圓錐曲線解題方法技巧歸納

1、 圓錐曲線解題方法技巧歸納 第一、知識(shí)儲(chǔ)備: 1.1. 直線方程的形式 (1) 直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、 一般式。 (2) 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容 傾斜角與斜率k tan , 0,) 點(diǎn)到直線的距離d A/ By0_C tan (3) 弦長(zhǎng)公式 直線 y kx b上兩點(diǎn) A(xi, yj, B(X2, y2)間的距離：AB| Ji k2|x X2 J(1 k2)(Xi X2)2 4沁或 AB Ji *|yi y2 (4) 兩條直線的位置關(guān)系 l1 l2 k1k2= =- -1 1 l1 /12 k1 k2且 b1 b2 2 2、圓錐曲線方程及性質(zhì) (1)(1)、橢圓

2、的方程的形式有幾種？(三種形式) 標(biāo)準(zhǔn)方程： 2 2 匚 1(m 0, n 0 且 m n) m n 夾角公式： k2 1 1， 距離式方程: .(x c)2 y2 . (x c)2 y2 2a 參數(shù)方程： x a cos , y bsin (2)(2)、雙曲線的方程的形式有兩種 2 2 爭(zhēng)亍1 ；兩式相減得 2 Xi 2 X2 4 2 2 y1 y2 0 3 2 2 標(biāo)準(zhǔn)方程：-1(m n 0) m n 距離式方程：|；(x c)2 y2 (x c)2 y2 | (5)(5)、焦點(diǎn)三角形面積公式：P 在橢圓上時(shí)，SFPF. uuu UULT UUJir |PFj|PF2| ,PF1?PF2|

3、PF1|PF2品 橢圓焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)為 a exo；焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)為 a ey ，可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減”。 雙曲線焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)為 e|x01 a 拋物線焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)為| x, | -|,焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)為| y1 | * (6)(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？ _ 第二、方法儲(chǔ)備 1 1、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問(wèn)題) 2 設(shè) Axy1 1、Bx2,y2，M a,b 為橢圓 4 2a 、 三種圓錐曲線的通徑你記得嗎? 、 圓錐曲線的定義你記清楚了嗎? 如: 已知Fi、 2 2 F2是橢圓L 1的兩個(gè)焦點(diǎn), 4 3 平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn) M M 足MFi MF2 2則動(dòng)點(diǎn)

4、 M M 的軌跡是( A A、雙曲線; B B、雙曲線的一支；C C、兩條射線; D D、一條射線 b2% (其中 F1PF2 ,cos 円|2 |PF2|2 4c2 咲 (6)(6)、 記住焦 半 徑公式 1的弦AB中點(diǎn)則有 1， xi X2 xi X2 yi y2 yi y? 3a kAB = = 4 3 4b 2 2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問(wèn)題嗎？ 經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？ 設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到 一個(gè)二次方程，使用判別式 0,以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦 長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)A(N, yj, B(X2, y2)，

5、將這兩點(diǎn)代入曲線方 程得到兩個(gè)式子，然后 - -，整體消元 . ,若有兩個(gè) 字母未知數(shù)，貝 S 要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過(guò)焦點(diǎn)， 則可以利用三點(diǎn) A A、B B、F F 共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋 找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。 一旦設(shè)直線 為y kx b，就意味著 k k 存在。 例 1 1、已知三角形 ABCABC 的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓4x2 5y2 80上，且點(diǎn) A A 是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)(點(diǎn) A A 在 y y 軸正半軸上). . (1) 若三角形 ABCABC 的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線 BCBC 的方程； (2) 若角 A A 為900 , A

6、DAD 垂直 BCBC 于 D D，試求點(diǎn) D D 的軌跡方程. . 分析：第一問(wèn)抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn) 弦BCBC 的斜率，從而寫(xiě)出直線 BCBC 的方程。第二問(wèn)抓住角 A A 為900可得 出 ABAB 丄ACAC,從而得xg 河2 14(yi y2)16 0，然后利用聯(lián)立消元 法及交軌法求出點(diǎn) D D 的軌跡方程； 解：(1 1)設(shè) B B ( xi, ,yj ,C(,C(X2, ,y2 ),BC ),BC 中點(diǎn)為( (x。, y。),F(2,0),F(2,0)則有 2 2 2 2 XL 1 1 20 16 ，20 160 0 0 (1)0 (1) 5 4 2，

