太原理工大學(xué)微積分及數(shù)學(xué)模型(10年修改版)8-6

1、第六節(jié)第六節(jié) 曲面及其方程曲面及其方程一一 曲面方程的概念曲面方程的概念二二 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面三三 柱面柱面四四 二次曲面二次曲面水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等。水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等。曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡。曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡。曲面方程的定義曲面方程的定義曲面的實(shí)例曲面的實(shí)例一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念以下給出幾例常見的曲面以下給出幾例常見的曲面解解:設(shè)設(shè)),(zyxM是是球球面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為特殊地：

2、球心在原點(diǎn)時(shí)方程為2222Rzyx 解：解：)0 , 2, 1( 所以原方程表示球心為所以原方程表示球心為5半徑為半徑為的球面。的球面。虛球面虛球面0時(shí)，表示的軌跡稱為0時(shí)，表示的軌跡稱為當(dāng)當(dāng) 。時(shí)，表示點(diǎn)球面時(shí)，表示點(diǎn)球面當(dāng)當(dāng) 。的球面的球面半徑為半徑為 )，)，時(shí)，表示球心為(時(shí)，表示球心為(當(dāng)當(dāng) ) )( (配方后化為配方后化為。項(xiàng)項(xiàng)其特點(diǎn)為缺其特點(diǎn)為缺 設(shè)有三元二次方程設(shè)有三元二次方程 DCBADCBADCBACB,A,DCBA222222222222DCBACBADCBAzyxzxyzxyzyxzyx0 0 222222222)()( , ,0222 注注設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求

3、求平平面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|MBMA 222321 zyx 222412 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程07262 zyx解：解：zxyo例例4 4 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下下移移動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1圖形上不封頂，下封底。圖形上不封頂，下封底。解解:c以上幾例表明研究空間曲面有以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題（2

4、 2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀。已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀。（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程。已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程。定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。轉(zhuǎn)曲面。這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸。軸。播放播放二、二、 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設(shè)設(shè)|122yyxd 旋轉(zhuǎn)過程中的特征旋轉(zhuǎn)過程中的特征如圖如圖將將 代入代入

5、2211,yxyzz 0),(11 zyfd1zz （1 1） 0,22 zyxf得方程得方程 0,22 zxyfoxzy 解：解： yoz面上直線方程為面上直線方程為 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz 例例6 6 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周， 求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzy

6、x222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面播放播放定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的移動(dòng)的直線直線 所形成的曲面稱為柱面。所形成的曲面稱為柱面。CLC這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線動(dòng)直線動(dòng)直線 叫柱叫柱面的面的母線母線。L三、三、 柱面柱面柱面舉例柱面舉例xozyxozy22xy 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征（其他類推）（其他類推）實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y1. 1

7、. 定義定義 三元二次方程表示的曲面三元二次方程表示的曲面, 稱為二次曲面。稱為二次曲面。如球面如球面 4321222 zyx圓錐面、旋轉(zhuǎn)曲面等圓錐面、旋轉(zhuǎn)曲面等四、四、 二次曲面二次曲面 2. 2. 二次曲面的研究方法二次曲面的研究方法(不能用描點(diǎn)法，而用截面法不能用描點(diǎn)法，而用截面法)1) 對稱性對稱性 (關(guān)于坐標(biāo)面，坐標(biāo)軸關(guān)于坐標(biāo)面，坐標(biāo)軸)2) 存在范圍存在范圍3) 曲面與坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面的關(guān)系曲面與坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面的關(guān)系4) 曲面彎曲狀況曲面彎曲狀況3. 3. 幾種重要的二次曲面幾種重要的二次曲面1 1）橢球面橢球面1222222 czbyaxyz用平行于坐標(biāo)面的平面去截曲面由所得截痕來

8、用平行于坐標(biāo)面的平面去截曲面由所得截痕來勾畫曲面的大體形狀。勾畫曲面的大體形狀。特殊情形：特殊情形：a a）當(dāng)）當(dāng) a = b = c 時(shí)，此時(shí)為球面時(shí)，此時(shí)為球面azyx2222 b b）當(dāng)）當(dāng) a = b 時(shí)，此時(shí)為旋轉(zhuǎn)曲面時(shí)，此時(shí)為旋轉(zhuǎn)曲面1222222 czayaxc) c) 當(dāng)當(dāng) a = c 時(shí)，此時(shí)為旋轉(zhuǎn)曲面時(shí)，此時(shí)為旋轉(zhuǎn)曲面 1222222 azbyax2) 2) 拋物面拋物面I) I) 橢圓拋物面橢圓拋物面同同號(hào)號(hào)） ,( 2222qpzqpyx xyz0p = q 時(shí)，成為旋轉(zhuǎn)拋物面時(shí)，成為旋轉(zhuǎn)拋物面(p0,q0)d) d) 當(dāng)當(dāng) c = b 時(shí)，此時(shí)為旋轉(zhuǎn)曲面時(shí)，此時(shí)為旋轉(zhuǎn)曲面1222222 czcyaxII) II) 雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）同號(hào)同號(hào) ,( 2222qpzqpyx xzyoxyzxyz xy 3) 3) 雙曲面雙曲面I) I) 單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyaxoxyzII) II) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyz01222222 czb