第五章連續(xù)系統(tǒng)的離散化仿真2015

1、第五章 連續(xù)系統(tǒng)的離散化仿真 引言 5.1替換法 5.2根匹配法 5.3離散相似法 5.4狀態(tài)方程的離散化 5.5增廣矩陣法 5.6面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真引言在第2章里介紹了連續(xù)系統(tǒng)數(shù)值積分法仿真的原理和方法，而本章將要從連續(xù)系統(tǒng)離散化的角度來(lái)探討控制系統(tǒng)數(shù)字仿真方法。 離散化仿真的基本思想：用比較簡(jiǎn)單的方法直接從G（s）求出G（z），從而得到用于仿真的差分方程。離散化仿真方法要求有較好的穩(wěn)定性，允許采用較大的計(jì)算步距，滿(mǎn)足實(shí)時(shí)仿真的需要。5.1替換法一、簡(jiǎn)單替換法sTez 已知s域和z域間存在變換關(guān)系： 超越函數(shù)。為簡(jiǎn)化計(jì)算，試圖將指數(shù)函數(shù)形式轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的形式。xTxz11zTxxsxx1T

2、zs1整理可得：即：又因?yàn)椋汗视校海?）關(guān)系式（關(guān)系式（1）即為簡(jiǎn)單替換法的變換公式。）即為簡(jiǎn)單替換法的變換公式。kkkk1kxTxTfxx)(/tfdtdx對(duì)微分方程應(yīng)用Euler法，有：簡(jiǎn)單替換法公式簡(jiǎn)單，但是穩(wěn)定性差穩(wěn)定性差，并不實(shí)用。下面分析其穩(wěn)定性。 js設(shè)根據(jù)式（1）可得： z=Ts+1， 則有下面的關(guān)系成立：22221TTz對(duì)于Z平面上的單位圓，有12z11222TT222)1()1(TT即：（2）故上式變?yōu)椋汉?jiǎn)單替換法S域到Z域的映射關(guān)系一個(gè)原來(lái)穩(wěn)定的系統(tǒng)原來(lái)穩(wěn)定的系統(tǒng)G(s)，通過(guò)簡(jiǎn)單替換得到的仿真模型G(z)卻可能是不穩(wěn)定的可能是不穩(wěn)定的。所以，簡(jiǎn)單替換法很少采用，較常用的

3、是雙線性變換法。表明：Z平面上的單位圓按該替換式映射到S平面上，將是一個(gè)以（1/T，0）為圓心，以1/T為半徑的圓。 二、雙線性變換法112zzTs（3）式（3）即為雙線性變換法雙線性變換法的公式。sTez 由可得zsTln1展成級(jí)數(shù)可得：.)1()1(.)1()1(112112121213331nnnzzzzzzTs取第一項(xiàng)，即：112kkkkxxTxx或通過(guò)梯形積分公式：xzTxz121經(jīng)Z變換可得：也可得到雙線性變換公式。 雙線性變換的映射關(guān)系雙線性變換的映射關(guān)系 三、雙線性變換的特點(diǎn)1、不改變模型的穩(wěn)定性 即：將穩(wěn)定的G（s）變換為穩(wěn)定的G（z）。22222221221TTTTzjs證

4、明：仍設(shè)由112zzTs可得2121TsTsz即：可見(jiàn)：若若 0， 則則 0， 則則 1。zzz計(jì)算的穩(wěn)定性與計(jì)算的穩(wěn)定性與T無(wú)關(guān)，允許采用較大的步距。無(wú)關(guān)，允許采用較大的步距。2、G（z）的分子分母階次相同，其穩(wěn)態(tài)增益與G（s）相同 nnnnmmmmpsssbsbsbsbasasasabasGniimii11101110)()(0011設(shè) nnnnnnmmmmmmbzzTbzzTbzzTbazzTazzTazzTazG1121121121121121121111011110將其分子、分母同乘以將其分子、分母同乘以nz1 niimiiqzTzzTmnzbasG11)1(2)1(200) 1(將

