半空間飽和土中瑞利波特性

1、半空間飽和土中瑞利波特性夏唐代陳龍珠吳世明(浙江大學(xué)土木系)朱少杰丁狄剛(杭州市市政工程建設(shè)處)摘要通過對飽和土中波的運(yùn)動(dòng)方程及連續(xù)方程分析，推導(dǎo)了飽和土中瑞利波特征方程，討論了半空間飽和土中瑞利波波速度的彌散特性，以及位移和孔壓分布情況.關(guān)鍵詞飽和土，瑞利波，特征方程，彌散特性.面波法(即SASW法)是利用面波(如Rayleigh面波和Love面波)的彌散特性通過分析現(xiàn)場測試結(jié)果來反演土層參數(shù)(如土層剪力波速度等)的一種方法，具有快速測試及費(fèi)用低等優(yōu)點(diǎn)，越來越被工程界重視.以往對面波法的研究一直停留在彈性單一介質(zhì)情況1，而對二相介質(zhì)情況研究較少(如飽和土)，文獻(xiàn)2討論了流體-固體介質(zhì)中瑞利波

2、特性，但每層結(jié)構(gòu)仍為單一介質(zhì).文獻(xiàn)3、4研究了飽和土中瑞利波特性，但在建立特征方程時(shí)壓縮波勢函數(shù)只考慮一種壓縮波，從而勢函數(shù)不是問題的通解，導(dǎo)致特征方程有誤.本文將進(jìn)一步討論半空間飽和土中瑞利(Ralyeigh)波的彌散特性，根據(jù)飽和土中波動(dòng)方程及連續(xù)方程來建立瑞利波特征方程，并對半空間飽和土中瑞利波特性進(jìn)行討論.1飽和土的彈性波動(dòng)方程文獻(xiàn)5、6已對建立飽和土的彈性波動(dòng)理論作了詳細(xì)的研討.本文將僅列出其不考慮固-液慣性藕合效應(yīng)的波動(dòng)方程組.波動(dòng)方程所依據(jù)的主要假定有：(1)土骨架是理想的彈性多孔連續(xù)介質(zhì)，其中土顆粒是不可壓縮的；(2)孔隙水是可壓縮的，它在土中的流動(dòng)遵從Darcy定律或自由流動(dòng)

3、；(3)土體具有統(tǒng)一各向同性且均勻，其中孔隙相互連通.據(jù)此，飽和土體的連續(xù)性條件和平衡條件可分別表示為5式中n為孔隙度；和分別表示孔隙水和土骨架的位移矢量；Pw和Ew分別為孔隙水壓力和水的體變模量；G和是土骨架的兩個(gè)Lamb常數(shù)；1=(1-n)s,2=n，而s和w表示土顆粒和水的質(zhì)量密度(=1+2，即飽和土的質(zhì)量密度)；b=(nwg)/(),g是重力加速度，是土的滲透系數(shù).引入勢函數(shù)和1、2，則位移和可表示為應(yīng)力和水壓力也可用勢函數(shù)表示為將式(2)代入式(1)，并簡化后可得相當(dāng)?shù)姆匠探M5.其中2為Laplace算符，2飽和土中Rayleigh波彌散方程本文暫僅考慮勻質(zhì)半空間飽和土體.為了求解方

4、程(3)的平面波動(dòng)解，令.式中k為波數(shù)，c為相速度(=kc為角頻率).將式(4a)和(3c)代入(3a)和(3b)，經(jīng)化簡后得V1和V2表示飽和土中的兩壓縮波速.由式(5a)可得F1的通解，并進(jìn)一步得F2通解，最后有(無上行波)(7a),(7b)式中A1和A2為任意系數(shù)；Bj=(+2G)/(ib)(1)/(V2j)-(1)/(V2P0)+1，(j=1,2);a21=1-(c2)/(V21),a22=1-(c2)/(V22).式(7)表明膨脹勢由兩種壓縮波確定，而一般彈性土則由一種壓縮波確定.同理將(4b)代入式(3d)和(3e)可得旋轉(zhuǎn)勢1和2(無上行波)1=A3·exp(-kb1z