7、代入(1 1)得 k k - - 5 直線 BCBC 的方程為6x 5y 28 成的比為，雙曲線過(guò) C C、D D、E E 三點(diǎn)，且以 A A、B B 為焦點(diǎn)當(dāng)2 3時(shí), 3 4 兩式作差有 (Xi X2)(Xi X2) (y1 y2)( y1 y) X0 yk 20 16 F(2,0)F(2,0)為三角形重心，所以由 X1 X2 3 得X0 yo 2)2)由 AB AB 丄 AC AC 得 x1x2 y1 y2 14(y1 y2) 16 (2) 直 線 BCBC 方 5k2 2 2 )x 10bkx 5b 80 X2 10kb ,X1X2 5b 4 5k2 4 y2 8k 2 ,y1 y2

8、4b2 kx b,代入 4x2 80 直線過(guò)定點(diǎn) 2 2 9y 9X 32 y 所以所求點(diǎn) D D 筍代入 (2) 式得 0 ,解得b 4(舍)或b (0(0，自，設(shè) D D y (x,y(x,y)，則- 16 0 3 3、設(shè)而不求法 例 2 2、如圖，已知梯形 ABCDABCD 中AB 設(shè) (4 0 程為 y 2 80 0 0 0 (1)0 (1) 5 4 求雙曲線離心率e的取值范圍。 分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念 和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。建2 2 1 1 , 立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，若設(shè) C C C ,h ,代入冷爲(wèi)1，求得h

9、 L , 2 a b 2 2 進(jìn)而求得XE L ,yE L ,再代入篤爲(wèi)1 ,建立目標(biāo)函數(shù) a b f(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0 ,此運(yùn)算量可見(jiàn)是難上加難我們對(duì)h可 米取設(shè)而不求的解題策略， 建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c, ) 0 ,整理f(e, ) 0, ,化繁為簡(jiǎn). . 解法一：如圖，以 ABAB 為垂直平分線為y軸，直線 ABAB 為x軸， 建立直角坐標(biāo)系xOy ,則 CDCD 丄y軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) C C、D D，且以 A A、 程得 b2 由式得 B B 為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知 C C、D D 關(guān)于y軸對(duì)稱 依題意，記 A A c, 0 , C C C, h ,

10、E Ex。，其中c | AB |為雙 曲線的半焦距, h是梯形的咼, 由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 x0 c c 2 _2c 1 2 1 h y0廠 2 2 設(shè)雙曲線的方程為當(dāng) 1, 則離心率e - a 由點(diǎn) C C、E E 在雙曲線上，將點(diǎn) C C、 E E 的坐標(biāo)和 e -代入雙曲線方 a e2 h2 e2 b2 4 X 2 2 1 1 , 將式代入式，整理得 2 e 4 4 1 2 , 4 3 e2 1 . 7 e ,10 所以雙曲線的離心率的取值范圍為,7,.J0 分析：考慮|AE,AC為焦半徑，可用焦半徑公式，|AE,|AC用E,C的橫坐 標(biāo)表示，回避h的計(jì)算，達(dá)到設(shè)而不求的解題策略. 所以

11、雙曲線的離心率的取值范圍為 .7, J0 4 4、判別式法 例 3 3 已知雙曲線c工 藝1，直線|過(guò)點(diǎn)A、2,0，斜率為k，當(dāng)0 k 1 2 2 時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn) B B 到直線l的距離為 2，試求k的 值及此時(shí)點(diǎn) B B 的坐標(biāo)。 分析 1 1:解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門(mén)學(xué)科，因 此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段. .從“有且僅有” 這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn) B B 作與l平行的直線，必 與雙曲線C C 相切. .而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式 0. .由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路:解得 解法二：建系同解法一, XE c c