5、雙線性變換公式帶入：并整理可得：可見(jiàn)，G（z）的分子分母階次相同，且穩(wěn)態(tài)增益均為am/bn。3、具有串聯(lián)性 若G（s）=G1（s）G2（S）， 且G1（s）-G1（z）， G1（s）-G1（z）， G（s）-G（z）， 則G（z）=G1（z）G2（z）4、頻率特性接近 G（s）與G（z）的頻率特性接近，特別是在低頻段。 所以雙線性變換能夠滿(mǎn)足一定的精度要求，并常用于有限帶寬的系統(tǒng)。例 已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為12)(2ssssG用雙線性變換求其差分方程。將變換公式代入傳遞函數(shù)，可得脈沖傳遞函數(shù)：11122112112)(2zzTzzTzzTzG22222) 1( ) 1()2(2)2()2()

6、 1)(1(2)(TTzzzTTTzTzzTzG整理得)()2(22222222221kkkkkuuTTyTTyTTy可寫(xiě)出差分方程：式中的uk、uk-2分別為k時(shí)刻和k-2時(shí)刻的輸入值。（4） 由式(4)可知，因?yàn)?22TT，所以G（z）是穩(wěn)定的。 G（s）的分子為1階，分母為2階；而G（z）的分子分母階次相同，均為2階，有一個(gè)z=-1處的零點(diǎn)。G（s）的穩(wěn)態(tài)增益為0，G（z）的穩(wěn)態(tài)增益也為0。 為了進(jìn)一步考查仿真模型的精度，下面來(lái)比較一下G（s）和G（z）的頻率特性。js將Tjez和分別代入G（s）和式(4)，可得22322)1 ()(21)(2)()(jjjjjG（5）2222) 1)(

7、1()2(2)(TTeeeTTeGTjTjTjTj（6）令采樣周期T=1s，將ejwT用coswT+jsinwT代替，分別求出式(5)、(6)的幅頻特性和相頻特性，列于表1。表1 仿真模型與實(shí)際連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性比較1/srad0.10.30.60.81.01.21.5| )(|jG0.099 010.275 20.441 20.487 80.50.491 80.461 5幅頻特性| )(|TjeG0.099 10.2770.4470.4930.4980.4760.417)(jG78.5856.6028.0712.680-10.39-22.62相頻特性)(TjjeG78.5756.3626.5

8、19.57-5.06-17.67-33.56比較表中的數(shù)據(jù)可知，在T=1s的條件下，G（s）和G（z）的頻率特性在低于轉(zhuǎn)折頻率的頻段內(nèi)（1rad/s）是十分接近的，這說(shuō)明，用雙線性變換所得的仿真模型既簡(jiǎn)單，又能滿(mǎn)足一定的精度要求。10-110010100.10.20.30.40.5frequency responsefrequency(rad/s)magG(s)G(z)10-1100101-100-50050100frequency(rad/s)phase(deg.G(s)G(z)從頻率特性曲線可知，在低頻段，二者很接近。5.2根匹配法連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： nmpspsps

9、qsqsqsKsG2121( (nmnm) )在在ZZ平面上一一對(duì)應(yīng)地確定出零、極點(diǎn)的位置，然后根據(jù)其平面上一一對(duì)應(yīng)地確定出零、極點(diǎn)的位置，然后根據(jù)其它特點(diǎn)它特點(diǎn)( (比如，終值點(diǎn)比如，終值點(diǎn)) )來(lái)確定來(lái)確定K Kz zsTez “根匹配法根匹配法”：由由 2121nmzpzpzpzqzqzqzKzGroot_match.m 一、根匹配法的步驟1、由G（s）計(jì)算出K、q1、qm，p1、pn。2、把S 平面上的零極點(diǎn)映射到Z平面上，即：Tpiiep Tqiieq 初步構(gòu)造一個(gè)具有上述零極點(diǎn)的G（z）。 nmpspspsqsqsqsKsG21212121nmzpzpzpzqzqzqzKzGroo

10、t_match.m3、確定Z 平面上的附加零點(diǎn) 因?yàn)閙n，故在S平面上有nm個(gè)零點(diǎn)在負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)處，對(duì)應(yīng)地，在Z平面上有nm個(gè)零點(diǎn)在eT=0處，即Z平面的原點(diǎn)。4、在典型輸入下，根據(jù)終值定理求出連續(xù)系統(tǒng)的終值及離散系統(tǒng)G（z）的終值，根據(jù)終值相等的原則確定 KzKz。2121nmzpzpzpzqzqzqzKzGmnzroot_match.m 例G（s）=1/（T1s+1），用根匹配法確定離散化模型。（1）連續(xù)模型有一個(gè)極點(diǎn)：-1/T1（2）把S 平面上的零極點(diǎn)映射到Z平面上：（3）在z=0處增加一個(gè)附加零點(diǎn)。1/)(TTzezzKzG1/1)(TTzezKzGroot_match.m（4）確定Kz