5、)·exp-ik(x-ct),(8a)2=(ib)/(ib-2)·A3exp(-kb1z)·exp-ik(x-ct),(8b)式中A3為任意系數(shù)，b21=1-(c2)/(V2s),而V2S由下式確定(1)/(V2S)=(1)/(V2S0)+(ib2)/(G(ib-2).(9)飽和土中瑞利波邊界條件有(1)表面透水情況：z=0處，zx=0,z+Pw=0,Pw=0. (10a)(2)表面不透水情況：z=0處，zx=0,z+Pw=0,. (10b)將勢函數(shù)代入應(yīng)力表達(dá)式(2c)(2f)，并進(jìn)一步代入式(10)，仿彈性土推導(dǎo)7可得飽和土中瑞利波彌散特征方程. 由剪切波速V

6、s(式(9)、壓縮波速V1和V2(式(6b)和(6c)及系數(shù)B1和B2的表達(dá)式知，它們受頻率和滲透系數(shù)影響可統(tǒng)一由參數(shù)w/b來反映.若引用Ishihara理論中(見文獻(xiàn)8)的特征頻率fc=ng/2，則該參數(shù)可寫成頻率比形式f/fc(無量綱).進(jìn)一步由式(11)瑞利波特征方程知，相速度c受頻率和滲透系數(shù)影響可由參數(shù)f/fc來反映.由式(11)知，方程(11)中含頻率,這與彈性半空間地基不同，即半空間飽和土中瑞利波相速度c具有頻散性.由式(11)可求出f/fc所對映的波速比值c/Vs，得相速度c，進(jìn)一步可求出式(11)的矢量(即A1、A2和A3之比值)，代入式(2)可得飽和土中位移及應(yīng)力.下面將進(jìn)

7、一步討論兩種極限情況下瑞利波特性.1.孔隙流體可以自由流動(dòng)的情況(相當(dāng)于)：由，有b0，仿上述一般情況勢函數(shù)的推導(dǎo)，可得情況下瑞利波勢函數(shù)如下式中,將上式代入式(2c)(2f)，及邊界條件(10a)(表面透水)，得瑞利波特征方程(1+b21)(+2G)a21-=4a1b1G.(13)式(13)中無頻率，即瑞利波速度c無頻散，式(13)的形式與彈性土相同，瑞利波由土骨架壓縮波(VP0)及剪切波(VS0)干涉產(chǎn)生，與流體波無關(guān).2.孔隙流體無滲流時(shí)(相當(dāng)于0)：0(如飽和粘土)時(shí)，b，仿上述推導(dǎo)，可得封閉系統(tǒng)情況下有一個(gè)P波和一個(gè)S波，,(14)瑞利波由這兩種波干涉產(chǎn)生的，其特征方程的形式與式(1

8、3)相同，波速c具有非頻散性.3算例分析這里將給出兩個(gè)算例來討論飽和土中瑞利波彌散特性，表1給出了飽和土的有關(guān)參數(shù).表1飽和土有關(guān)參數(shù)參數(shù)土骨架剪切模量 G/MPa孔隙率n土骨架質(zhì)量密度S/(kg/m3)水的質(zhì)量密度/(kg/m3)水的體變模量E/MPa算例185.00.6270010002100.0算例219.40.375270010002100.03.1算例1圖1給出了不同泊松比時(shí)剪切波速VS和瑞利波速VR(即相速度c見式(4)與頻率比f/fc的關(guān)系曲線.由圖可見，當(dāng)f/fc0.1及f/fc10時(shí)，VS和VR隨f/fc變化很小；且f/fc0時(shí)，VS和VR趨近封閉系統(tǒng)情況下剪切波速和瑞利波速

