復數(shù)概念課件

1、書 山 有 路 勤 為 徑，學 海 無 崖 苦 作 舟少 小 不 學 習，老 來 徒 傷 悲 成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奮，努 力 才 能 成 功！ 引言：在人和社會的發(fā)展過引言：在人和社會的發(fā)展過程中，常常需要立足今天，回顧程中，常常需要立足今天，回顧昨天，展望明天。符合客觀發(fā)展昨天，展望明天。符合客觀發(fā)展規(guī)律的要發(fā)揚和完善，不符合的規(guī)律的要發(fā)揚和完善，不符合的要否定和拋棄。那么，在實數(shù)集要否定和拋棄。那么，在實數(shù)集向復數(shù)集發(fā)展的過程中，我們應向復數(shù)集發(fā)展的過程中，我們應該如何發(fā)揚和完善，否定和拋棄該如何發(fā)揚和完善，

2、否定和拋棄呢？呢？自然數(shù)自然數(shù)整數(shù)整數(shù)有理數(shù)有理數(shù)實數(shù)實數(shù)？NZQR對于一元二次方程對于一元二次方程 沒有實數(shù)根沒有實數(shù)根012 x12 x引入一個新數(shù)引入一個新數(shù) ， 叫做叫做虛數(shù)單位虛數(shù)單位，并規(guī)定：，并規(guī)定： ii（1 1）它的平方等于它的平方等于1 1，即，即12 i虛數(shù)單位虛數(shù)單位（2 2）實數(shù)可以與它進行）實數(shù)可以與它進行四則運算四則運算，進行四則，進行四則運算時，原有的加、乘運算律仍然成立運算時，原有的加、乘運算律仍然成立 為了解決負數(shù)開方問題為了解決負數(shù)開方問題，即：將實數(shù)即：將實數(shù)a和數(shù)和數(shù)i相加記為相加記為: a+i； 把實數(shù)把實數(shù)b與數(shù)與數(shù)i相乘記作相乘記作: bi； 將

3、它們的和記作將它們的和記作: a+bi (a,bR),全體復數(shù)所組成的集合叫復數(shù)集,用字母C表示1.復數(shù)：把形如 a+bi (a,bR)的數(shù)叫復數(shù)i 叫做 虛數(shù)單位(imaginary unit)R,|babiazzC其中一一.復數(shù)的有關概念復數(shù)的有關概念虛部b實部a用z表示復數(shù), 即z = a + bi (a,bR) 叫做復數(shù)的代數(shù)形式2.復數(shù)的代數(shù)形式：規(guī)定: 0i=0,0+bi=bi3.復數(shù)的分類：復數(shù)z=a+bi (a,bR)條件數(shù)的類型R C實數(shù)集R是復數(shù)集C的真子集，虛數(shù)b0純虛數(shù)a=0且b0實數(shù)0a=b=0實數(shù)b=0復數(shù)z=a+bi (a,bR)實數(shù) (b=0)虛數(shù)(b0)純虛數(shù)

4、(a=0)非純虛數(shù)(a0)1.說明下列復數(shù)是實數(shù)還是虛數(shù)，還是純虛數(shù)？并說明各數(shù)的實部與虛部。31i 31i71i 2i )1 (01iii )32(i2課堂練習課堂練習實數(shù)實數(shù)虛數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)實數(shù)實數(shù)實數(shù)實數(shù)虛數(shù)虛數(shù)虛數(shù)虛數(shù)2.有下列命題：（1）若a、b為實數(shù)，則 z=a+bi 為虛數(shù)（2）若b為實數(shù)，則 z=bi 必為純虛數(shù)（3）若a為實數(shù)，則 z= a 一定不是虛數(shù)其中真命題的個數(shù)為（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3BN Z Q R CNZQR思考思考C C1.數(shù)集數(shù)集N，Z，Q，R，C的關系是怎樣的？的關系是怎樣的？復數(shù)集實數(shù)集虛數(shù)集純虛數(shù)集2.復

5、數(shù)集，實數(shù)集，虛數(shù)集，純虛數(shù)集之間關系4.兩個復數(shù)相等有兩個復數(shù)Z1=a+bi (a,b R)和Z2=c+di(c,d R) a+bi =c+dia=c且b=d注意1、若Z1,Z2均為實數(shù),則Z1,Z2具有大小關系2、若Z1,Z2中不都為實數(shù)，Z1與Z2只有相等或不相等兩關系，而不能比較大小5、 一般地，如果兩個復數(shù)的一般地，如果兩個復數(shù)的實部相等實部相等,虛部互虛部互為相反數(shù)為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).,( ,)za bi a bR 設則z=a-bi,(a,b R)例如：例如：5+3i和和5-3i互為共軛復數(shù)互為共軛復數(shù) 例例1 1：實數(shù)：實數(shù)m m

