復變函數及積分變換期末總復習

1、復變函數與積分變換復變函數與積分變換期末考試說明期末考試說明 閉卷考試閉卷考試考試時間：考試時間：2015年年12月月16日日 14:3016:30 考試地點：考試地點：N4-301，N4-309考試題型考試題型：填空題，選擇題，：填空題，選擇題， 判斷題，計算題判斷題，計算題 滿分滿分100分分 復變函數考查內容：復變函數考查內容： 復數復數 (一般表示，三角表示，指數表示，實部，虛部，模，一般表示，三角表示，指數表示，實部，虛部，模，幅角等基本概念。幅角等基本概念。) 復數的四則運算，重點是乘方與方根復數的四則運算，重點是乘方與方根(開方開方)。第一部分第一部分 復變函數復變函數第二部分第

2、二部分 解析函數微積分解析函數微積分1. 解析函數的概念；解析函數的概念；2. 函數解析性的判別（函數解析性的判別（C-R方程）方程）3. 幾個常用初等函數：幾個常用初等函數：指數函數，對數函數，乘冪指數函數，對數函數，乘冪 函數函數與冪函數，三角函數）與冪函數，三角函數）4. 復積分的基本定理；復積分的基本定理；5. 柯西積分公式與高階導數公式柯西積分公式與高階導數公式6.掌握解析函數與調和函數的關系掌握解析函數與調和函數的關系(已知解析已知解析函數的實部會求虛部，已知虛部會求實部函數的實部會求虛部，已知虛部會求實部)（與課本第四章第（與課本第四章第1節(jié)關聯(lián)）節(jié)關聯(lián)）*重點重點:計算積分計算

3、積分 掌握積分路徑與積分值的關系掌握積分路徑與積分值的關系 靈活應用柯西古薩基本定理，復合閉路定理，柯西積靈活應用柯西古薩基本定理，復合閉路定理，柯西積分公式，高階導數公式解題分公式，高階導數公式解題 理解原函數與不定積分的概念及其計算。理解原函數與不定積分的概念及其計算。第三部分第三部分 復變函數級數與孤立奇點復變函數級數與孤立奇點 理解復數列級數的概念，理解泰勒，羅朗級數的定義理解復數列級數的概念，理解泰勒，羅朗級數的定義 掌握冪級數求法，求收斂半徑掌握冪級數求法，求收斂半徑( (比值和根值判別法比值和根值判別法) ) 使用已知級數使用已知級數( (識記五種簡單級數展開式識記五種簡單級數展

4、開式) )和間接法展開泰和間接法展開泰勒級數和洛朗級數，注意在不同點展開后是不一樣的。收勒級數和洛朗級數，注意在不同點展開后是不一樣的。收斂域的求法。斂域的求法。*重點是展開級數，求收斂域重點是展開級數，求收斂域4. 判別孤立奇點類型判別孤立奇點類型(掌握三種孤立起點的定義，靈活掌握三種孤立起點的定義，靈活運用運用)，理解無窮遠點的性態(tài)。，理解無窮遠點的性態(tài)。第四部分：計算留數以及三種特殊類型的積分第四部分：計算留數以及三種特殊類型的積分 靈活運用留數定理和幾種計算規(guī)則來計算留數靈活運用留數定理和幾種計算規(guī)則來計算留數，應用留數定理計算復變函數回路積分。，應用留數定理計算復變函數回路積分。 三

5、種特殊類型的實積分的計算，掌握使用條件三種特殊類型的實積分的計算，掌握使用條件以及如何轉化為留數來計算的方法。以及如何轉化為留數來計算的方法。*重點是留數定理及特殊實積分的計算重點是留數定理及特殊實積分的計算積分變換考查內容：積分變換考查內容：一、重點求函數的傅立葉變換，解偏微分方程一、重點求函數的傅立葉變換，解偏微分方程 理解傅立葉變換的概念理解傅立葉變換的概念 靈活應用傅里葉變換的性質求傅里葉變換靈活應用傅里葉變換的性質求傅里葉變換 掌握偏微分方程的傅立葉解法掌握偏微分方程的傅立葉解法 熟記若干簡單的函數的傅立葉變換熟記若干簡單的函數的傅立葉變換(傅立葉逆變換傅立葉逆變換)二、重點求函數的

6、拉普拉斯變換，解常微分方程二、重點求函數的拉普拉斯變換，解常微分方程 理解拉普拉斯變換的概念理解拉普拉斯變換的概念 應用拉普拉斯變換的性質求拉普拉斯變換應用拉普拉斯變換的性質求拉普拉斯變換 掌握常微分方程的拉普拉斯解法掌握常微分方程的拉普拉斯解法*重點是傅里葉變換及應用重點是傅里葉變換及應用一、復數及復變函數一、復數及復變函數)(212121iezz2、復數的運算、復數的運算復數的加減法、乘法、除法、乘方與開方復數的加減法、乘法、除法、乘方與開方ninez)(383/ )2(3/18kie1、復數的概念、幾何表示、指數及三角函數表示、復數的概念、幾何表示、指數及三角函數表示3、復變函數、復變函