11、 根據(jù)終值定理，在單位階躍函數(shù)作用下令兩終值相等可得：1/1TTzeK1/1/)1()(TTTTezzezG于是離散化模型：1111lim1)(lim100ssTssssGssG（s）的終值為G（z）的終值為11/11111lim1)(1limTTzTTzzzeKzzezzKzzzzzGzz根據(jù)G（z）可進(jìn)一步求出差分方程用于仿真。kTTkTTkfeyey)1 (11/1/root_match.m 二、根匹配法的精度和穩(wěn)定性1 1、只要原系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則不論、只要原系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則不論T T 取多大，都能保證仿真取多大，都能保證仿真模型也是穩(wěn)定的。模型也是穩(wěn)定的。 Re Re（s s）00時(shí)，

12、時(shí)，|e|esTsT|1|12、除了良好的穩(wěn)定性之外，根匹配法還具有一定的精度。精度由G（s）與G（z）頻率特性的接近程度決定。 122ssssG例 21sssG（1）故，p1=p2=-1，q1=0，n=2，m=1（2） 21TzezzKzGsTez 按映射得：（3）加入z=0處的附加零點(diǎn)：2)() 1()(TzezzzkzG（4）利用終值定理確定Kz： 由于原系統(tǒng)存在一個(gè)原點(diǎn)處的零點(diǎn)，使得加階躍輸入時(shí)，終值為零。為使終值取得非零的有限值非零的有限值，應(yīng)當(dāng)加斜坡輸入斜坡輸入。2/1)(,)(ssUttu11) 1(lim1)(lim22020sssssssGss由終值定理可得：22121) 1

13、()() 1(1lim) 1()(1limzTzezzzKzzzTzzGzzTzzz2)1 (TzeTKTeKTz2)1(于是：離散化模型為：22)() 1()1 ()(TTezzzTezG（7）比較一下G（s）和G（z）的頻率特性。取采樣周期T=1s。將G（s）和的G（z）幅頻特性和相頻特性列于表2。1/srad0.10.30.60.81.01.22.0| )(|jG0.099 010.275 20.441 20.487 80.50.491 80.4| )(|TjeG0.095 370.265 90.430 70.481 230.50.500 10.449| )(|1TjeG0.108 50

14、.299 60.468 80.5050.50.470.276 5幅頻特性| )(|2TjeG0.1070.295 50.4640.5010.50.4740.302 4)(jG78.5856.628.0712.680-10.39-36.87)(TjjeG80.562.3739.627.919.1012.450.35)(1TjjeG77.6453.7822.415.08-6.02-6.55-11.17相頻特性)(2TjjeG78.5356.4527.8812.530.05-9.96-31.20表2 幾種不同根匹配法的比較比較G(s)與G(z)（附加零點(diǎn)在原點(diǎn)）可知，二者的幅頻特性比較接近，而相頻特

15、性，離散化模型有較大的超前。比如在1rad/s時(shí)，G(S)相移為零度，而G(z)相移為19.10。一般地，如果T取得較大，計(jì)算精度還會(huì)降低。為了改善根匹配法的精度，可將n-m個(gè)附加零點(diǎn)配在z=-1處，其根據(jù)是，在雙線性變換法中有1121zzTs該式就是在分子上乘了一項(xiàng)z+1，相當(dāng)于在z=-1處配了一個(gè)附加零點(diǎn)。21)()1)(1()(TzezzzKzG離散化模型為：TeKTz2)1 (2由終值定理確定：將G1（z）的幅頻特性與相頻特性也列于表2中。比較表2中的數(shù)據(jù)可知，附加零點(diǎn)配在-1時(shí)，相位有一些滯后，如1rad/s時(shí)，G(s)的相位為零度，而G1(z)的相位為-6.02。為了使離散化模型的