12、2 2 c 1 2 1 設(shè)I 3得，I 1 解得 AE 3 3 e2 2 4 .7 e .10 a exE , AC 廠代入整理 exC , 亠，由題 e 1 I: y k(x .2) 0 k 1 分析 2 2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，的距應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式 于是關(guān)于x的方程 由0 k 1可知: _ _ _ _ 2 方程 k2 1x2 2k . 2(k2 1) .2kx 2(k2 1) 2k 2 0 的二根同 正，故,2(k2 1) 2k kx 0恒成立，于是 等價(jià)于 由如上關(guān)于x的方程有唯一解，判別式 0,就可解得 點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了 全局觀念與整體

13、思維的優(yōu)越性. . 例 4 4 已知橢圓 C C：x2 2y2 8和點(diǎn) P P( 4 4，1 1)，過(guò) P P 作直線交橢圓于 AP AQ A A、B B 兩點(diǎn)，在線段 ABAB 上取點(diǎn) Q Q，使- - -Q Q，求動(dòng)點(diǎn) Q Q 的軌跡所 PB QB 在曲線的方程. . M M 到直 k2 1 x2 2k ,2(k2 1) . 2k x , 2(k2 1) -2 .2k 2 0. . 表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn) B B 到直線I的距離為V2 ”，相當(dāng)于化歸 由于0 k 1，所以2 x2 x kx，從而有 I: y k(x .2) 0 k 1 分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，

14、學(xué)生往 往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解 . .因 此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn) Q Q 的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表 達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的. . 由于點(diǎn)Q(x,y)的變化是由直線 ABAB 的變化引起的，自然可選擇直線 ABAB的斜率k作為參數(shù)，如何將x,y與k聯(lián)系起來(lái)？ 一方面利用點(diǎn) Q Q 在 直線 ABAB 上；另一方面就是運(yùn)用題目條件： 竺 絕來(lái)轉(zhuǎn)化由 A A、B B、 PB QB P P、Q Q 四點(diǎn)共線，不難得到x 4(XA XB) 2XAXB，要建立x與k的關(guān)系，只需 8 (XA XB) 將直線 ABAB 的方程代入橢圓 C C 的方程，利用

15、韋達(dá)定理即可. . 通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于 如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù). . 在得到x f k之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參, 目的不過(guò)是得到關(guān)于x,y的方程(不含k)，則可由 將直線方程代入橢圓方程，消去 : f k即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò) 利用點(diǎn) Q Q 滿足直線 ABAB 的方程：y y = = k (xk (x 4)+14)+1，消去參數(shù) k k y k(x 4) 1 解得 將直線方程代入橢圓方程，消去 y y，利用韋達(dá)定理 k k H H，直接代入X 程。 簡(jiǎn)解：設(shè)A xi, yi , B(點(diǎn)2Q 的軌跡方程y)，則由

16、AP PB AQ可得：4 QB Xi X2 x x1 x2 x 解之得：x (1(1) 設(shè)直線 ABAB 的方程為： y k(x 4) 1，代入橢圓 C C 的方程，消去y 4(X! x2) 2XM2 8 (Xi X2) 得出關(guān)于 X X 的一元二次方程: 2k2 1 x2 4k(1 4k)x 2(1 4k)2 8 0 (2) 4 0 （ 16 2聞 X 16 2/10） 9 9 點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元 二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. .這當(dāng)中，難點(diǎn)在 引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參，而“引參、用參、消參” 三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解

17、的一條有效通道 5 5、求根公式法 2 例 5 5 設(shè)直線I過(guò)點(diǎn) P P （0,30,3）,和橢圓亠 9 試求塑的取值范圍. . PB 分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到: 籌莫展， 問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠事實(shí)上，所謂求取 值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)） 參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則 是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系 分析 1 1：從第一條想法入手， 塑二 仏已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于 PB XB 有兩個(gè)變量XA,XB ,同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利 用第 3 3 個(gè)變量 - 直線AB的斜率k. .問(wèn)題就轉(zhuǎn)化