7、數復變函數的極限、連續(xù)性及可導復變函數的極限、連續(xù)性及可導可導的必要條件：四個偏導數存在：滿足C-R條件：充分必要條件：1.四個偏導數連續(xù)2. 滿足C-R條件u(x,y)和和v(x,y)都滿足二維都滿足二維 Laplace 方程方程共軛調和函數共軛調和函數0u0v應用：若給定一個二元調和函數，可利用應用：若給定一個二元調和函數，可利用C.R.條件，條件，求另一共軛調和函數求另一共軛調和函數方法一、方法一、曲線積分法（全微分的積分與路徑無關）曲線積分法（全微分的積分與路徑無關）方法二、方法二、湊全微分法湊全微分法方法三、方法三、不定積分法不定積分法結合結合C-R條件，有：條件，有：0vu4、解析

8、函數、解析函數解析函數的定義解析函數的定義函數解析與可導、連續(xù)、極限的關系函數解析與可導、連續(xù)、極限的關系初等解析函數初等解析函數指數函數、三角函數、雙曲函數等指數函數、三角函數、雙曲函數等1)1)指數函數指數函數.)sin(cos.的的指指數數函函數數為為稱稱設設zyiyeeiyxzxz 定定義義; 0, 0,)( zxzeeeza則則對對任任意意復復數數性性質質;)(,)(zzzeezeb 而而且且平平面面上上處處處處解解析析在在;)(2121zzzzeeec .2)(為周期的周期函數為周期的周期函數是以是以iedz 2).2).三角函數三角函數.,2cos.,2sin余弦函數余弦函數正弦

9、函數正弦函數定義定義稱為稱為稱為稱為izizizizeezieez .cos,sin)1(是是偶偶函函數數是是奇奇函函數數zz 性性質質.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .sincos)3(zizeiz .2)2(為周期為周期以以正弦函數和余弦函數都正弦函數和余弦函數都12(4)正弦函數和余弦函數在復平面內都是解析函數正弦函數和余弦函數在復平面內都是解析函數.sin)(cos,cos)(sinzzzz .cos,sin, 1cossin)5(22不不是是有有界界函函數數但但zzzz 133 3）對數函數）對數函數.Ln , )( )

10、0( zwzfwzzew 記記為為稱稱為為對對數數函函數數的的函函數數滿滿足足方方程程因此因此zizzwArglnLn ikziz 2argln)., 2, 1, 0( k所所以以支支的的數數稱稱為為對對數數函函其其中中),(Ln)arg(arglnln主主值值zzzizz )., 2, 1, 0(2lnLn kikzz14. . , , , , 的一個分支的一個分支稱為稱為可確定一個單值函數可確定一個單值函數對于每一個固定的對于每一個固定的zkLn;Ln )1(是一個無窮多值的函數是一個無窮多值的函數z性質性質;LnLnLn,LnLnLn, 0, 0)2(2121212121zzzzzzzz

11、zz 則則設設且且處解析處解析處處實軸外實軸外在平面上除去原點和負在平面上除去原點和負,ln, )3(z.1)(lnzz 154)4)冪函數冪函數:, 0,的的冪冪函函數數用用下下列列等等式式定定義義對對于于是是任任意意復復數數設設zz 定定義義).0(Ln zezwz . 0,0, zz時時補補充充規(guī)規(guī)定定是是正正實實數數時時當當;,lnLn., )1(ln的的主主值值稱稱為為冪冪函函數數時時取取主主值值當當是是一一個個無無窮窮多多值值函函數數一一般般說說來來 zezzzzz 性性質質.)()2(1 zz二、解析函數積分二、解析函數積分 定義式定義式 計算式計算式3.復變函數積分的基本性質的

12、正整數的正整數為為1, 01i,2)(nnazdzln其中：l為包含a點的任意簡單閉合曲線重要重要復變函數積分復變函數積分4 4、柯西定理、柯西定理cdzzf0)(iccidzzfdzzf)()(單通區(qū)域單通區(qū)域復通區(qū)域復通區(qū)域5 5、不定積分與原函數、不定積分與原函數 .)(d)( czFzzf 單通域的積分與路徑無關單通域的積分與路徑無關6 6、柯西積分公式、柯西積分公式ldzzzfif)(21)(lnndzfinzf1)()()(2!)(高價導數公式高價導數公式7 7、計算復變函數圍道積分、計算復變函數圍道積分 柯西定理：柯西定理： 柯西積分公式：柯西積分公式： 柯西導數公式柯西導數公式