6、取什么值時，復數(shù)取什么值時，復數(shù) 是是（1 1）實數(shù)？）實數(shù)？ （2 2）虛數(shù)？）虛數(shù)？ （3 3）純虛數(shù)？）純虛數(shù)？immz)1(1 解解：（：（1 1）當當 ，即，即 時，復數(shù)時，復數(shù)z z是實數(shù)是實數(shù)01 m1m （2 2）當當 ，即，即 時，復數(shù)時，復數(shù)z z是虛數(shù)是虛數(shù)01 m1 m（3 3）當當 ，且，且 ，即，即 時，時，復數(shù)復數(shù)z z 是是純虛數(shù)純虛數(shù)01 m01 m1m 例題分析例題分析 分析在本題是復數(shù)的標準形式下，即zabi(a，bR)，根據(jù)復數(shù)的概念，只要對實部和虛部分別計算，總體整合即可 點評判斷一個含有參數(shù)的復數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，首先要保證參數(shù)值有意

7、義，如果忽略了實部是含參數(shù)的分式中的分母m30，就會釀成根本性的錯誤，其次對參數(shù)值的取舍，是取“并”還是“交”，非常關鍵，多與少都是不對的，解答后進行驗算是很有必要的 對于復數(shù)zabi(a，bR)，既要從整體的角度去認識它，把復數(shù)z看成一個整體，又要從實部與虛部的角度分解成兩部分去認識它這是解復數(shù)問題的重要思路之一 (1)下列命題中假命題是() A自然數(shù)集是非負整數(shù)集 B實數(shù)集與復數(shù)集交集為實數(shù)集 C實數(shù)集與虛數(shù)集交集是0 D純虛數(shù)集與實數(shù)集交集為空集 答案C 解析復數(shù)可分為實數(shù)和虛數(shù)兩大部分，虛數(shù)中含有純虛數(shù)，因此，實數(shù)集與虛數(shù)集沒有公共元素，C是假命題故選C.變式練習：變式練習： (2)已

8、知a、bR，則ab是(ab)(ab)i為純虛數(shù)的 () A充要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件 答案C 解析當ab0時，此復數(shù)為0是實數(shù)，故A、B不正確；*Znni424ni34ni14ni1-1iiB新授課新授課例例2 2 已知已知 ，其中，其中 ，求求iyyix)3()12( Ryx ,. yx與與解：由復數(shù)相等的定義，得方程組解：由復數(shù)相等的定義，得方程組 )3(112yyx解得解得4,25 yx 點評(1)復數(shù)相等的條件，是求復數(shù)值及在復數(shù)集內解方程的重要依據(jù) (2)根據(jù)復數(shù)相等的定義可知，在ac，bd中，只要有一個不成立，那么abicdi.所以，一般地

9、，兩個復數(shù)只有說相等或不相等，而不能比較大小，例如，1i和35i不能比較大小 (1)已知x2y22xyi2i，求實數(shù)x、y的值 (2)已知復數(shù)zk23k(k25k6)i(kR)，且z0，求k的值變式練習：變式練習： 自然數(shù)概念可溯源于原始人類用匹配方法計數(shù)。自然數(shù)概念可溯源于原始人類用匹配方法計數(shù)。古希臘人用小石卵記畜群的頭數(shù)或部落的人數(shù)古希臘人用小石卵記畜群的頭數(shù)或部落的人數(shù) 。 英文英文calculatecalculate（計算）一詞是從希臘文計算）一詞是從希臘文calculus calculus （石卵）演變來的。中國古藉易系辭中說：石卵）演變來的。中國古藉易系辭中說：上古結繩而治，后世

10、圣人易之以書契。上古結繩而治，后世圣人易之以書契。 直至直至18891889年，皮亞諾才建立自然數(shù)序數(shù)理論。年，皮亞諾才建立自然數(shù)序數(shù)理論。 自然數(shù)自然數(shù) 零不僅表示無，更是表示空位的符號。中國古代用算零不僅表示無，更是表示空位的符號。中國古代用算籌計算數(shù)并進行運算時，空位不放算籌，雖無空籌計算數(shù)并進行運算時，空位不放算籌，雖無空 位記號，但位記號，但仍能為位值記數(shù)與四則運算創(chuàng)造良好的條件。印度阿拉伯命仍能為位值記數(shù)與四則運算創(chuàng)造良好的條件。印度阿拉伯命數(shù)法中的零（數(shù)法中的零（zero）來自印度的（來自印度的（sunya ）字，其原意也是字，其原意也是空或空白?？栈蚩瞻?。 中國最早引進了負數(shù)。

11、九章算術方程中論述的正中國最早引進了負數(shù)。九章算術方程中論述的正負數(shù)，就是整數(shù)的加減法。減法的需要也促進負數(shù)，就是整數(shù)的加減法。減法的需要也促進 了負整數(shù)的了負整數(shù)的引入。減法運算可看作求解方程引入。減法運算可看作求解方程a+x=b，如果如果a，b是自然數(shù)，是自然數(shù)，則所給方程未必有自然數(shù)解。為了使它恒有解，就有必要把自則所給方程未必有自然數(shù)解。為了使它恒有解，就有必要把自然數(shù)系擴大為整數(shù)系。然數(shù)系擴大為整數(shù)系。 整數(shù)整數(shù)分分 數(shù)數(shù) 原始的分數(shù)概念來源于對量的分割。如說原始的分數(shù)概念來源于對量的分割。如說文文八部對八部對“分分”的解釋：的解釋：“分，別也。從八從分，別也。從八從刀，刀以分別物也

