對(duì)不等式選講的認(rèn)識(shí)與思考

1、袁羋蝕螁膀芇莀羇肆芆蒂蝿羂芅薄羅袈蒞蚇螈膆莄莆薀肂莃葿螆肈莂蟻蕿羄莁莁襖袀莀蒃蚇腿荿薅袂肅荿蚈蚅羈蒈莇袁袇蕆蒀蚄膅蒆薂衿膁蒅螄螞肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈羆膈聿莈螈肄膈蒀羄羀膇薃螇袆膇蚅薀芅膆蒅螅膁膅薇蚈肇膄蠆袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂膇芁薄蚄肅芁蚆袀罿芀莆蚃裊艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羇肆芆蒂蝿羂芅薄羅袈蒞蚇螈膆莄莆薀肂莃葿螆肈莂蟻蕿羄莁莁襖袀莀蒃蚇腿荿薅袂肅荿蚈蚅羈蒈莇袁袇蕆蒀蚄膅蒆薂衿膁蒅螄螞肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈羆膈聿莈螈肄膈蒀羄羀膇薃螇袆膇蚅薀芅膆蒅螅膁膅薇蚈肇膄蠆袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂膇芁薄蚄肅芁蚆袀罿芀莆蚃裊艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羇肆芆蒂蝿羂芅薄羅袈蒞蚇螈膆莄莆薀肂莃葿螆肈莂蟻蕿羄莁莁襖袀莀蒃蚇腿荿薅袂

2、肅荿蚈蚅羈蒈莇袁袇蕆蒀蚄膅蒆薂衿膁蒅螄螞肇蒄蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈羆膈聿莈螈肄膈蒀羄羀膇薃螇袆膇蚅薀芅膆蒅螅膁膅薇蚈肇膄蠆袃羃膃荿蚆衿膂蒁袂膇芁薄蚄肅芁蚆袀罿芀莆蚃裊艿薈羈袁羋蝕螁膀芇莀羇肆芆蒂蝿羂芅薄羅袈蒞蚇螈膆莄莆薀肂莃葿螆肈莂蟻蕿羄莁莁 對(duì)不等式選講的認(rèn)識(shí)與思考1不等式選講構(gòu)成的背景及其定位眾所周知，不等式一直在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中占有相當(dāng)?shù)奈恢?，也一直是高考中的必考?nèi)容，但由于“不等式的證明”所涉及到的復(fù)雜變換技巧和過(guò)于形式化的知識(shí)特點(diǎn)，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)了一定的困難，因此，近些年來(lái)，不等式內(nèi)容有逐漸淡化處理的傾向。例如，1963年制定的全日制數(shù)學(xué)教學(xué)大綱在我國(guó)數(shù)學(xué)教育史上首次提出要培養(yǎng)學(xué)生的“三

3、大能力”（計(jì)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力），根據(jù)該大綱編寫的高中數(shù)學(xué)教材（普遍認(rèn)為是建國(guó)以來(lái)編寫得最好的一套教材）對(duì)不等式學(xué)習(xí)的要求較高；1978年制定的全日制十年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，首次提出了“逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力”，對(duì)不等式學(xué)習(xí)的要求有增無(wú)減；1986年，國(guó)家教委按照“適當(dāng)降低難度、減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)、教學(xué)要求盡量明確具體”的三項(xiàng)原則制定了全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，對(duì)不等式學(xué)習(xí)的要求開始降低，特別是對(duì)“不等式的證明”只要求會(huì)用重要不等式證明或求解一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；伴隨著90年代“素質(zhì)教育”的大力提倡，被認(rèn)為“繁難”的不等式證明最終以“選修”教材的形式出現(xiàn)。總的來(lái)說(shuō)，不等式問(wèn)題

