正態(tài)分布講解(含標(biāo)準(zhǔn)表)

1、.24正態(tài)分布復(fù)習(xí)引入：總體密度曲線 : 樣本容量越大， 所分組數(shù)越多， 各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線, 這條曲線叫做總體密度曲線 頻率 /組距總體密度曲線O單位ab它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率根據(jù)這條曲線， 可求出總體在區(qū)間( a，b) 內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b 及 x 軸所圍圖形的面積觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示：1( x) 2( x)e 22,),2, x

2、(式中的實數(shù)、 (0) 是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，, (x) 的圖象為正態(tài)分布密度曲線, 簡稱正態(tài)曲線講解新課：.一般地，如果對于任何實數(shù) ab ，隨機(jī)變量 X 滿足P(aX B)b, (x)dxa,則稱 X的分布為 正態(tài)分布 （normal distribution ) 正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作 N(, 2 ) 如果隨機(jī)變量X 服從正態(tài)分布，則記為XN( ,2 ) .經(jīng)驗表明，一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布例如，高爾頓板試驗中，小球在下落過程中要與眾多小木塊發(fā)生碰撞，每次碰撞的結(jié)果使得小球隨機(jī)地

3、向左或向右下落，因此小球第1 次與高爾頓板底部接觸時的坐標(biāo)X 是眾多隨機(jī)碰撞的結(jié)果，所以它近似服從正態(tài)分布在現(xiàn)實生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布例如長度測量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等）；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布因此，正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實際之中正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要的地位說明 :1 參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去佑計；是衡量

4、隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計2.早在 1733 年，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗就用 n！的近似公式得到了正態(tài)分布之后，德國數(shù)學(xué)家高斯在研究測量誤差時從另一個角度導(dǎo)出了它，并研究了它的性質(zhì)，因此，人們也稱正態(tài)分布為高斯分布2正態(tài)分布N (,2 ) ）是由均值和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布通過固定其中一個值，討論均值與標(biāo)準(zhǔn)差對于正態(tài)曲線的影響.3通過對三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱正態(tài)曲線的作圖，書中沒有做要求，教師也不必補(bǔ)上講課時教師可以應(yīng)用幾何畫板，形象、美觀地畫出三條正態(tài)曲線的圖形，結(jié)合前面均值與標(biāo)準(zhǔn)差對圖形的影響，引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì)

5、4正態(tài)曲線的性質(zhì)：（1）曲線在 x 軸的上方，與x 軸不相交（2）曲線關(guān)于直線x=對稱（3）當(dāng) x=時，曲線位于最高點（4）當(dāng) x 時，曲線上升（增函數(shù)）；當(dāng)x時，曲線下降（減函數(shù)）并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x 軸為漸近線，向它無限靠近（ 5）一定時，曲線的形狀由確定越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越小曲線越“瘦高”總體分布越集中：五條性質(zhì)中前三條學(xué)生較易掌握，后兩條較難理解，因此在講授時應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的原則，采用對比教學(xué)5 標(biāo) 準(zhǔn)正態(tài) 曲 線 : 當(dāng) =0 、 =l時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總 體，其相應(yīng) 的函數(shù)表示式是1x 2f ( x)e 2 ，（ - x +）2其相應(yīng)的曲

6、線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體 N（ 0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位 任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題.講解范例：例 1給出下列三個正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請找出其均值和標(biāo)準(zhǔn)差1x2（） f ( x)e 2 , x ( , )2（）（）1( x 1) 2f ( x)e8 , x (,)22f ( x)2e 2( x 1)2 , x(,)2答案： (1)0 ， 1；(2)1 ，2； (3)-1，0.5例 2 求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在（-1 ， 2 ）內(nèi)取值的概率解：利用等式p(x2 )( x1 ) 有p(2)(1)(2)11= (2)(1)1 =0.9772 0.8413

7、1=0.8151 1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率問題:yx對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1），(x0 ) 是總體取值小于x0 的概率，即( x0 )P(xx0 ) ，其中 x00 ，圖中陰影部分的面積表示為概率P( x x0 )只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可查表解決. 從圖中不難發(fā)現(xiàn) : 當(dāng) x00 時， (x0 ) 1(x0 ) ；而當(dāng) x00 時，（ 0）=0.52. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N (0,1) 在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分 布 表 ” 在 這 個 表 中 ， 對 應(yīng) 于 x0 的 值( x0 ) 是 指 總 體 取 值 小 于 x0 的 概 率 ， 即( x0

8、 ) P( x x0 ) ， (x0 0) .若 x00 ，則 ( x0 ) 1( x0 ) 利用標(biāo)準(zhǔn) 正態(tài)分 布表， 可以求 出標(biāo)準(zhǔn) 正態(tài) 總體 在任意 區(qū)間 (x1 , x2 ) 內(nèi)取 值的概率 ，即直 線xx1 ， xx2 與正態(tài)曲線、x 軸所圍成的曲邊梯形的面積P(x1xx2 )(x2 )(x1) 3非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在某區(qū)間內(nèi)取值的概率: 可以通過F ( x)( x) 轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體， 然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可在這里重點掌握如何轉(zhuǎn)化首先要掌握正態(tài)總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，然后進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化4. 小概率事件的含義發(fā)生概率一般不超過5的事件，即事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生假設(shè)檢驗方法的基本思

9、想: 首先，假設(shè)總體應(yīng)是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗中發(fā)生的原理對試驗結(jié)果進(jìn)行分析假設(shè)檢驗方法的操作程序，即“三步曲”一是提出統(tǒng)計假設(shè)，教科書中的統(tǒng)計假設(shè)總體是正態(tài)總體；二是確定一次試驗中的a 值是否落入 ( -3 ， +3) ；三是作出判斷講解范例：例 1.若 x N(0,1),求 (l)P(-2.32x 2).解： (1) (-2.32x2)=1-P( x2)=1-(2)=l-0.9772=0.0228.例 2 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在下面區(qū)間取值的概率：(1) 在 N(1,4) 下，求 F (3)（2）在 N（， 2 ）下，求（，）；（ 1.84

