正態(tài)分布性質(zhì)研究

1、.正態(tài)分布性質(zhì)正態(tài)分布定義 ：若隨機變量 服從一個位置參數(shù)為 、尺度參數(shù)為 的概率分布，且其 概率密度函數(shù) 為21（ x- ）F(x)=exp （-2）?2?2?則這個隨機變量就稱為 正態(tài)隨機變量 ，正態(tài)隨機變量服從的分布就稱為正態(tài)分布，記作，讀作服從，或 服從正態(tài)分布。正態(tài)分布可以寫成自然指數(shù)分布族分布形式1（x- ）21? 22F(x ；?)=exp （ -）=exp （?22-2 -2）?2?2?2?2?2?= 122exp （ -?2 ）exp （ 2x -?2）?2?2?2?22其中 =2，（?）= ?2 ，h（x）=1exp （-?2 ）?2?2?2?則正態(tài)分布族屬于自然指數(shù)分布族

2、。正態(tài)分布數(shù)字特征+1（ x- ）2?（）dx（1） 正態(tài)分布的期望： E（X）=-2?2- ?2?exp1+2=（+- ?t）? 2 dt2?- 221+? +-=- ?dt+? 2?2 dt2?-2? - =+(?-2(2)D(X)= ?) f(x)dx-=+(?-2?)f(x)dx-+21（ x- ）2=）dx(?- ?) *exp （-2?2- ?2?令 ?-?=t,得?22+?2-D(X)=?dt2? 2- 222-?+-?）-+dt)=（-? 2+? 22?2- ?=0+2? 2?2=?;.正態(tài)分布的圖形性質(zhì)（ 1） 變換：正態(tài)分布有兩個參數(shù)， 即均值和標(biāo)準(zhǔn)差 ，可記作 N（，）：

3、均值決定正態(tài)曲線的中心位置，標(biāo)準(zhǔn)差 決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度。若固定，而改變 的值，則當(dāng) x=時， f（x）=1。由此可知，?2?越小，曲線越陡峭； 越大，曲線越扁平。f（ x）OX（ 2） 變換： 為了便于描述和應(yīng)用， 常將正態(tài)變量做數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。 是正態(tài)分布的位置參數(shù)，描述正態(tài)分布的集中趨勢位置。 正態(tài)分布以 x=為對稱軸，左右完全對稱。當(dāng)恒定后，而改變的值，則 f （x）的圖形沿 x 平行移動，但不改變其形狀。 越大，則曲線沿橫軸向右移動； 反之，越小，則曲線沿橫軸向左移動。正態(tài)分布的均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，均等于。正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降（ 3） 曲線 y=

4、f （x）在 x= +處有拐點且曲線 y=f （x）以 OX軸為漸近線，無限逼近。;.（ 4） 在正態(tài)曲線下方和x 軸上方范圍內(nèi)區(qū)域面積始終為1。3原則：P（- <X +）=68.3%P（-2 <X +2）=95.4%P（-3 <X +3）=99.7%2在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N（， ）的隨機變量只?。?- 3， +3）之間的值，并稱為3原則。正態(tài)分布的線性性質(zhì)（ 1） XN(0，1),Y=-X, 則 YN(0， 1)證： Y 的分布函數(shù) F（ y）可表示為：F（y）=P(Yy)=P(-X y)=P(X -y )=1- （ -y ）=1-1- (y)= (y)故 Y

5、N(0，1)222)(2) 設(shè)隨機變量 xN（， ?），當(dāng) b0 時有 Y=a+bxN(a+b, ?證明：令 Z=?- （ a+b ）|?|?+?-(?+?)?-?當(dāng) b>0 時， Z=? ? 2 2故 ZN(0，1), 從而 YN(a+b , ?)?+?-(?+?)?-?當(dāng) b<0 時， Z=-()-? ?根據(jù)性質(zhì)（ 1），因為 ?-? N(0 ，1) ，所以 ZN(0，1)? 2 2則 YN(a+b , ?);.綜上 Y=a+bxN(a+b, b2 2 )22（ 3） XN（?，, ?）， YN(?，, ?), 且 X 與 Y 相互獨立，則1122Z=X+YN(?+1?-? ?-?證明： X+Y=?(1+2 )+ ?+?2?122222?,? + ?)212222XN(,?)則 Y=aX+bN (b+a, ?)?-?2?-?由此可推出?1N(0， 12 ) ,?2 N(0，1)?2222?-? ?-?所以1 +?2 N(0，1+12