18、為如何將XA,XB轉(zhuǎn)化4k(4k 1) - X1 X2 2 - , 2k 1 2(1 4k)2 8 X1X2 2 - 2k2 1 代入(1 1),化簡(jiǎn)得X I k 2 聯(lián)立，消去得: 與 y k(x 4) 2x y 4 (x 4) 0. 在（2 2）中，由 64k2 64k 24 2 .10，結(jié)合（3 3） 4 可求得16 2 10 X 9 16 2.10 9 . 故知點(diǎn) Q Q 的軌跡方程為：2x y 2 冷1順次交于 A A、B B 兩點(diǎn), PB= z，但從此后卻一 為關(guān)于k的表達(dá)式，至吐匕為止，將直線方程代入橢圓方程，消去 y y 得 出關(guān)于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. . 把

19、直線 I I 的方程 y y = = kx+3kx+3 代入橢圓方程，消去 y y 得 到關(guān)于 x x 的一元二次方程 八D 彳 I簡(jiǎn)解 1 當(dāng)直線|垂直于 X 軸時(shí)，可求得空 1 ; 求根公式 PB 5 當(dāng)I與 Ax!,y! , B（X2，y2），直線I的方程為: X XA= f= f（ k k），X XB = g= g（ k k） y kx 3，代入橢圓:方程PB消去y得9k2 4 X2 54kx 45 0 因?yàn)闄E圓關(guān)于求量嘲值對(duì)稱，點(diǎn) P P 在 y y 軸上，所以只需考慮k 0的情 往往是產(chǎn)生不等的根源. .由判別式值的非負(fù)性可以很快確定 k的取值 范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與

20、k聯(lián)系起來(lái). .一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá) 定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因 在于AB X不是關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式. .原因找到后，解決問(wèn)題的 方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于 X1,X2的對(duì)稱關(guān)系式. . 把直線 I I 的方程 y y = = kx+3kx+3 代入橢圓方程，消去 y y 得到關(guān)于 x x 的一元二次方程 所以 所以 0時(shí), AP PB 27k 6l9k 5 X1 2 ， X2 9k 4 % = _9k_2_9k2_5 - - 1 x2 9k 2.9k2 5 - 2 27k 6 9k 5 2 9 k2 4 18k 9k 21 9k2 54k）2 180 9k

21、2 4 0, ,解得 k2 18 1 1 - 9 2 9 5k2 1，綜上 1 5 5 9， AP PB 分析 2:2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式, 18 9 5k2 則應(yīng)該考慮到：判別式 韋達(dá)定理 X XA+ X+ XB = = f f（ k k），X XA X XB = g= g（ k k） 簡(jiǎn)解 2 2:設(shè)直線I的方程為：y kx 3，代入橢圓方程，消去y得 54k Xl X2 9k2 4 點(diǎn)評(píng)：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值 不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等 本題 也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法. . 解題猶如打仗，不能只是忙于沖

22、鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能 說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，只有 見(jiàn)微知著，樹(shù)立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里 第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基 本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、 公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)， 得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注意所使用的命題 之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推 理嚴(yán)密。通過(guò)編寫(xiě)思維流程圖來(lái)錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。2 2 9k 4 x 54kx 45 0 (*) X1X2 45 9k2 4

23、 令竺，則, X2 在（* * ）中，由判別式 0,可得k2 5， 從而, 324 k 2 36，所以 4 45k 20 5 -5. . 結(jié)合0 1得 -1. . 5 5 綜上， AP 1 1 . . PB 5 丄2 36,解得 5 1 -2 324 k2 45k2 20 例 6 6 橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A,B , O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn), 且AF FB 1 , |OF | 1.( I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (H)記橢圓的上頂點(diǎn)為M ,直線I交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否 存在直線I，使點(diǎn)F恰為PQM的垂心？若存在，求出直線I的方程； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 思維流程: X2 故橢圓方程為3 y2