10、 ， 1.84 ）；（2， 2）；（ 3， 3）解：（） F (3)( 31) （ 1） 0.84132（）（）() （ 1） 0.8413（）() （ 1）（1） 0.8413 0.1587（，）（）（）0.8413 0.1587 0.6826（ 1.84 ， 1.84 ）（ 1.84 ）（ 1.84 ） 0.9342 （ 2， 2）（ 2）（ 2） 0.954（ 3， 3）（ 3）（ 3） 0.997 對于正態(tài)總體 N ( , 2 ) 取值的概率：.68.3%x95.4%x99.7%x2 4 6在區(qū)間（ - ， +）、（ -2， +2）、（ -3 ， +3）內(nèi)取值的概率分別為68.3%、9

11、5.4%、99.7% 因此我們時常只在區(qū)間（-3 ， +3）內(nèi)研究正態(tài)總體分布情況，而忽略其中很小的一部分例 3某正態(tài)總體函數(shù)的概率密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為1，求總體落入?yún)^(qū)間 （21.2 ，0.2 ）之間的概率1( x)2e 22, x ( ,) ，它是偶函數(shù)，說明解：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是f ( x)20， f (x) 的最大值為 f () 1，所以 1，這個正態(tài)分布就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布2P( 1.2 x 0.2)(0.2)(1.2)(0.2) 1(1.2)(0.2)(1.2)1教學(xué)反思：1在實際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布在上一節(jié)課我們研究了當(dāng)樣本容量無限增大時，

12、頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線，總體密度曲線較科學(xué)地反映了總體分布但總體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象，學(xué)生不易理解，因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中是最基本、最重要的一種分布2正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式來表述的其密度函數(shù)可寫成：( x)2f ( x)12e 2, x ( , ) ， （ 0）2由此可見，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的常把它記為 N ( ,2 )3從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=，并在 x=時取最大值從 x=點開始，曲線向正負(fù)兩個方向遞減延伸，不斷逼近x 軸，但永不與 x 軸相交，因此說曲線在

13、正負(fù)兩個方向都是以 x 軸為漸近線的4通過三組正態(tài)分布的曲線，可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征。由于正態(tài)分布是由其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的，因此從某種意義上說，正態(tài)分布就有好多好多，這給我們深入研究帶來一定的困難但我們也發(fā)現(xiàn)，許多正態(tài)分布中，重點研究N（ 0， 1），其他的正態(tài)分布都可以通過xF ( x)() 轉(zhuǎn)化為 N（0，1），我們把 N（ 0，1）稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為11x2F ( x)e 2， x（ - ， +），從而使正態(tài)分布的研究得以簡化。結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，2歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的作圖較難，教科書沒做要求，授課時可以借助幾何畫板作圖，學(xué)生只要

14、了解大致的情形就行了，關(guān)鍵是能通過正態(tài)曲線，引導(dǎo)學(xué)生歸納其性質(zhì)。.附表附表 1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表x0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.500 00.504 00.508 00.512 00.516 00.519 90.523 90.527 90.531 90.535 90.10.539 80.543 80.547 80.551 70.555 70.559 60.563 60.567 50.571 40.575 30.20.579 30.583 20.587 10.591 00.594 80.598 70.602 60.606 40.610 3

15、0.614 10.30.617 90.621 70.625 50.629 30.633 10.636 80.640 40.644 30.648 00.651 70.40.655 40.659 10.662 80.666 40.670 00.673 60.677 20.680 80.684 40.687 90.50.691 50.695 00.698 50.701 90.705 40.708 80.712 30.715 70.719 00.722 40.60.725 70.729 10.732 40.735 70.738 90.742 20.745 40.748 60.751 70.754 90

16、.70.758 00.761 10.764 20.767 30.770 30.773 40.776 40.779 40.782 30.785 20.80.788 10.791 00.793 90.796 70.799 50.802 30.805 10.807 80.810 60.813 30.90.815 90.818 60.821 20.823 80.826 40.828 90.835 50.834 00.836 50.838 91.00.841 30.843 80.846 10.848 50.850 80.853 10.855 40.857 70.859 90.862 11.10.864

17、30.866 50.868 60.870 80.872 90.874 90.877 00.879 00.881 00.883 01.20.884 90.886 90.888 80.890 70.892 50.894 40.896 20.898 00.899 70.901 51.30.903 20.904 90.906 60.908 20.909 90.911 50.913 10.914 70.916 20.917 71.40.919 20.920 70.922 20.923 60.925 10.926 50.927 90.929 20.930 60.931 9.1.50.933 20.934

18、50.935 70.937 00.938 20.939 40.940 60.941 80.943 00.944 11.60.945 20.946 30.947 40.948 40.949 50.950 50.951 50.952 50.953 50.953 51.70.955 40.956 40.957 30.958 20.959 10.959 90.960 80.961 60.962 50.963 31.80.964 10.964 80.965 60.966 40.967 20.967 80.968 60.969 30.970 00.970 61.90.971 30.971 90.972 60.973 20.973 80.974 40.975 00.975 60.976 20.976 72.00.977 20.977 80.978 30.978 80.979 30.979 80.980 30.980 80.981 20.981 72.10.982 10.982 60.983 00.983 40.983 80.984 20.984 60.985 00.985 40.985 72.20.986 10.986 40.986 80.987 10.987 40.987 80.988 10.988 4