16、相位既不超前也不滯后，可以將附加零點(diǎn)配在（0，1）之間，即在G(z)的分子上乘以下式：mnz)(10其中22)()(1()(TzezzzKzG于是有：式中包含兩個(gè)待定參數(shù)Kz和 ，它們可以通過(guò)頻率特性來(lái)確定。22)9367. 0()2527. 0)(1(8282. 0)(zzzzG由（8）、（9）兩式即可求出：8282. 0zK2527. 0將其頻率特性也列在表2中。從表中數(shù)據(jù)可知，附加零點(diǎn)配在z=-0.5272處，幅值誤差和相位誤差都很小。具體方法是：首先求出頻率為1rad/s時(shí)，G(s)的幅值和相位，其次求出頻率為1rad/s時(shí)G2(z)的幅值和相位，令| )(| )(|2TjeGjG（8

17、） )(jG=)(2TjeG（9）離散化模型為：root_match.m10-110000.20.40.6freq(rad/s)magG(s)G(z)10-1100050100freq(rad/s)phase(deg)G(s)G(z)10-110000.20.4freq(rad/s)magG(s) G1(z)10-1100-50050100freq(rad/s)phase(deg)G(s) G1(z)10-110000.20.40.6freq(rad/s)magG(s) G2(z)10-1100050100freq(rad/s)phase(deg)G(s) G2(z) 附加零點(diǎn)位于原點(diǎn) 附加零

18、點(diǎn)位于-1點(diǎn) 附加零點(diǎn)位于(0,-1) root_match.m5.3離散相似法 從連續(xù)系統(tǒng)離散化的角度出發(fā)，用采樣系統(tǒng)的理論和方法介紹另一種常用的離散化仿真方法，這就是離散相似法。 離散相似法的基本思想 在下圖所示的連續(xù)系統(tǒng)中，輸入為u(t)、輸出為y(t)，用一采樣周期為T(mén)的采樣開(kāi)關(guān)將輸入、輸出分別離散化，成為下圖所示的形式。u(t)y(t) ( a)u(t)TT(b)Gh(s)G(s)G(s)G(z)uu(t)y(t)y*(t)離散相似法原理 連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)離散相似法得到的仿真模型必然具有一定連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)離散相似法得到的仿真模型必然具有一定的的近似性近似性，其近似程度取決于，其近似程度取決

19、于采樣周期采樣周期和和保持器的特性保持器的特性。 必須明確的是，用離散相似法對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字仿真必須明確的是，用離散相似法對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字仿真時(shí)，所加的采樣開(kāi)關(guān)和保持器都是時(shí)，所加的采樣開(kāi)關(guān)和保持器都是虛擬虛擬的，是為了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)的，是為了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理而采取的手段，在行離散化處理而采取的手段，在實(shí)際系統(tǒng)中并沒(méi)有相應(yīng)的物實(shí)際系統(tǒng)中并沒(méi)有相應(yīng)的物理裝置理裝置。要求y*(t)在采樣時(shí)刻的值等于原輸出y(t)在同一時(shí)刻的值，即有kTtkTyty),()(（10）由以上分析可知：由以上分析可知： 連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)離散相似法得到的仿真模型必然具有一定的近似性，其近似程度取決于采樣周期和保持器的特性。

20、 必須明確的是，用離散相似法對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字仿真時(shí)，所加的采樣開(kāi)關(guān)和保持器都是虛擬虛擬的，是為了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理而采取的手段，在實(shí)際系實(shí)際系統(tǒng)中并統(tǒng)中并沒(méi)有相應(yīng)的物理裝置沒(méi)有相應(yīng)的物理裝置。 一、離散相似法的步驟一、離散相似法的步驟1、加入虛擬開(kāi)關(guān)、保持器、加入虛擬開(kāi)關(guān)、保持器seHTs10零階保持器（零階保持器（ZOH）211)1 ()(sTeTsTsHsT一階保持器（一階保持器（FOH）2、進(jìn)行、進(jìn)行Z變換變換 G(z)= ZH0G(s)3、寫(xiě)出遞推公式、寫(xiě)出遞推公式例例1、G(s) = 1/s，采用，采用ZOH、FOH求其仿真的遞推公式。求其仿真的遞推公式。（1）采用）采用ZOHs

