北航07-08高數(shù)第2學期期中試卷及參考答案

1、高等數(shù)學一填空一填空 (每空一分每空一分,共共12分分)222200ln(1)lim0 xyxyxyxy 1. 極限極限 222222221()sin0( , ), 00 xyxyf x yxyxy ( , )( , )0 000 00 xxyff，2. 則則01xuyvyuxv3. 方程組方程組確定的隱函數(shù)的偏導數(shù)確定的隱函數(shù)的偏導數(shù)._, xvxu高等數(shù)學zxy 221xy 5. 在區(qū)域在區(qū)域：上的最大值是上的最大值是_.221( ),txf tedx 10( )tft dt 6. 設設 定積分定積分的值是的值是2222222( )(),xyztF tf xyz dv( )f u( )()

2、224F tt f t7. 已知已知 其中其中為可微函數(shù)為可微函數(shù),則則22222(),xyzxy ： 8. 則則的體積為的體積為_._.222xyzx 4. 曲面曲面的垂直于平面的垂直于平面的切平面為的切平面為_.22 zyx2 zyx和和高等數(shù)學12( ) () ( , )Lf x y ds2122( ( )cos , ( )sin )( ) ( ) fd 9. 若曲線以極坐標若曲線以極坐標表示表示，給出計算給出計算的公式的公式23222(2-cos )(1-2 sin3)4Lxyyx dxyxx ydy 10. 22xy (,1)2 其中其中L為拋物線為拋物線上由點上由點(0,0)到到的

3、一段弧的一段弧.高等數(shù)學二單項選擇二單項選擇 ( (每題每題2 2分分, ,共共1010分分) ) ( , )zf x y 22, zzx yy x A1.1.函數(shù)函數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)在區(qū)域在區(qū)域D內連續(xù)是這兩個二階混合偏導數(shù)在內連續(xù)是這兩個二階混合偏導數(shù)在D內相等的內相等的 條件條件.(A) 充分充分 (B) 必要必要 (C) 充要充要 (D) 既非充分又非必要既非充分又非必要高等數(shù)學),(yxf00(,)xy00(, )xfxy00(, )xfxyB00000(, )-(, )limxf xx yf xyx 00000(, )-(, )limxf xx yf xyx

4、 00000(, )- (, )lim2xf xx yf xx yx 000(, )(),xfxyg x 0( )( , )dg xf x ydx 2.設函數(shù)設函數(shù)在點在點處的一階偏導數(shù)處的一階偏導數(shù) 存在，存在，下列選項中與下列選項中與不相等的是不相等的是(A) (B) (C) (D) 其中其中高等數(shù)學( , )1200ydyf y x dx( ,)2100 xdyf x y dx( , )2102ydyf x y dx( , )2102xdxf y x dy (A) (B) (C) (D) B._),(. 31020 xdyyxfdx高等數(shù)學( , ),( , ) P x yQ x yDA

5、()LDPQdxdyQdxPdyxy()LDQPdxdyQdxPdyxy()LDPQdxdyPdxQdyxy()LDPQdxdyPdxQdyyx4.設閉區(qū)域設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成圍成, 函數(shù)函數(shù)在在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則 (A) （B） （C） （D）高等數(shù)學( , )x yA( , )( , )DDxx y dxx y d 2( , )( , )DDxx y dxx y d ( , )Dxxx y d 2( , )Dxxx y d 5. 設有一平面薄片，占有設有一平面薄片，占有xOy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D,在點在點(x,y)處的面密度

6、為處的面密度為(x,y),假定假定(x,y)在在D上連續(xù)上連續(xù).若平面薄片若平面薄片的重心坐標為的重心坐標為 , ,則則（A） （B）（C） （D）高等數(shù)學 高等數(shù)學第二學期期中考試解答（高等數(shù)學第二學期期中考試解答（2008.4.19）一填空一填空 (每空一分每空一分,共共12分分)222200ln(1)lim0 xyxyxyxy 1. 極限極限 222222221()sin0( , ), 00 xyxyf x yxyxy ( , )( , )0 000 00 xxyff，2. 則則. 01sinlim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(22200 yxxxxfxffxxx解解222

7、12222221cos)(1sin2),(0yxyxxyxxyxfyxx 時時，當當. 000lim)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(00 yyfyffyxxyxy高等數(shù)學01xuyvyuxv2222 , uvyuxvuyvxxxyxxy3. 方程組方程組確定的隱函數(shù)的偏導數(shù)確定的隱函數(shù)的偏導數(shù)222xyzx 122xy4. 曲面曲面的垂直于平面的垂直于平面的切平面為的切平面為22 zyx2 zyx和和zxy 221xy 125. 在區(qū)域在區(qū)域：上的最大值是上的最大值是高等數(shù)學221( ),txf tedx 10( )tft dt 6. 設設 定積分定積分的值是的值是)1(411 e