4、的處理逐漸呈現(xiàn)出淡化理論闡述與推導(dǎo)、減少恒等變換的技巧訓(xùn)練的趨勢(shì)。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）對(duì)不等式的處理分為兩個(gè)部分：一是必修模塊數(shù)學(xué)5中的一元二次不等式、二元一次不等式組以及基本不等式，重在強(qiáng)調(diào)不等式的現(xiàn)實(shí)背景和實(shí)際應(yīng)用，把不等式作為描述、刻畫優(yōu)化問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型；二是選修系列4中的專題5“不等式選講”，涉及的內(nèi)容仍然大都是基礎(chǔ)性的不等式知識(shí)，如，含有絕對(duì)值的不等式、不等式的基本證明方法、幾個(gè)重要的不等式等。特別值得注意的是，“不等式選講”仍屬于高等院校招生考試的命題范圍。而且，考慮到不等式在高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)性和工具性特點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)在“不等式選講”中增加了“柯西不等式”、“排序不等式”、

5、“貝努利不等式”等幾個(gè)重要不等式的內(nèi)容，并特別強(qiáng)調(diào)這些不等式的幾何背景知識(shí)的介紹，意在增強(qiáng)學(xué)生對(duì)不等式本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。2新增內(nèi)容的特點(diǎn)及其設(shè)列意向“不等式選講”中真正能稱得上是新增內(nèi)容的實(shí)質(zhì)上只有柯西不等式和排序不等式，貝努利不等式作為數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用算不上是新內(nèi)容，而排序不等式的去留又一直存在著爭(zhēng)議。這樣，柯西不等式就成為本專題的一大特色內(nèi)容。鑒于此，此處僅重點(diǎn)討論一下柯西不等式的特點(diǎn)及其設(shè)列意向，順便介紹排序不等式的大概情況。一般來(lái)講，柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“留數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為Cauch

6、-Buniakowsky-Schwarz不等式，因?yàn)椋呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，并將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。這也說(shuō)明，柯西不等式主要是作為數(shù)學(xué)分析的重要工具受到關(guān)注的。但真正能顯示其魅力的還在于它與高等代數(shù)中的內(nèi)積空間的密切聯(lián)系，即任意兩個(gè)向量的夾角的余弦，于是，這就是柯西不等式的向量形式，如果設(shè)，容易得到?？梢哉f(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)將柯西不等式列為“不等式選講”的重要內(nèi)容，正是看中它的這一數(shù)學(xué)背景?？挛鞑坏仁降南蛄啃问綄?shù)學(xué)中的兩個(gè)重要概念長(zhǎng)度和角度（只考慮長(zhǎng)度又如何？）內(nèi)在地統(tǒng)一起來(lái)處理，一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性和美感，作為中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容很有必要（多個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)教材中也早

7、已采用）。但考慮到中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)際情況以及當(dāng)前課程改革的基本理念，柯西不等式的呈現(xiàn)仍不宜過(guò)難，基本上應(yīng)以二維形式為主，即重點(diǎn)研究及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，而且還應(yīng)淡化過(guò)于技巧化的式的變換。關(guān)于不等式的證明及其幾何背景（1）由于 =從而，又非負(fù)所以，。（2）證明 幾何背景：如圖，在三角形中，則 Q（c，d） O P（a，b）將以上三式代入余弦定理，并化簡(jiǎn)，可得 或因?yàn)?，所以，于?. 教材編寫和教學(xué)過(guò)程重點(diǎn)則應(yīng)放在柯西不等式的幾何解釋、向量背景以及實(shí)際應(yīng)用上?？挛鞑坏仁降南嚓P(guān)內(nèi)容簡(jiǎn)介（1） 赫爾德(Holder)不等式 當(dāng)時(shí)，即為柯西不等式。因此，赫爾德不等式是柯西不等式更為一般的形式，在分析學(xué)中有著較