12、。刀，刀以分別物也?！钡?，九章算術中的分但是，九章算術中的分數(shù)是從除法運算引入的。其數(shù)是從除法運算引入的。其“合分術合分術”有云：有云：“實實如法而一。不滿法者，以法命之。如法而一。不滿法者，以法命之?！边@句話的今譯這句話的今譯是：被除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一是：被除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一個分數(shù)。個分數(shù)。 古埃及人約于公元前古埃及人約于公元前1717世紀已使用分數(shù)。世紀已使用分數(shù)。 為表示各種幾何量（例如長度、面積、體積）與物為表示各種幾何量（例如長度、面積、體積）與物理量（例如速率、力的大?。?，人類很早已發(fā)現(xiàn)有必要理量（例如速率、力的大?。?，人類很早已發(fā)現(xiàn)有必要

13、引進無理數(shù)。約在公元前引進無理數(shù)。約在公元前530530，畢達哥拉斯學派已知道邊，畢達哥拉斯學派已知道邊長為長為1 1的正方形的對角線的長度（即的正方形的對角線的長度（即 ）不能是有理數(shù)。）不能是有理數(shù)。 15 15世紀達芬奇（世紀達芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它們稱為是把它們稱為是“無理的數(shù)無理的數(shù)”（irrational numberirrational number），），開開普勒（普勒（J. Kepler, 1571- 1630J. Kepler, 1571- 1630）稱它們是稱它們是

14、“不可名狀不可名狀”的數(shù)。的數(shù)。 法國數(shù)學家柯西（法國數(shù)學家柯西（A.Cauchy,1789- 1875A.Cauchy,1789- 1875）給出了回給出了回答：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。答：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。 由于有理數(shù)可表示成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，人由于有理數(shù)可表示成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，人們想到用們想到用“無限不循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)”來定義無理數(shù)，這也是直來定義無理數(shù)，這也是直至至1919世紀中葉以前的實際做法。世紀中葉以前的實際做法。 2無理數(shù)無理數(shù) 實數(shù)系的邏輯基礎直到實數(shù)系的邏輯基礎直到1919世紀世紀7070年代才得以奠年代才得以奠定。從定。從1919世紀世紀20

15、20年代肇始的數(shù)學分析嚴密化潮流，年代肇始的數(shù)學分析嚴密化潮流，使得數(shù)學使得數(shù)學 家們認識到必須建立嚴格的實數(shù)理論，尤家們認識到必須建立嚴格的實數(shù)理論，尤其是關于實數(shù)系的連續(xù)性的理論。在這方面，外爾其是關于實數(shù)系的連續(xù)性的理論。在這方面，外爾斯特拉斯（斯特拉斯（18591859年年 開始）、梅雷（開始）、梅雷（18691869）、戴德金）、戴德金（18721872）與康托爾（）與康托爾（1872 1872 ）作出了杰出的貢獻。）作出了杰出的貢獻。 實數(shù)實數(shù)復數(shù)復數(shù) 從從1616世紀開始，解高于一次的方程的需要導致復世紀開始，解高于一次的方程的需要導致復數(shù)概念的形式。用配方法解一元二次方程就會遇

16、到負數(shù)概念的形式。用配方法解一元二次方程就會遇到負數(shù)開平方的問題?？栠_諾在大法（數(shù)開平方的問題?？栠_諾在大法（15451545）中闡）中闡述一元三次方程解法時，發(fā)現(xiàn)難以避免復數(shù)。關于復述一元三次方程解法時，發(fā)現(xiàn)難以避免復數(shù)。關于復數(shù)及其代數(shù)及其代 數(shù)運算的幾何表示，是數(shù)運算的幾何表示，是1818世紀末到世紀末到1919世紀世紀3030年代由韋塞爾、阿爾根和高斯等人建立的。年代由韋塞爾、阿爾根和高斯等人建立的。 哈密頓認真地研究了從實數(shù)擴張到復數(shù)的過程。哈密頓認真地研究了從實數(shù)擴張到復數(shù)的過程。他于他于18431843年提出了四元數(shù)的概念，其后不久，凱年提出了四元數(shù)的概念，其后不久，凱萊又萊又 用四元數(shù)的有序對定義了八元數(shù)。它們都被稱用四元數(shù)的有序對定義了八元數(shù)。它們都被稱為超復數(shù)，如果舍棄更多的運算性質，超復數(shù)還為超復數(shù)，如果舍棄更多的運算性質，超復數(shù)還可擴張到十六元數(shù)、三十二元數(shù)等等?？蓴U張到十六元數(shù)、三十二元數(shù)等等。 1. 數(shù)系的擴充數(shù)系的擴充: 自然數(shù)集自然數(shù)集(N)整數(shù)集整數(shù)集(Z)有理數(shù)集有理數(shù)集(Q)復數(shù)集復數(shù)集(C)實數(shù)集實數(shù)集(R)2. 復數(shù)復數(shù) 形如形如 a+bi (a,