21、seZzGTs11)()()(11)1 (21zUzYzTsZz用于仿真的遞推公式為：用于仿真的遞推公式為：y(k) = y(k-1) + Tu(k-1)（2）采用）采用FOH11)1()(2ssTeTsTZzGsT)()() 1(2) 13(zUzYzzzT用于仿真的遞推公式為：用于仿真的遞推公式為：y(k) = y(k-1) + T/23u(k-1)-u(k-2)相當(dāng)于相當(dāng)于Euler法法多步法多步法例2、G(s) = K/(s+a)，采用ZOH，求仿真的遞推公式。 首先用一采樣周期為T(mén)的開(kāi)關(guān)和零階保持器將其離散化，如圖所示。u(t)TTG(s)G(z)u(t)y(t)y*(t)ZOH然后

22、用Z變換求其脈沖傳遞函數(shù)：askseZzUzYzGTs1)()()(aTaTezeakasskZz1)()1 (1則仿真所用的差分方程為：)()1 ()() 1(kueakkyekyaTaT 二、精度和穩(wěn)定性二、精度和穩(wěn)定性 通過(guò)離散相似法所得到的仿真模型只是近似等效于原通過(guò)離散相似法所得到的仿真模型只是近似等效于原來(lái)的連續(xù)系統(tǒng)，影響仿真模型來(lái)的連續(xù)系統(tǒng)，影響仿真模型精度精度和和穩(wěn)定性穩(wěn)定性的因素主要是的因素主要是采樣周期采樣周期T 和和保持器保持器的特性。的特性。 為了保證仿真精度和仿真模型的穩(wěn)定，需要研究離散為了保證仿真精度和仿真模型的穩(wěn)定，需要研究離散相似法的精度和穩(wěn)定性。相似法的精度和

23、穩(wěn)定性。1、采樣周期的影響、采樣周期的影響根據(jù)采樣定理（根據(jù)采樣定理（shannon定理），若定理），若max2s則經(jīng)過(guò)采樣后離散頻譜互相不混疊，才有可能則經(jīng)過(guò)采樣后離散頻譜互相不混疊，才有可能無(wú)失真無(wú)失真地將地將離散信號(hào)恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)。離散信號(hào)恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)。 為了保證仿真精度，采樣周期必須滿(mǎn)足采樣定理的要為了保證仿真精度，采樣周期必須滿(mǎn)足采樣定理的要求。求。 在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一般按在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一般按系統(tǒng)最小時(shí)間常數(shù)系統(tǒng)最小時(shí)間常數(shù)或者按照或者按照系系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的剪切頻率統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的剪切頻率來(lái)確定采樣周期。來(lái)確定采樣周期。10minTT cT)5030(1經(jīng)驗(yàn)公式：經(jīng)驗(yàn)公式：-505

24、00.20.40.60.81tu(t)連續(xù)信號(hào)-1.5-1-0.500.511.500.511.5連續(xù)信號(hào)的頻譜-5-4-3-2-101234500.10.20.30.40.50.60.70.80.91離散信號(hào)（經(jīng)過(guò)保持器）-4-3-2-10123400.20.40.60.811.2離散信號(hào)的頻譜-6-4-2024600.511.522.533.544.5max2smax2s無(wú)混疊有混疊00.20.40.60.811.200.20.40.60.811.2理想濾波器2、保持器的影響、保持器的影響在實(shí)際中廣泛應(yīng)用的保持器起到濾波器的作用。在實(shí)際中廣泛應(yīng)用的保持器起到濾波器的作用。保持器是一種在時(shí)域

25、內(nèi)的外推裝置，它使采樣信號(hào)在采保持器是一種在時(shí)域內(nèi)的外推裝置，它使采樣信號(hào)在采樣間隔仍保持連續(xù)性。樣間隔仍保持連續(xù)性。從頻域來(lái)看，它則是把離散化產(chǎn)生的高頻分量濾掉，只從頻域來(lái)看，它則是把離散化產(chǎn)生的高頻分量濾掉，只保留主頻部分。保留主頻部分。由于保持器不是理想的濾波器，有一定的幅值衰減和相由于保持器不是理想的濾波器，有一定的幅值衰減和相位滯后，因而會(huì)對(duì)仿真模型的精度和穩(wěn)定性產(chǎn)生一定的影響。位滯后，因而會(huì)對(duì)仿真模型的精度和穩(wěn)定性產(chǎn)生一定的影響。holder.mTktkTkTutu) 1(, )()(sesHsT1)(02sin2| )(|0TjH2)(0TjHTTkukTukTutu) 1()(

