǎn) 和一對(duì)開(kāi)環(huán)共軛復(fù)數(shù)極 ,因此，根軌跡的起點(diǎn)為 和 ，其終點(diǎn)為 和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 。 由規(guī)則五知

27、，實(shí)軸上由-2至-的線段為實(shí)軸上的根軌跡。 由規(guī)則六，可求出根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）。分離點(diǎn)方程是2z11 j1p2,1)0K(pr1)0K(pr2)K(zr1)K(r02s2s2sdsds2即 解方程可得 不在實(shí)軸上的根軌跡上，舍去 ，實(shí)際的分離點(diǎn)為 。0242414. 31586. 02586. 0212由規(guī)則七，可求出開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)（根軌跡的起點(diǎn)）的出射角。它們是1p1359045180)pp()zp(180211113512ppjs0-1-2-3)0(1rKP1p)0(2rKP2p414. 311-4rK1-1)(1rKZo由本例不難發(fā)現(xiàn)，由兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（實(shí)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)開(kāi)環(huán)

28、實(shí)零點(diǎn)組成的二階系統(tǒng)，只要實(shí)零點(diǎn)沒(méi)有位于兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)之間，當(dāng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益 由零變到無(wú)窮大時(shí)，復(fù)平面上的閉環(huán)根軌跡，是以實(shí)零點(diǎn)為圓心，以實(shí)零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的一個(gè)圓（當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)時(shí)）或圓的一部分（當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)）。4-3 廣義根軌跡的繪制 前面討論系統(tǒng)根軌跡的繪制方法時(shí)，是以根軌前面討論系統(tǒng)根軌跡的繪制方法時(shí)，是以根軌跡增益跡增益k（或開(kāi)環(huán)增益（或開(kāi)環(huán)增益K）為可變參量，這是在實(shí)際）為可變參量，這是在實(shí)際中最常見(jiàn)的情況。通常將上述以根軌跡增益中最常見(jiàn)的情況。通常將上述以根軌跡增益k為可變?yōu)榭勺儏⒘康母壽E稱(chēng)為常規(guī)根軌跡。而在實(shí)際控制系統(tǒng)參量的根軌跡稱(chēng)為常規(guī)根軌跡。而在實(shí)際控制系統(tǒng)中，有時(shí)需要研究根軌跡增益中，有時(shí)需要研究根軌跡增益 k以外的其它參數(shù)，以外的其它參數(shù)，如開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)和反饋系數(shù)等對(duì)如開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)和反饋系數(shù)等對(duì)系統(tǒng)性能的影響，這時(shí)可繪制以其它參數(shù)為可變參系統(tǒng)性能的影響，這時(shí)可繪制以其它參數(shù)為可變參數(shù)的根軌跡，稱(chēng)為參數(shù)根軌跡，或廣義根軌跡。數(shù)