9、(見式(14)；f/fc時(shí)VS和VR趨近土骨架剪切波速VS0和瑞利波速(見式(13)，這相當(dāng)于彈性地基情況；當(dāng)0.1f/fc10時(shí)，VS和VR隨f/fc變化較大. 圖1VS、VR與f/fc關(guān)系曲線圖2為不同泊松比時(shí)壓縮波速V1和V2與f/fc關(guān)系曲線.(a),(b)分別給出了文獻(xiàn)5、6兩類模型的結(jié)果.計(jì)算表明兩模型中VR相差甚小(見表2)，這是因?yàn)閂R主要反映剪切波速VS而受壓縮波速影響很小，VS又與上兩模型無關(guān).由圖可知，第一壓縮波在區(qū)域0.1f/fc10中隨f/fc變化大；而在區(qū)域f/fc0.1和f/fc10中隨f/fc變化小，當(dāng)f/fc0時(shí)，V1趨近于封閉系統(tǒng)情況下P波速(見式(14)，

10、當(dāng)f/fc時(shí)，V1趨近于流體壓縮波速(見式(12).當(dāng)f/fc10時(shí)，第二壓縮波速V2實(shí)部逐漸減小至零，而虛部(圖中沒給出)則相應(yīng)增大(衰減快)，表明這種波此時(shí)很難激發(fā)；f/fc10時(shí)，第二壓縮波隨f/fc變化小，且f/fc時(shí)，V2趨近于土骨架壓縮波速VP0.圖2V1和V1與f/fc關(guān)系圖3a為表面透水飽和土不同泊松比時(shí)VR/VS(取實(shí)部)與f/fc的關(guān)系曲線，從圖中知，和f/fc對比值VR/VS有影響. 當(dāng)f/fc0.1時(shí)，VR/VS受和f/fc影響較小(可取為VR/VS0.945)，可以這樣分析這種現(xiàn)象，f/fc0時(shí)，壓縮波速V1主要受Ew控制(Ew遠(yuǎn)比土骨架壓縮模量大)，而受影響很小(剪

11、切波速VS與無關(guān))，因此此時(shí)VR/VS受影響很小.當(dāng)0.1f/fc10時(shí)，VR/VS受和f/fc影響較大；當(dāng)f/fc10時(shí)，VR/VS受f/fc影響較小，而受影響較大，因?yàn)閒/fc時(shí)，產(chǎn)生瑞利波的壓縮波速趨近于土骨架壓縮波速，而土骨架壓縮波速受土骨架泊松比影響.表2同時(shí)給出了文獻(xiàn)5、6兩模型結(jié)果，知兩模型結(jié)果相差甚小，可以認(rèn)為兩者相同，滿足工程精度.此外，由表2知，VR/VS的虛部很小.(a)算例1(b)算例2圖3VR/VS與、f/fc關(guān)系曲線表2表面透水時(shí)不同模型VR/VS比值(=0.23)f/fc文獻(xiàn)5VR/VS文獻(xiàn)6VR/VSf/fc文獻(xiàn)5VR/VS文獻(xiàn)6VR/VS0.0005(0.95

12、27，0.0011)(0.9518，0.0011)0.9(0.9183，0.0057)(0.9183，0.0056)0.005(0.9502，0.0035)(0.9494，0.0035)1.5(0.9172，0.0034)(0.9172，0.0034)0.01(0.9487，0.0048)(0.9479，0.0047)2.9(0.9166，0.0016)(0.9166，0.0016)0.05(0.9419，0.0095)(0.9419，0.0092)4.7(0.9163，0.0009)(0.9163，0.0009)0.1(0.9366，0.0117)(0.9363，0.0114)10.2(0.