8、)1(4141)(21)(2121)()(11101031021021021044 eedtettfdttfttdtfdttfttt解解 Dxtxtxdtdxe tdxetdtdxetdtdttft2222210110110)(2解解2tx )1(412111010022 edxxetdtdxexxx高等數(shù)學2222222( )(),xyztF tf xyz dv( )f u( )()224F tt f t7. 已知已知 其中其中為可微函數(shù)為可微函數(shù),則則 tttrrrfrrrfrrrfdvzyxftFttzyx02202200220202222222d)(4d)(dsin2dsin)(dd)

9、()(),0(: 則則記記解解).(4d)(4)(22022tftrrrfdtdtFt 高等數(shù)學22222(),xyzxy ： 568. 則則的體積為的體積為12( ) () ( , )Lf x y ds2122( ( )cos , ( )sin )( ) ( ) fd 9. 若曲線以極坐標若曲線以極坐標表示表示，給出計算給出計算的公式的公式.)()()sin)(,cos)()()()sin)(,cos)(),(sin)(,cos)(2121 dfdyxfdsyxfyxL解解高等數(shù)學23222(2-cos )(1-2 sin3)4Lxyyx dxyxx ydy 22xy (,1)2 10. 其

10、中其中L為拋物線為拋物線上由點上由點(0,0)到到的一段弧的一段弧.0,3sin21,cos22223 yPxQyxxyQxyxyP解解.44)432sin21(0.2210221202020012020200 LLQdyPdxdyyyQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx），（），（），（），（），（），（），（），（，而而于于是是高等數(shù)學二單項選擇二單項選擇 ( (每題每題2 2分分, ,共共1010分分) ) ( , )zf x y 22, zzx yy x A1.1.函數(shù)函數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)在區(qū)域在區(qū)域D內連續(xù)是這兩個二階混合偏導數(shù)在內連續(xù)

11、是這兩個二階混合偏導數(shù)在D內相等的內相等的 條件條件.(A) 充分充分 (B) 必要必要 (C) 充要充要 (D) 既非充分又非必要既非充分又非必要定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 的兩個二階混合偏導數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)xyz 2及及yxz 2在區(qū)域在區(qū)域 D D 內連續(xù)，那末在該區(qū)域內這內連續(xù)，那末在該區(qū)域內這兩個二階混合偏導數(shù)必相等兩個二階混合偏導數(shù)必相等高等數(shù)學解解).0 , 0(),0 , 0(,0, 00,),(22222222yxxyffyxyxyxyxxyyxf 求求設設xfxffyfyffyyxyxxxyxy)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(,)0 , 0(

12、), 0(lim)0 , 0(00 例例, 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(, 0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(,lim)0 ,(),(lim)0 ,(,lim), 0(),(lim), 0(00222200222200 yfyffxfxffxyyxyxxyyxfyxfxfyxyxyxxyxyfyxfyfyyxxyyyxxx而而. 10lim)0 , 0(, 10lim)0 , 0(00 xxfyyfxyxyxy高等數(shù)學),(yxf00(,)xy00(, )xfxy00(, )xfxyB00000(, )-(, )limxf xx yf xyx 00000(, )-

13、(, )limxf xx yf xyx 00000(, )- (, )lim2xf xx yf xx yx 000(, )(),xfxyg x 0( )( , )dg xf x ydx 2.設函數(shù)設函數(shù)在點在點處的一階偏導數(shù)處的一階偏導數(shù) 存在，存在，下列選項中與下列選項中與不相等的是不相等的是(A) (B) (C) (D) 其中其中),(00yxfx ),(00yxfx ),(00yxfx xyxxfyxfyxfyxxfx 2),(),(),(),(lim000000000高等數(shù)學( , )1200ydyf y x dx( ,)2100 xdyf x y dx( , )2102ydyf x

14、y dx( , )2102xdxf y x dy (A) (B) (C) (D) B._),(. 31020 xdyyxfdx原積分坐標輪換性原積分坐標輪換性原積分換積分次序原積分換積分次序選項選項(C)坐標輪換性坐標輪換性高等數(shù)學( , ),( , ) P x yQ x yDA()LDPQdxdyQdxPdyxy()LDQPdxdyQdxPdyxy()LDPQdxdyPdxQdyxy()LDPQdxdyPdxQdyyx4.設閉區(qū)域設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成圍成, 函數(shù)函數(shù)在在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則 (A) （B） （C） （D） DyQxP)( DyQxP)( DyPxQ)( DyP