8、為廣泛的應(yīng)用。（2） 平面三角不等式（柯西不等式的等價(jià)形式） 可以借助其二維形式來(lái)理解，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，很容易驗(yàn)證這一不等式的正確性。該不等式的一般形式 稱為閔可夫斯基（Minkowski）不等式。它是由閔可夫斯基在對(duì)n維空間中的對(duì)稱凸幾何體定義了一種“距離”的基礎(chǔ)上得到的，即對(duì)于點(diǎn)，定義其距離為 .閔可夫斯基立足于這一不等式確立了相應(yīng)的幾何，建立了一種類似于現(xiàn)代度量空間的理論，即實(shí)變函數(shù)中的賦范空間基礎(chǔ)。這從另一個(gè)側(cè)面體現(xiàn)了柯西不等式的豐富數(shù)學(xué)背景。排序不等式的設(shè)列意向及其基本思想排序不等式還從來(lái)沒(méi)有作為正式內(nèi)容進(jìn)入中學(xué)教材。標(biāo)準(zhǔn)之所以將其作為重要不等式提出來(lái)，主要是看中了其

9、蘊(yùn)含的一種重要數(shù)學(xué)思想排序思想。如所知，在解各種涉及到若干個(gè)可以比較大小的對(duì)象（如實(shí)數(shù)、線段、角度等）的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果根據(jù)對(duì)稱性，假定他們按一定的順序排列起來(lái)，往往能使問(wèn)題迎刃而解。這就是數(shù)學(xué)中的排序思想?？梢越柚粋€(gè)幾何問(wèn)題來(lái)認(rèn)識(shí)排序不等式。 Bn設(shè)（常數(shù)），在邊上順次取n Bj個(gè)點(diǎn)，在邊上順次取n個(gè)點(diǎn) B1.將任意兩個(gè)點(diǎn)連結(jié)，得到 O A1 Ai An ，這樣一共可以搭配成n個(gè)三角形。顯然，搭配的方式不同，得到的三角形不同，面積也就可能不一樣。問(wèn)：如何搭配，才能使得到的n個(gè)三角形面積的總和最大？最?。坎环猎O(shè)由題設(shè)知 （1） （2）因?yàn)?，而是常?shù)。于是，上述幾何問(wèn)題就歸結(jié)為下面的代數(shù)問(wèn)題：

10、在數(shù)組（1）中取定，然后在數(shù)組（2）中任取，得乘積；再取及作乘積；類似地，得乘積。這n個(gè)乘積的和是 + + 問(wèn)怎樣安排，使這個(gè)和最大或最小。這個(gè)問(wèn)題的解就是下面的排序不等式。一般地，設(shè)有兩組正數(shù)與，且，. 若將兩組中的數(shù)一對(duì)一相乘后再相加，則其和同序時(shí)最大，倒序時(shí)最小.即 其中是的任一個(gè)排列，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立。其證明一般采用“逐步調(diào)整法”進(jìn)行，教材對(duì)此不作要求，但要會(huì)用“向量遞歸方法”討論這一不等式成立的事實(shí)。排序不等式也有廣泛的應(yīng)用，許多重要的不等式（如柯西不等式、平均不等式等）都可以由它推得。此外，它在涉及最優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)際生活中也是重要的解決工具。不等式選講標(biāo)準(zhǔn) 在自然界中存在著大量的

11、不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系。它們?cè)跀?shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用。本專題將介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學(xué)歸納法和它的簡(jiǎn)單應(yīng)用。本專題特別強(qiáng)調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學(xué)生對(duì)這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析解決問(wèn)題的能力。內(nèi)容與要求1 回顧和復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)和基本不等式。2 理解絕對(duì)值的幾何意義，并能利用絕對(duì)值不等式的幾何意義證明以下不等式： （1）；（2）. （3）會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式： ；.3 認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義。（1） 證明：柯西不等式向量形式：（2） 證明

12、：.（3） 證明：4 用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況：5 用向量遞歸方法討論排序不等式。6 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。7 會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：了解當(dāng)n為大于1的實(shí)數(shù)時(shí)貝努利不等式也成立。8 會(huì)用上述不等式證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。9 通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。 10完成一個(gè)學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告。說(shuō)明與建議1在本專題教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解重要的不等式都有深刻的數(shù)學(xué)意義和背景，例如本專題給出的不等式大都有明確的幾何背景。學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)該把握這些