24、 1 (H)假設(shè)存在直線I交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為PQM的垂心，則 設(shè) P(x1,y1),Q(X2,y2)，丁 M(0,1),F(1,0)，故 ky。1 , 于是設(shè)直線I為 yxm ,由 2yX2m 得， x2 2y2 2 3x2 4mx 2m2 2 0 uur uuu T MP FQ 0 X1(X2 1) y2(y1 1)又 y Xi m(i 1,2) 得 x(x2 1) (X2 m)(x m 1) 0 即 umr uuu LULT 由 AF?FB 1 , OF (a c)(a (a c)(a c) c) 1 1，c 1c 1 解題過(guò)程:和, 兩根之積 (I)如圖建系，設(shè)橢圓方程為 x2

25、 a2 b2 又T AF FB 1 即(a c) (a c) 得出關(guān)于 m 的方程 解出 m 1(a b 0)則 c 1 c2 二 a2 2 由 F 為PQM的重心寫(xiě)出橢圓方呈 F 元 2X-IX2 (X-I x2)(m 1) m2 m 0 由韋達(dá)定理得 匚 4 4 解得m 或m 1 (舍) 經(jīng)檢驗(yàn)m 符合條件. 3 點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊， 然后轉(zhuǎn)化為兩 向量乘積為零. 例 7 7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò) A)、BQ。)、,|三點(diǎn).(I)求橢圓E的方程: (II)若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)( 1,0), H (1,0), 當(dāng)

26、厶DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求 DFH內(nèi)心的坐標(biāo); 思維流程: 4m 1, 2 2 9 解得m -, n -. .橢圓E的方程X 1 m n 1 4 3 4 3 4 1 -2 h h 2 當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為.3，所以SDFH的最大值為. 設(shè)ADFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)?DFH的周長(zhǎng)為定值 6 6.所以, 由橢圓經(jīng)過(guò) A、B、C 三點(diǎn) 設(shè)方程為mx2 ny2 1 得到m,n的方程 由DFH解切m面積最大 轉(zhuǎn)化為 DFH面積最大 解題過(guò) 轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大 D點(diǎn)坐標(biāo)為 0, (I)設(shè)橢圓萬(wàn)程 ATO)、 DFHo面、最大值為)代入扌橢圓 勺 mx2 ny2 1 m

27、 0,n 0 將”方程，得 (I) |FH | 2，設(shè)ADFH邊上的高為S DFH D為橢圓短軸端點(diǎn) SDFH 2R 6 所以R的最大值為 .所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(0, 點(diǎn)石成金： 1 / s的內(nèi)切圓 的周長(zhǎng)r的內(nèi)切圓 2 例 8 8 已知定點(diǎn)C( 1,0)及橢圓x2 3 3y2 5 ,過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓 相交于A, B兩點(diǎn). . (I)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 -，求直線AB的方程； 2 (H)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使MA MB為常數(shù)？若存在，求出 點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. . 思維流程： (I)解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為 2 2 2 (k 1)x1x2

28、 (k m)(x1 x2) k y k(x 1), 設(shè) A% yj, B(x2，y2), 36k4 4(3k2 1)(3k2 5) 6k2 3k2 1. k ，符合題意。 3 所以直線AB的方程為x 3y 1 (H)解：假設(shè)在X軸上存在點(diǎn) M (m,0)，使MA MB為常數(shù). . 將 y k(x 1)代入 x2 3y2 5 , 消去y整理得(3k2 1)x2 6k2x 3k2 5 0. 白線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 得 x1 X2 、2 3k2 3k2 1 當(dāng)直線 AB與 x軸 不垂直時(shí) ，由(I )知 x-i x2 6k2 3k2 1 3k2 5 X2 3k2 1 所以 MA MB (X1 m)

29、(X2 m) yy (為 m)(x2 m) k2X 1)區(qū) 1) m2.將代入，整理得 0, (1) 0. . 1 2 14 (2m -)(3k2 1) 2m ； 3 3 3k2 1 注意到MA MB是與k無(wú)關(guān)的常數(shù), uur umr 4 MA MB -. 9 當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為 、 ，uuir uuir 4 亦有MA MB 9 倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn) M M (2 2，1 1)，平行于 0M0M 的直線I在 y y 軸上的截距為 m m (m m 個(gè)等腰三角形. . 且在 y y 軸上的截距為 1 I 的方程為：y -x m2 2m 6m 14 3(3k2 1) 綜上，在