26、)()()()(kTukTu211)1 ()(sTeTsTsHsT22122sin)(1| )(|TTTTjHTTtgjH11)(零階保持器一階保持器三角形保持器外推公式：TkTuTkukTukTutu)() 1()()()(T022)1 ()(sTeesHsTsT傳遞函數(shù)：高頻部分失真高頻部分失真很小，且無(wú)相很小，且無(wú)相位滯后。位滯后。遲后一拍的三角形保持器三角形保持器在計(jì)算KT到(K+1)T之間的信號(hào)值時(shí)，要用到u(K+1)T ，有時(shí)該值不能獲得，所以實(shí)際上能夠采用的是遲后一拍的三角形保持器。)() 1()() 1()(TktTTkuTkuTkutuTktTk) 1( 外推公式：22)1

27、()( sTesHsT傳遞函數(shù)：頻率特性：5.4 狀態(tài)方程離散化狀態(tài)方程離散化狀態(tài)方程的離散化屬于離散相似法，也需要在連續(xù)系統(tǒng)中狀態(tài)方程的離散化屬于離散相似法，也需要在連續(xù)系統(tǒng)中加入虛擬的采樣開(kāi)關(guān)和保持器，只是在這里，連續(xù)系統(tǒng)的模型加入虛擬的采樣開(kāi)關(guān)和保持器，只是在這里，連續(xù)系統(tǒng)的模型是用狀態(tài)方程表示的。是用狀態(tài)方程表示的。u(t)TTGh(s)uu(t)y(t)y*(t)x(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t).離散化模型推導(dǎo)離散化模型推導(dǎo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 一、離散化模型的推導(dǎo)一、離散化模型的推導(dǎo)對(duì)上述狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行拉氏變換得：對(duì)上述狀態(tài)空間表

28、達(dá)式進(jìn)行拉氏變換得：x(0)為狀態(tài)變量初值為狀態(tài)變量初值)()()(tuBtAxtx)()()(tuDtCxty(1)()()0()(sBUsAXxssX)()()(sDUsCXsY(2)由由(2)可得：可得：)()()0()()(11sBUAsIxAsIsX(3)進(jìn)行拉氏反變換，并利用卷積積分得：進(jìn)行拉氏反變換，并利用卷積積分得：ttAAtduBexetx0)()()0()(tduBtFxtF0)()()0()(4)AtetF)(式中：式中：，稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣式式(4)是連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，下面對(duì)這個(gè)解進(jìn)行離散化，是連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，下面對(duì)這個(gè)解進(jìn)行離散化，以期得到狀

29、態(tài)方程的離散化模型。以期得到狀態(tài)方程的離散化模型。設(shè)采樣周期為設(shè)采樣周期為T(mén)，考察，考察(K+1)T時(shí)刻的時(shí)刻的x(t)的值。的值。將將t=(k+1)T帶入（帶入（4）式，）式，TkTTkATkAduBexeTkx) 1(0)() 1()()0() 1()()() 0(0) 1()()(TkTkTkTkATkATAkTAduBeuBexeex(KT)TkTkTkATATAduBeeTkxeTkx) 1()()()() 1(5)可得：可得：TAeTF)(TTTAdBTFdBeTG00)()()(令：令：就得到了采用零階保持器的離散化模型就得到了采用零階保持器的離散化模型)()()()() 1(k

30、uTGkxTFkx)()()(kuDkxCky（7）對(duì)輸入對(duì)輸入u采用零階保持器，即采用零階保持器，即u(t)=u(KT)，KT=t-消除信號(hào)失真產(chǎn)生的誤消除信號(hào)失真產(chǎn)生的誤差差沒(méi)有沒(méi)有G(T)u(K)G(T)u(K)項(xiàng)項(xiàng)-消除用數(shù)值方法計(jì)算消除用數(shù)值方法計(jì)算G(T)G(T)產(chǎn)生的截?cái)嗾`產(chǎn)生的截?cái)嗾`差差 若能將非齊次狀態(tài)方程的輸入變量若能將非齊次狀態(tài)方程的輸入變量“增廣增廣”為新的狀態(tài)為新的狀態(tài)變量，將原來(lái)的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)變?yōu)樵鰪V形式的齊次狀態(tài)方程變量，將原來(lái)的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)變?yōu)樵鰪V形式的齊次狀態(tài)方程, ,將將使仿真精度有較大提高。使仿真精度有較大提高。 二、不同輸入信號(hào)下的增廣狀態(tài)方程二、不同輸入信

