比較二次根式大小的巧妙方法

1、比較二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中數(shù)學中的根底知識，也是初中數(shù)學學習中的重點容；而比較二次根式的大小又是二次根式知識中的難點，也是中考和數(shù)學競賽中常見的題型，經(jīng)常會考到不查表、 不求二次根式的值，來比較幾個不含分母的二次根式的大小的問題。盡管教材上介紹了比較二次根式大小的幾種根本方法，如求近似值法、比較被開方數(shù)法等， 盡管很多教輔材料中也總結了不少諸如“作差、“做商、“有理化、“取倒數(shù)、“平方等方法，但許多 學生在考試中仍顯得力不從心，并不清楚到底什么時候用哪種方法最適宜？解答這類題目時 缺少方法與對策，以至于無從下手。下面就舉例介紹幾種比較二次根式大小的有效方法。一、移動因式法此法好學

2、，適用。就是將根號外的正因式移入根號，從而轉化為比較被開方數(shù)的大小。例1:比較的大小。解：/二、運用平方法兩邊同時平方，轉化為比較幕的大小。此法的依據(jù)是：兩個正數(shù)的平方是正數(shù)，平方大 的數(shù)就大；兩個負數(shù)的平方也是正數(shù)，平方大的數(shù)反而小。例2 :比較與的大小。解：0, 0/.四、分子有理化法此法是先將各自的分子有理化，再比較大小。例4:比較與的大小解：T五、求差或求商法求差法的根本思路是：設為任意兩個實數(shù)，先求出與的差，再根據(jù)“當v0時，v；當時，；當0時，來比較與的大小。求商法的根本思路是： 設為任意兩個實數(shù)， 先求出與的商，再根據(jù)“同號：當1時, ；=1時，；v 1時，V。異號：正數(shù)大于負數(shù)

3、來比較與的大小。例5:比較的大小。解： v例6:比較的大小。解： 1 六、求倒數(shù)法先求兩數(shù)的倒數(shù)，而后再進展比較。例7:比較的大小。解：T/.七、運用媒介法此法是借助中間量定量或變量巧妙轉換到達直觀比較的方法，類似于解方程中的換元法。例8：，試比較的大小。解：設，那么，,，即八、設特定值法如果要比較的二次根式中含有字母，為了快速比較，解答時可在許可的條件下設定特殊值來進展比較。例9 :比較與的大小。解：設，那么：=1,=/九、局部縮放法如果要比較的二次根式一眼看不出有什么特點，又不準求近似值，可采取局部縮放法， 以確定它們的取值圍，從而到達比較大小的目的。例10:比較的大小。解：設，, 7VV

4、 8，即 7VV 8,8vv 9, 即卩 8vv 9 V,即V例11:比較與的大小。解：十、“結論推理法通過二次根式的不斷學習，不難得出這樣的結論：“0，利用此結論也可以比較一些二次根式的大小結論證明見文末。例12：比較1與的大小。解：，由 0可知：即又 , 即 卩 1 總的來說，比較二次根式大小的方法不僅僅局限于以上十種，除此之外諸如移項、 拆項法，類比推理法，數(shù)形結合法，數(shù)軸法，還有假設推理法等等，但不管使用哪種方法，都必 須在掌握二次根式的根本性質和運算法那么上進展，要根據(jù)問題的特征，二次根式的結構特點，多角度地探索思考， 做到具體問題具體分析， 針對不同問題采取不同的策略，另外還應多做

5、這方面的訓練，方能到達熟練而又快捷，運用自如的程度。附：“ 0的證明。證明 0【典題新練】：1、比較與的大小；2、比較與的大小；3、比較與的大?。?、比較與的大小；5、比較與的大?。?、比較與的大小其中為正整數(shù)7、設，試比較它們的大?。?、比較與的大??；9、比較與的大??；10、比較與的大小；11、比較與的大小；12、比較的大??；13、比較與的大??；14、比較與的大??；15、假設為正整數(shù)，試比較的大小;16、比較的大??；17、比較與的大小。【典題新練參考答案】：1、提示：，,3、提示：可利用0。，即4、提示：分母有理化后再進展比較。,即故7、提示：設，那么：，/ .,.8、平方后再進展比較。9、提示：I 2vv 3, 7vv 8,12、提示：，而7VV 8,二的整數(shù)局部為 7。同樣可得的整數(shù)局部為8,. 14、提示：平方后再比較大小。, v15、 提示：由偶次根式的定義得，2021,. 0,v 0,二16、提示：由，設，那么 4,兩邊平方得： 16,二 4，這與=4相矛盾，假設不成立，故V。17、提示：可在方格紙或坐標紙上作折線圖。，例如如以下圖