13、幾何背景，理解這些不等式的實(shí)質(zhì)。2利用代數(shù)恒等變換以及放大、縮小方法是證明不等式的常用方法，例如，比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等，在很多情況下需要一些前人為我們創(chuàng)造的技巧，對(duì)于專門從事某些數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究的人們掌握這些技巧是極為重要的。但是，對(duì)大多數(shù)學(xué)習(xí)不等式的人來(lái)說(shuō)，常常很難從這些復(fù)雜的代數(shù)恒等變換中看到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對(duì)他們更為重要的是理解這些不等式的數(shù)學(xué)思想和背景。所以，本專題盡力使用幾何或其他方法來(lái)證明這些不等式，使學(xué)生較為容易地理解這些不等式以及證明的數(shù)學(xué)思想，不對(duì)恒等變換的難度特別是一些技巧作更多的要求，不希望不等式的教學(xué)陷在過(guò)于形式化的和復(fù)雜的恒等變換的技巧之中。要求教材的編寫

14、者和教師不要選擇那些代數(shù)恒等變換比較復(fù)雜或過(guò)于技巧化的問(wèn)題或習(xí)題。3數(shù)學(xué)歸納法是重要的數(shù)學(xué)思想方法，教師應(yīng)通過(guò)對(duì)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題的分析，幫助學(xué)生掌握這種思想方法。在利用數(shù)學(xué)歸納法解決問(wèn)題時(shí)，常常需要進(jìn)行一些代數(shù)恒等變換。要求教材的編寫者和教師不要選擇那些代數(shù)恒等變換比較復(fù)雜或過(guò)于技巧化的問(wèn)題或習(xí)題，以免沖淡了對(duì)數(shù)學(xué)歸納法思想的理解。不等式選講標(biāo)準(zhǔn)解讀一、設(shè)置“不等式選講”專題的意義同等量關(guān)系一樣，不等量關(guān)系也是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系，他們不僅在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在，而且在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中也起著重要的作用。本專題將介紹一些重要不等式（柯西、排序、貝努利）和他們的證明，數(shù)學(xué)歸納法和它

15、的簡(jiǎn)單應(yīng)用。本專題強(qiáng)調(diào)不等式的幾何意義及其背景，旨在加深學(xué)生對(duì)這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析解決問(wèn)題的能力。本專題的內(nèi)容是以初中課程為起點(diǎn)的。要求學(xué)生從幾何意義和背景出發(fā)來(lái)理解不等式及其數(shù)學(xué)本質(zhì)，要避免過(guò)多的代數(shù)恒等變形，不要對(duì)恒等變形的難度特別是一些技巧作更多的要求，不等式的教學(xué)不要陷入過(guò)與形式化和復(fù)雜的恒等變換的技巧當(dāng)中。數(shù)學(xué)歸納法是重要的數(shù)學(xué)思想方法，同樣不應(yīng)陷于復(fù)雜的恒等變換之中，沖淡對(duì)數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的理解。本專題與高中課程中的必修內(nèi)容沒(méi)有必然聯(lián)系，無(wú)需以他們作為預(yù)備知識(shí)。當(dāng)然，如果學(xué)過(guò)上述內(nèi)容，特別是數(shù)學(xué)必修4、必修5，對(duì)本專題可以更好的理解。二、本專題的主