31、號(hào)下的增廣狀態(tài)方程 設(shè)原系統(tǒng)中，設(shè)原系統(tǒng)中，A A為為nxnnxn階矩陣，階矩陣，B B為為nx1nx1階矩陣，階矩陣，C C為為1xn1xn階矩陣，階矩陣，D D為為1x11x1階矩陣，階矩陣，x x為為n n維列向量：維列向量：uBxAxuDxCy 階躍輸入階躍輸入 斜坡輸入斜坡輸入 加速度輸入加速度輸入 指數(shù)輸入指數(shù)輸入 正弦輸入正弦輸入)(10tUu系統(tǒng)原有系統(tǒng)原有n n個(gè)狀態(tài)變量，定義第個(gè)狀態(tài)變量，定義第n+1n+1個(gè)狀態(tài)變量為系統(tǒng)輸入個(gè)狀態(tài)變量為系統(tǒng)輸入 )( 1)(01tUtuxn01nx 即：即：于是增廣狀態(tài)方程、增廣輸出方程及初始條件分別為于是增廣狀態(tài)方程、增廣輸出方程及初始

32、條件分別為 ：1100nnxxBAxx1)(nxxDCy001) 0() 0(Uxxxn線性獨(dú)立線性獨(dú)立1、階躍輸入、階躍輸入 1nxxx令令)(,00DCCBAAxAxxCy即可寫(xiě)成：即可寫(xiě)成：稱(chēng)為增廣狀態(tài)變量，它包括原有的狀態(tài)變量稱(chēng)為增廣狀態(tài)變量，它包括原有的狀態(tài)變量和新增的狀態(tài)變量。和新增的狀態(tài)變量。x稱(chēng)為增廣狀態(tài)矩陣稱(chēng)為增廣狀態(tài)矩陣A稱(chēng)為增廣輸出矩陣稱(chēng)為增廣輸出矩陣C其中：其中：2斜坡輸入斜坡輸入 tUu0定義新增的狀態(tài)變量定義新增的狀態(tài)變量 tUtuxn01)(012)(Utuxxnn新增狀態(tài)變量的初值：新增狀態(tài)變量的初值：0)0(1nx02)0(Uxn得到增廣后的狀態(tài)方程、輸出方程

33、和初始條件為：得到增廣后的狀態(tài)方程、輸出方程和初始條件為： 21210001000nnnnxxxBAxxx21) 0(nnxxxDCy00210)0()0()0(Uxxxxnn3加速度輸入加速度輸入 2021tUu輸入為加速度信號(hào)時(shí)，需要新增輸入為加速度信號(hào)時(shí)，需要新增3個(gè)狀態(tài)變量個(gè)狀態(tài)變量20121)(tUtuxntUxxnn012023Uxxnn新增狀態(tài)變量的初值：新增狀態(tài)變量的初值：0)0(1nx0)0(2nx03) 0(Uxn增廣狀態(tài)方程、增廣輸出方程增廣狀態(tài)方程、增廣輸出方程及初值分別為：及初值分別為：32132100001000010000nnnnnnxxxxBAxxxx321)

34、00(nnnxxxxDCy0032100)0()0()0()0(Uxxxxxnnn4指數(shù)輸入指數(shù)輸入 TaeUu0令第令第n+1個(gè)狀態(tài)變量個(gè)狀態(tài)變量TaneUtux01)(101nTanxaeaUx 01)0(Uxn則則新增狀態(tài)變量的初值：新增狀態(tài)變量的初值：增廣狀態(tài)方程、增廣輸出方程增廣狀態(tài)方程、增廣輸出方程及初值分別為：及初值分別為：110nnxxaBAxx1)(nxxDCy001) 0 () 0 (Uxxxn5正弦輸入正弦輸入 )(sintAu此時(shí)需要新增兩個(gè)狀態(tài)變量此時(shí)需要新增兩個(gè)狀態(tài)變量 )(sin)(1tAtuxn)(cos12tAxxnn1222)(sinnnxtAx并可知有：并