13、1、復級數及復變級數的基本概念2、收斂的性質3、收斂半徑：比值判別法、根值判別法。4、冪級數：收斂圓與收斂半徑。三、復變函數級數及孤立奇點三、復變函數級數及孤立奇點1 1、比值判別法、比值判別法20201010)()()(zzazzaazzakkk冪級數冪級數1limkkkaaRRzz )(0kkkaR1lim絕對收斂絕對收斂2 2、根值判別法、根值判別法5、泰勒級數00( )()kkkf zazz0110()1()2()!dikkkCRfzfazk ,)()(0kkkzzazf 1012( ) di()kkCfaz 其其中中6、洛朗級數單通區(qū)域單通區(qū)域（圓域）（圓域）復通區(qū)域復通區(qū)域（環(huán)域）

14、（環(huán)域）21,! 21)1(02 nnnznznzzze,111)2(02 nnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)4(1253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z,) 1() 1(111)3(02 nnnnnzzzzz7、解析函數的冪級數展開. 直接展開法直接展開法ka, , 可可用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開。用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開。. 間接展開法間接展開法8、孤立奇點的定義及分類、孤立奇點的定義及分類有限遠點與無窮遠點有限遠點與無窮遠點有限遠點與無窮遠點有限遠點與無窮遠點四、留數定理四、留數定理1、留數（洛朗展開的系數a-1）留

15、數的求法單極點：m階極點：0|)()()!1(10111zzmmmzfzzdzdma)( )()()()(lim)()(lim0000100zQzPzQzPzzzfzzazzzz)()()(zQzPzf3、無窮遠點的留數、無窮遠點的留數12)()( iadzzadzzfckkkc0)(Resiizfn1)(Res2)(kkczfidzzf留數和定理留數和定理、利用留數計算復變函數圍道積分、利用留數計算復變函數圍道積分、利用留數計算實積分、利用留數計算實積分4、留數定理的應用、留數定理的應用 2、留數定理、留數定理利用留數定理計算實積分的步驟：利用留數定理計算實積分的步驟： 將實積分化成閉合回路

16、的復積分將實積分化成閉合回路的復積分 利用留數定理利用留數定理 計算留數計算留數兩個重要工作兩個重要工作: 1) 積分區(qū)域的轉化積分區(qū)域的轉化2) 被積函數的轉化被積函數的轉化20(sin ,cos )dR 一一、形形如如的的積積分分( )df xx 二二、形形如如的的積積分分( )d(0)imxf x exm 三三、形形如如的的積積分分31(1)(2)1(3)1iZeii把 下 列 復 數 用 代 數 式 、三 角 式 和 指 數 式 表 示 出 來 。典典 型型 習習 題題33332233322333()(cossin )()(3)(3)(cos3sin3 ),( / )izzxiyizx

17、iyxxyix yyzixyarctg y xze（1）代數式：令三角式：指數式：1(1 2)(2)cos1sin1cos(12)sin(12)(0, 1, 2)iikezeiezekikzeek 代數式：三角式：指數式： 3221(3)133cos2sin222(0, 1, 2)ikiizizkikzek 代數式：三角式：指數式： 32解方程解方程0sin z解解0212sin2 izizizizieeieez12 izeikizee 22. kz), 2, 1, 0( k33函數函數 在何處在何處可導，何處解析可導，何處解析.)2()()(222yxyixyxzf 解解,),(22xyxy

18、xu ;2, 12yuxuyx ,2),(2yxyyxv ;22,2yxvyvyx .,xyyxvuvu 故故 僅在直線僅在直線 上可導上可導.)(zf21 y,21)(,不解析不解析上處處上處處在直線在直線由解析函數的定義知由解析函數的定義知 yzf故故 在復平面上處處不解析在復平面上處處不解析.)(zf時，時，當且僅當當且僅當21 y34 設設 為解析函數，求為解析函數，求 的值的值.)(2323cxyxiybxay cba,解解 設設ivucxyxiybxayzf )()()(2323故故2323,cxyxvybxayu ,2bxyxu ,2cxyyv ,322cyxxv ,322bxa

19、yyu 由于由于 解析，所以解析，所以)(zfxvyuyvxu ,即即,22cbcxybxy 3,3332222 bcacyxbxay故故. 3, 3, 1 cba22( , )u x yxyxy(0) 0f已知解析函數實部為已知解析函數實部為且滿足且滿足求解析函數。求解析函數。例計算積分計算積分 1idzzz212zz12122ii11d|1(i) 122z zz解：解： 在整個復平面上解析，且在整個復平面上解析，且 例 計算積分用分部積分法用分部積分法i0sin dzz zsinzzii00ii00sin dd( cos ) ( cos )( cos )dzz zzzzzz z ii1ic

20、osi sinii(cosi isini)iiee解：由于解：由于 在復平面內處處解析，在復平面內處處解析，例：計算積分例：計算積分1:,izCdzizecizdzizzzz22)(5( 【解解】（1）注意到）注意到 在復平面內解析，而在復平面內解析，而 -i 在積分環(huán)路在積分環(huán)路C內，由柯西積分公式得內，由柯西積分公式得 （2）注意到函數）注意到函數 在在 內解析，內解析，而而 i 在在 內，內， 由柯西積分公式得由柯西積分公式得i( )zf ze2( )5zf zz2z 2z eiiedzizeiziziziz2|2131|525)(5(22222izzzzzidzizzzdzizzz.