16、要內(nèi)容和基本思想本專題中的重要不等式主要涉及絕對(duì)值不等式、柯西不等式、貝努利不等式和排序不等式，以及比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等不等式證明的的基本方法。其中，貝努利不等式的證明將很自然地和數(shù)學(xué)歸納法聯(lián)系在一起。絕對(duì)值有著很明確的幾何意義，即數(shù)軸上坐標(biāo)為的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。利用絕對(duì)值的幾何意義，可以很好地證明和求解一些基本的含絕對(duì)值的不等式。比如，不等式的解就可以直接理解為數(shù)軸上滿足到坐標(biāo)為的點(diǎn)的距離與到坐標(biāo)為的點(diǎn)的距離之和大于等于的點(diǎn)的坐標(biāo)，而上述距離之和的最小值顯然為（在，之間的點(diǎn)取到），因此，不等式的解取決于與的大小關(guān)系。用類似的方法也不難證明，實(shí)際上只需要注意到，在數(shù)軸上的位置

17、關(guān)系即可?？挛鞑坏仁绞怯兄苤匾臄?shù)學(xué)背景的不等式，在許多領(lǐng)域當(dāng)中，都能夠看到它的影子。配方法是證明柯西不等式最直接的簡(jiǎn)單方法（包括證明柯西不等式的一般情形），平面三角不等式是柯西不等式的等價(jià)形式。如果從向量的角度來(lái)看，任意兩個(gè)向量的夾角的余弦，于是，這就是柯西不等式的向量形式。排序不等式也是應(yīng)用范圍比較廣泛的不等式，我們也可以利用它來(lái)證明柯西不等式。貝努利不等式是一個(gè)很重要的不等式，在很多方面有著廣泛的應(yīng)用。用數(shù)學(xué)歸納法證明它簡(jiǎn)單明了。數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于自然數(shù)的有關(guān)命題的重要方法，本質(zhì)上是一個(gè)原理?？傮w來(lái)看，數(shù)學(xué)歸納法有兩個(gè)重要步驟構(gòu)成：首先是奠基步，這往往比較容易，但卻是必需的；然后需要

18、有一個(gè)一般意義的演繹規(guī)則，按照這個(gè)演繹規(guī)則，反復(fù)應(yīng)用，從奠基步開始，在有限步之內(nèi)達(dá)到任意指定的情形。通常，這個(gè)一般意義的演繹規(guī)則是從所謂的歸納假設(shè)開始，從較小的規(guī)模成立的假設(shè)推導(dǎo)出較大規(guī)模的情形也成立，從而建立一個(gè)一般的演繹規(guī)則。一般所謂的第一數(shù)學(xué)歸納法，就是在假設(shè)P(k-1)成立的前提下，得到P(k)也成立。第二數(shù)學(xué)歸納法則是從P(k)到P(k)。靈活應(yīng)用以上原則，即可得到更多的數(shù)學(xué)歸納法的不同形式，有時(shí)根據(jù)演繹規(guī)則的需要，奠基步也會(huì)有相應(yīng)的變化，比如所謂“跳步”數(shù)學(xué)歸納法和“倒序”數(shù)學(xué)歸納法。我們用具體問(wèn)題說(shuō)明如下。用數(shù)學(xué)歸納法證明：一個(gè)正方形可以劃分為n個(gè)小正方形（不一定全等），其中n=4或n7.首先，當(dāng)n=4,7,8,9時(shí)，有如下分法：一分為四、一分為四后將其中一份再一分為四、第一行第一列分出七個(gè)相等的正方形、三等分成九個(gè)正方形。然后，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，我們來(lái)說(shuō)明n=k+3時(shí)命題也成立。實(shí)際上，只需要注意到上述n=4時(shí)的情形，再將其中一個(gè)小正方形根據(jù)假設(shè)劃分為k個(gè)更小的正方形，于是n=k+3時(shí)命題也成立。這就是所謂的“跳步”數(shù)學(xué)歸納法。下面再以平均值不等式的證明為例，來(lái)說(shuō)明“倒序”數(shù)學(xué)歸納法。我們熟知平均值不等式指的是：對(duì)任意n個(gè)正數(shù)都有 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。當(dāng)n=2時(shí)，不等式是顯然成立的，由此，不難由第一數(shù)學(xué)歸納法歸納得到，對(duì)任