35、可知有：21221001000nnnnxxxBAxxx增廣狀態(tài)方程、增廣輸出方程增廣狀態(tài)方程、增廣輸出方程及初值分別為：及初值分別為：21)0(nnxxxDCycossin)0()0()0(021AAxxxxnn 增廣矩陣法的特點(diǎn)增廣矩陣法的特點(diǎn)1、增廣矩陣法是一種精度較高的方法，允許采用較大的步增廣矩陣法是一種精度較高的方法，允許采用較大的步長(zhǎng)進(jìn)行仿真長(zhǎng)進(jìn)行仿真。2、可用于剛性系統(tǒng)（可用于剛性系統(tǒng)（stiff系統(tǒng)）和多輸入多輸出（系統(tǒng)）和多輸入多輸出（MIMO）系統(tǒng)的仿真。系統(tǒng)的仿真。3 3、增廣矩陣法的局限性增廣矩陣法的局限性 只適用于一些輸入為只適用于一些輸入為典型函數(shù)典型函數(shù)的系統(tǒng)；的

36、系統(tǒng)； 對(duì)于一般的非典型輸入函數(shù)的系統(tǒng)或輸入為表格函數(shù)的對(duì)于一般的非典型輸入函數(shù)的系統(tǒng)或輸入為表格函數(shù)的系統(tǒng)，因?yàn)椴蝗菀谆蛘卟荒苓x取到合適的增廣狀態(tài)變量，系統(tǒng)，因?yàn)椴蝗菀谆蛘卟荒苓x取到合適的增廣狀態(tài)變量，得不到增廣狀態(tài)方程，因而也就不能用增廣矩陣法進(jìn)行得不到增廣狀態(tài)方程，因而也就不能用增廣矩陣法進(jìn)行仿真。仿真。 作業(yè)：作業(yè)：輸入為典型函數(shù)的線性組合時(shí)，如何應(yīng)用增廣矩陣法？輸入為典型函數(shù)的線性組合時(shí)，如何應(yīng)用增廣矩陣法？自選兩種典型函數(shù)進(jìn)行線性組合，自選兩種典型函數(shù)進(jìn)行線性組合，舉例說(shuō)明。舉例說(shuō)明。5.6面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真面向結(jié)構(gòu)圖的數(shù)字仿真結(jié)構(gòu)圖模型結(jié)構(gòu)圖模型=狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式從

37、結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達(dá)式的方法較常用的有從結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達(dá)式的方法較常用的有連接連接矩陣法矩陣法和和仿真矩陣法仿真矩陣法兩種。這里只介紹兩種。這里只介紹連接矩陣法連接矩陣法。運(yùn)用連接矩陣法可運(yùn)用連接矩陣法可直接直接從系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖得出其狀態(tài)空間從系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖得出其狀態(tài)空間表達(dá)式，而表達(dá)式，而不必計(jì)算不必計(jì)算出整個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。出整個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。如果系統(tǒng)中存在如果系統(tǒng)中存在非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)，用連接矩陣法也比較容易，用連接矩陣法也比較容易處理。處理。適用于：適用于：?jiǎn)屋斎雴屋敵鰡屋斎雴屋敵鱿到y(tǒng)，系統(tǒng)，多輸入多輸出多輸入多輸出系統(tǒng)。系統(tǒng)。連接矩陣法連接矩陣法 本節(jié)通過(guò)例子說(shuō)

38、明連接矩陣法的具體步驟。本節(jié)通過(guò)例子說(shuō)明連接矩陣法的具體步驟。狀態(tài)方程：狀態(tài)方程： 狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)、狀態(tài)變量、系統(tǒng)輸入狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)、狀態(tài)變量、系統(tǒng)輸入輸出方程：輸出方程： 系統(tǒng)輸出、狀態(tài)變量、系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸出、狀態(tài)變量、系統(tǒng)輸入狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式TxxxxX)(4321b1sx1yu0b1a11sa3sa4su2u1u3u4x2x3x4若要求狀態(tài)空間表達(dá)式，若要求狀態(tài)空間表達(dá)式，首先要選出狀態(tài)變量首先要選出狀態(tài)變量，對(duì)于這個(gè)，對(duì)于這個(gè)4階系統(tǒng)，可令各環(huán)節(jié)的輸出為狀態(tài)變量，即階系統(tǒng)，可令各環(huán)節(jié)的輸出為狀態(tài)變量，即例：對(duì)如圖所示的例：對(duì)如圖所示的4階系統(tǒng)，求狀態(tài)空間表達(dá)式。階系統(tǒng)，求狀態(tài)空間表達(dá)