21、4|:| ,) 1(cos 23zCdzzzzC計算例內，則，且全在和包含，分別包圍奇點互不相交，互不和，作，奇點為解：CzzCCzf1010)(21dzzzzdzzzzICC212323) 1(cos) 1(cosdzzzzdzzzzCC2332) 1(1cos1) 1(cos2112 02cos2) 1(cos! 22zzzzizziii212的的收斂半徑。收斂半徑。例：求冪級數例：求冪級數kka) 1(102) 1(kkkz解：解：1limkkkaaR0kkk z(cosi )例： 求冪級數求冪級數 的收斂半徑的收斂半徑cosikak因因為為111 R=limlimkkkkkkkkaee

22、aee 所所以以故收斂半徑故收斂半徑.1eR 解：12cosh(),kkke e1,e的冪級數。展開為將例zzezfz1)( . 11)(Rzzf，所以的唯一奇點為解：，可得由)(1)(zfzzzf0)()()1 (zzfzfz求導，有方程兩邊對z, 0)()()1 ()()1 ( zfzfzzfz, 0)()2()()1 ( zfzzfz得，順次代入各方程，解由于1)0(f, 2)0(, 1)0(, 0)0( fff故所求冪級數展開式為. 1| ,! 32211122zzzzez例例;10)1 z;21)2 z.2)3 z內是處處解析的內是處處解析的, ,試把試把 f (z) 在這些區(qū)域內展

23、開成洛朗級數在這些區(qū)域內展開成洛朗級數. .解解,)2(1)1(1)(zzzf : )2)(1(1)( 在圓環(huán)域在圓環(huán)域函數函數 zzzf , 10 )1內內在在 zoxy12112121zz )1(2 zz 421212zz 2874321zz nnzzz22212122 )( zf所以所以 nzzzz2111則則,1 z由于由于12 z從而從而是泰是泰勒級數勒級數12oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122 , 21 )2內內在在 z 842111121zzzzznn2oxy2 z由由12 z此時

24、此時zzz211121 , 2 )3內內在在 z 21111zzz 2222121zz)( zf于是于是 24211zzz仍有仍有zzz111111 21111zzz, 121 zz此時此時 24211zzz 21111zzz.731432 zzz)( zf故故nzzzzzzzzfznnznnz111lim)1)(1(1)1(lim)1( sRe,1211211是是一一級級極極點點nznznznz1 1lim)1(1lim111例：求 在 處的留數。解：) 1(1)(nzzf10z) 1)(1(1) 1(1)(21zzzzzzfnnn另解.1 )2(; zee ) 1 ( 2|131|2ibz

25、iazdzezzdzzzz計算下列積分：例ibazeezdzdzfszCibziazz)(lim0),(Re, 0 ) 1 (220而內只有一個二級極點在)(2 1|2abdzzeezibziaz故., 1, 0 )2(zCzC外有一個內有兩個孤立奇點內，洛朗級數為在2|z)! 312111 ( )1111 (13232213zzzzzzzezzz)31211 (322zzz.321 ,31),(Re 12|3idzezzzfszz故53 51255),(Res2d)1)(3(1kkzzzfizzz解解例例7 7 計算計算 .d)1)(3(1255zzzz ),(Res3),(Res),(Re

26、s51 zfzfzzfkk)1)(3(1)3(lim3),(Res53 zzzzfz,2421 54 55511311) 1)(3(1zzzzzz,1131156 zzz, 0),(Res zf所所以以 51255),(Res2d)1)(3(1kkzzzfizzz24212 i.121i 解解,ize 令令則則,21sin2ziz ,21cos2zz ,dd iiez 22222201sin(1)1ddcos412zzzazizzaz 22221(1)d2(21)zzzizzaz 220sin1d(1)cosaa 例例計計算算積積分分22 21aa 22 (1).aa 222221(1) d2(1)(1)zzzizzaazaa 22Res( ),0Res( ),(1)if zf zaa 一、傅里葉變換一、傅里葉變換二、二、函數及其性質函數及其性質三、傅里葉變換的性質三、傅里葉變換的性質例 求矩形脈沖函數 的傅氏變換1,1( )0,1tf tt1111( )( )12sini ti ti tiieFf t edtedtieei 常用傅里葉變換：常用傅