13、9161，0.0004)(0.9161，0.0004)0.5(0.9210，0.0090)(0.9211，0.0089)圖4為表面透水時(shí)與表面不透水時(shí)飽和土中VR/VS與和f/fc的關(guān)系.由圖中可知，兩種情況下VR/VS都受和f/fc影響，且比值也各不相同.但表面不透水時(shí)，當(dāng)f/fc0.1，VR/VS隨及f/fc影響很小(可取為0.95)；當(dāng)f/fc0.1，VR/VS隨f/fc變化大，且f/fc時(shí)，VR/VS比透水情況小.當(dāng)然f/fc增大，相當(dāng)于滲透系數(shù)增大，此時(shí)表面不透水一般與實(shí)際不相符合. 圖4表面透水與不透水時(shí)VR/VS與及f/fc關(guān)系圖5為表面透水時(shí)，不同f/fc情況下土骨架及孔隙水的

14、位移幅值分布，位移幅值采用表面質(zhì)點(diǎn)豎直向土骨架及孔隙水位移的無量綱化，深度采用波長L的無量綱比.由圖可知，f/fc小時(shí)，土骨架位移與水相位移相差很小，這與f/fc減小趨近于封閉系統(tǒng)相符(此時(shí)土骨架位移與水相相同)，此時(shí)位移的虛部很小，與實(shí)部相差數(shù)個(gè)數(shù)量級(jí)；f/fc增大，土骨架位移與水相位移差異增大.土骨架及水相位移分布形態(tài)與彈性土相似1，水平向位移在一定深度外變?yōu)樨?fù)數(shù)，位移隨深度衰減快，有效傳播深度約1.5倍瑞利波波長.圖5土骨架及水相位移分布圖6為不同f/fc時(shí)，表面透水情況下孔隙水壓力Pw分布，Pw采用最大孔隙水壓力無量綱化，深度采用瑞利波長L無量綱化.由圖可知，Pw隨深度衰減快.圖6孔隙

15、水壓力分布3.2算例2本算例給出了不同孔隙率n及剪切模量G時(shí)VR/VS與和f/fc關(guān)系，圖3(b)為它們的關(guān)系曲線.由圖3(b)知，比值VR/VS受和f/fc影響，其規(guī)律與算例1相同.對于其它結(jié)論都與算例1相同.4結(jié)論本文通過對半空間飽和土瑞利波彌散特性研究，得出如下結(jié)論：(1)半空間飽和土中剪切波速VS、壓縮波速V1和V2及瑞利波速VR都具有彌散性.當(dāng)f/fc0.1和f/fc10時(shí)，VS、V1、V2和VR受f/fc影響很?。籪/fc0時(shí)，VS、V1和VR趨于飽和封閉系統(tǒng)情況的剪切波速、壓縮波速和瑞利波速，而V2趨于零；f/fc時(shí)，VS、V2和VR趨于土骨架的剪切波速、壓縮波速和瑞利波速，而V

16、1趨于水相壓縮波速；0.1f/fc10時(shí)，VS、V1和VR受f/fc影響較大.(2)飽和土中表面透水與不透水時(shí)，比值VR/VS都受土骨架泊松比和f/fc影響.當(dāng)f/fc0.1時(shí)，VR/VS受和f/fc影響較?。划?dāng)0.1f/fc10時(shí)，VR/VS受和f/fc影響較大；當(dāng)f/fc10時(shí)，VR/VS受f/fc影響較小，而受影響較大.(3)飽和土中瑞利波沿深度衰減快，有效傳播深度為1.5倍波長左右，土骨架位移和水相位移在f/fc小時(shí)相接近，f/fc增大差異相應(yīng)增大.瑞利波引起的孔隙水壓力Pw沿深度衰減較快.*本文于1996年元月16日收到，系國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目。參考文獻(xiàn)1夏唐代.地基中表面波特性

17、及其應(yīng)用：學(xué)位論文.杭州：浙江大學(xué)，1992.2夏唐代，吳世明.流體固體介質(zhì)中瑞利波特性.水利學(xué)報(bào)，1994，(1).3Jones J P.Rayleigh wave in a porous elastic saturated soild.J.Acoust.Soc Am.,1961,l33:(959-962).4Chiang C M. Mostafa A F Waveinduced responses in a fluidfilled poroelastic soild with a free surface boundary layer theory.Geophys.J.R.Astr.Soc.,1981,l66:(597-631).5陳龍珠.飽和土中彈性