大學數學高數微積分第一章多項式第十節(jié)課堂講義

1、在前面我們討論了一元多項式的基本性質.但是除去一元多項式外，還有含多個文字的多項式，即多元多項式，如 x2 - y2 , x3 + y3 + z3 -3xyz 等.現(xiàn)在就來簡單地介紹一下有關多元多項式的一些概念. nknkkxxax2121nnnknkkkkkkkkxxxa2211212,1和一元多項式一樣，n 元多項式也可以定義相等、相加、相減、相乘. nknkkxxax2121.雖然多元多項式也有次數，但是與一元多項式的情況不同，我們并不能對多元多項式nnnknkkkkkkkkxxxa2211212,1中的單項式按次數給出一個自然排列的順序，因為不同類的單項式可能有相同的次數.我們看到，一

2、元多項式的降冪排列法(或者升冪排列法)對于許多問題的討論是方便的.同樣地，為了便于以后的討論，我們對于多元多項式也引入一種排列順序的方法，這種方法是模仿字典排列的原則得出的，因而稱為.每一個單項式nknkkxxax2121都對應于一個n 元數組(k1 , k2 , , kn ) ,其中 ki 為非負整數.這個對應是一一對應.為了給出單項式之間一個排列順序的方法，我們只要對于 n 元數組 (k1 , k2 , , kn ) 定義一個先后順序就行了.如果數k1 - l1, k2 - l2 , , kn - ln中第一個不為零的數是正的，也就是說，有 i n使k1 - l1 = 0 , , ki-1

3、 - li-1 = 0 , ki - li 0 ,那么，我們就稱 n 元數組(k1 , k2 , , kn )n 元數組 (l1 , l2 , , ln ) , 并記為 (k1 , k2 , , kn ) (l1 , l2 , , ln ) .例如(1 , 3 , 2) (1 , 2 , 4) .由定義立即看出，事實上，由 ki - mi = (ki - li) - (li - mi) 即得上面的結論.因之，這樣的確給出了 n 元數組之間的一個順序.相應地，單項式之間也就有了一個先后順序.例如多項式2x1x22x32 + x12x2 + x13 按字典排列法寫出來就是x13 + x12x2 +

4、 2x1x22x32 .按字典排列法寫出來的第一個系數不為零的單項式稱為多項式的.例如多項式x13 + x12x2 + 2x1x22x32的首項為 x13 .當 n = 1 時，字典排列法就歸結為以前的降冪排列法.對于字典排列法，我們有 設 f (x1 , x2 , , xn) 的首項為,0,2121axxaxnpnppg (x1 , x2 , , xn) 的首項為,0,2121bxxbxnqnqq為了證明它們的積nnqpnqpqpxxabx221121為 f g 的首項，(p1 + q1 , p2 + q2 , , pn + qn)先于乘積中其他單項式所對應的有序數組就行了.事實上，f (x

5、1 , x2 , , xn) g (x1 , x2 , , xn)只要證明中其他單項式所對應的有序數組是(p1 + k1 , p2 + k2 , , pn + kn),或者(l1 + q1 , l2 + q2 , , ln + qn),或者(l1 + k1 , l2 + k2 , , ln + kn),其中(p1 , p2 , , pn ) (l1 , l2 , , ln ) ，(q1 , q2 , , qn ) (k1 , k2 , , kn ).而(p1+q1 , p2+q2 , , pn+qn)(p1+k1 , p2+k2 , , pn+kn)與(p1+q1 , p2+q2 , , pn

6、+qn)(l1+q1 , l2+q2 , , ln+qn)是顯然的.同樣有(l1+q1 , l2+q2 , , ln+qn)(l1+k1 , l2+k2 , , ln+kn).由傳遞性即得(p1+q1 , p2+q2 , , pn+qn)(l1+k1 , l2+k2 , , ln+kn).這就證明了，nnqpnqpqpxxabx221121不可能與乘積中其他的項同類而相消，且先于其他所有的項，因而它是首項.用數學歸納法立即得出 的結論顯然包含著 多項式nnnkkkknkkkkknxxxaxxxf,21,21212121),(稱為 ，如果其中每個單項式全是 m 次的.例如412221232132

7、132),(xxxxxxxxxf是一個 4 次齊次多項式.顯然，兩個齊次多項式的乘積仍是齊次多項式,它的次數就等于這兩個多項式的次數之和.任何一個 m 次多項式 f (x1 , x2 , , xn) 都可以唯一地表示成, ),(),(02121mininxxxfxxxf其中 fi (x1 , x2 , , xn) 是 i 次齊次多項式.fi (x1 , x2 , , xn) 稱為 f (x1 , x2 , , xn)的 如果ljnjnxxxgxxxg02121),(),(是一個 l 次多項式，h(x1 , x2 , , xn) = f (x1 , x2 , , xn)g(x1 , x2 , ,

8、 xn)的 k 次齊次成分 hk (x1 , x2 , , xn) 為kjinjninkxxxgxxxfxxxh),(),(),(212121那么乘積特別地， h(x1 , x2 , , xn) 的最高次齊次成分為hm+l (x1 , x2 , , xn)= fm (x1 , x2 , , xn) gl (x1 , x2 , , xn) .由此可知，對于多元多項式，也有最后我們指出，與一元多項式一樣，多元多項式也可以看作函數的表達式.設,),(,21,21212121nnnkkkknkkkkknxxxaxxxf并設 c1 , c2 , , cn 是數域 P 中的數，我們稱nnnkkkknkkkkkncccacccf,21,21212121),(為 f (x1 , x2 , , xn) 在 x1 = c1 , x2 = c2 , , xn = cn處的值.顯然，當f (x1 , x2 , xn) + g(x1 , x2 , xn) = h(x1 , x2 , xn),f (x1 , x2 , xn) g(x1 , x2 , xn) = p