30、 x軸上存在定點(diǎn) ，使MA MB為常數(shù). . 1 2 14 (2m -)(3k2 1) 2m 2 .i2 -3)- - 3 m2 3k2 1 3k2 1 例 9 9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x x 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 2 點(diǎn)石成金: uuu uur (6m 1)k2 MA MB (6m 1)k 5 m： uur uur MA MB (6m 1)k 5 m2 3k2 1 7 7 - - 3 3 m m 7 7 工 0 0), I交橢圓于 A A、B B 兩個(gè)不同點(diǎn)。 (I)求橢圓的方程; 求 m m 的取值范圍; (皿)求證直線 MAMA、MBMB 與 x x 軸始終圍成一 思維流

31、程：解: (1(1) 設(shè)橢圓方程為 2 x 2 a 2 1(a b 0) b2 a 2b 則4 1 - a b 1 解得 a2 8 橢圓方程為 2 y- 1 2 (n)v直線i平行于 OM, 2 y 1 x m 由2 2 2 x3 4 2 2mx 2m 4 0 x2 y2 1 8 2 V直 線 1 1 與 橢圓交 于 A A、 B B 兩個(gè)不同點(diǎn)， (2m)2 4(2m2 4) 0, 解得 2 m 2,且 0 (皿)設(shè)直線 MAMA、MBMB 的斜率分別為 k ki, k k2,只需證明 k ki+k+k2=0=0 即可 設(shè) A(X1, yj B(X2, y2),且洛 X2 2m, x1x2

32、2m2 4 則k1 y1 1,k2 y2 1 由 X2 2mx 2m2 4 0 可得 X1 2 X2 2 而k1 k2 y1 1 y2 1 (y1 1) (X2 2) (y2 1)(X1 2) x1 X2 2 (X1 2)(X2 2 2 m2 4 2m2 4m 4m 4 (Xi 2)(X2 2) 故直線 MAMA、MBMB 與 x x 軸始終圍成 k1 k2 一個(gè)等腰三角形. . 點(diǎn)石成金：直線 MAMA、MBMB 與 x x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形 ki k2 例 1010、已知雙曲線 與 占1的離心率e ，過(guò)A(a, ), B( , b)的直 a2 b2 3 線到原點(diǎn)的距離是 仝.(1

33、1)求雙曲線的方程； 4 (2 2)已知直線y kx 5(k 0)交雙曲線于不同的點(diǎn) C C, D D 且C，D都 在以B為圓心的圓上，求k的值. . 思維流程：解：T( 1 1)丄 2,原點(diǎn)到直線AB： A y i的 a 3 a b (1 3k2)x2 30kx 78 0. . 設(shè)C(xi,yj D(X2, y2),CD 的中點(diǎn)是 即 15 k 2 k 0,又 k 0, k 2 7 1 3k 2 1 3k 2 故所求k= 士 .7 .7 . 點(diǎn)石成金：C, D都在以B為圓心的圓上 BC=BD BEBC=BD BE 丄 CD;CD; 例 1111、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，橢

34、圓C上的 點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3 3,最小值為 1 1. （I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn) 方程； （IIII）若直線l :y=k=kx+ +m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B 不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn).求證：直 線I過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 2 2 思維流程：解：（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 仔每1（a b 0）, a b 由已知得：a c 3, a c 1, 2 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-1. 4 3 y kx m, (II II )設(shè) A(X1, yj, B(X2, y2). 聯(lián)立 x2 y2 1. 4 3 得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3) 0，則 2 2 ab 距離 d ./a2 b2 b 1, a .3. ab 故所求雙曲線方程為 x2 T (2 (2 ) 把y kx 5 代入 3y2 3中消去 y ,整理得 E(xo, yo),則 a 2, c 1, b2 a2 c2 3 3(m2 4k2) 3 4k2 又yy (kx1