水星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

1、.水星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律摘要本文主要在已知水星的遠(yuǎn)日點(diǎn)和繞日運(yùn)行的線速度的條件下，通過建立微分方程模型，使用解析法和數(shù)值方法求解水星的軌道方程與位置。解析法的求解的過程中，結(jié)合了開普勒三大定律，準(zhǔn)確的給出了微分方程的精確解，求得水星到太陽的最近距離 rm4.6016 1010( )，水星繞太陽運(yùn)行的周期約為 88 天。數(shù)值計(jì)算求解水星自m遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)行 50 天后的位置時(shí)，本文分別采用了Simpson 求積法，基于壓縮映射的求根方法以及經(jīng)典的四階龍格庫塔法，使用matlab 數(shù)學(xué)軟件編程，得到了較為合理的行星運(yùn)行模型的近似解，三種方法所得結(jié)果對(duì)應(yīng)分1 3.791， r14.767 1010，23.791，

2、 r2 4.767 1010及 3 3.802， r3 4.7791010。關(guān)鍵詞行星軌道微分方程Simpson法四階龍格庫塔法matlab一問題重述水星到太陽的最遠(yuǎn)距離為0.69821011 m，此時(shí)水星繞太陽運(yùn)行的線速度為3.886104ms。試求問題一水星到太陽的最近距離問題二水星繞太陽運(yùn)行的周期問題三從遠(yuǎn)日點(diǎn)開始的第50 天（地球天）結(jié)束時(shí)水星的位置并畫出軌道曲線二問題分析求水星到太陽的最近距離以及水星繞太陽運(yùn)行的周期等，需要先將水星軌道方程求出，因此可以根據(jù)Newton 第二定律及萬有引力定律mMGid 2Z，建立微r2em2dt.分方程模型，將原問題轉(zhuǎn)化為求解帶有初值條件的微分方程

3、問題，進(jìn)而采用解析法或數(shù)值方法求解遠(yuǎn)日點(diǎn)和周期。三模型假設(shè)1水星運(yùn)行的軌道是以太陽為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓2從太陽指向水星的線段在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等3水星運(yùn)行周期的平方與其運(yùn)行軌道橢圓長(zhǎng)軸的立方之比為常量四符號(hào)系統(tǒng)1 v0水星在遠(yuǎn)日點(diǎn)的線速度2.M太陽的質(zhì)量3.m水星的質(zhì)量4.ro水星在遠(yuǎn)日點(diǎn)的距離5.T周期五建立模型與求解模型一水星的軌跡方程設(shè)太陽中心所在的位置為復(fù)平面的原點(diǎn)O，在時(shí)刻 t，水星位于 Z (t) rei所表示的點(diǎn) P。這里 rr (t),(t ) 均為 t 的函數(shù)，分別表示 Z (t ) 的模和輻角。于是水星的速度為dZdr eiire idei (drird ) ， 加 速

4、度 為dtdtdtdtdtd2 Zei( d 2rr ( d)2 )i (r d 22 dr d) （1.1），而太陽對(duì)行星的引力依萬有引dt 2dt 2dtdt2dt dt力定律，大小為 mMG ，方向由行星位置P 指向太陽的中心 O,故為mMG ei ，其r 2r 2中 M1.989 1030 ( kg) 為太陽的質(zhì)量， m 為水星的質(zhì)量， G6.672 10 11( N m2 / kg 2 )為萬有引力常數(shù)。.依 Newton 定律，我們得到mMG id 2 Zr 2em dt 2 (1.2)，將（ 1.1）代入 (1.2)，然后比較實(shí)部與虛部，就有rd 22dr d0dt2dt dtd

5、2 rr ( d)2MGdt 2dtr 2這是兩個(gè)未知函數(shù)的二階微分方程組。在確定某一行星軌道時(shí)，需要加上定解條件。假設(shè)當(dāng) t=0 時(shí)，行星正處于遠(yuǎn)日點(diǎn)，而遠(yuǎn)日點(diǎn)位于正實(shí)軸上，距原點(diǎn) O 為 r0 ，行星的速度為 v0 。那么就有初值條件：rt 0r0t 00drdtddtt00v0t 0r0因此問題轉(zhuǎn)化為求解帶初值問題的微分方程組r d 22 dr d0dt 2dt dtd2 rr ( d )2MGdt 2dtr 2r t0r0t00dr0dtt0dt0v0dtr0又將 r d 22 dr d0 兩邊同乘以 r，即得 d ( r 2 d)0 ，從而 r 2dc（11.3）,dt 2dt dt

6、dtdtdttt 12 dc t其中 c1r0v0 ，這樣有向線段 OP 在時(shí)間t 內(nèi)掃過的面積等于rdt1，這2dt2t個(gè)正是 Kepler 的第二定律，從太陽指向水星的線段在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。.將（ 1.3）代入d 2 rd2MG得d2 r c12MG，于是我們可以得到水2 r ()2232dtdtrdtrr星運(yùn)行的較為簡(jiǎn)單形式的數(shù)學(xué)模型：d 2rc12MGdt 2r 3r 2dc1dtr 2r t 0r0drdtt 00t00為了求得行星的軌跡方程，要消去變量t，令 r1 ，那么 dc1可以改寫為udtr 2d2drd dud 2u d22 d 2udtc1u從 而dtc1 dt

7、( d)c1 d 2 dtc1ud 2將上式代入d2 r c12MG，化簡(jiǎn)后為d 2uu1c12，引進(jìn) u1，立dt2r3r2d2(1.4)，其中 pMGupp即可以求出 u1uAcos(0)，這里 A 和0 是待定的常數(shù)。 記 eAp ，上式可p以寫為rp1 e cos(0 )這個(gè)就是水星的軌道方程，是一條平面二次曲線。由于水星繞太陽運(yùn)行，故必有 0e 1 。由于 r 在 t=0時(shí)取道最大值 r0 （遠(yuǎn)日點(diǎn)），這個(gè)就意味著此時(shí)函數(shù)cos(0 )取道最大值1.于是就有00, e1p ， 從 而 軌 跡 方 程 為r0rp。對(duì)于水星而言， r00.6981011(m), v03.886 10 4

8、 (m / s) ，又水星的1ecos近 日 點(diǎn) 到 太 陽 的 距 離 rmpp。依據(jù)已知數(shù)據(jù)，可知1ecos1e.c1 r0 v0152c1210p0.2055 ，從而計(jì)2.713 10(m / s) ， pMG5.547 10(m) ， e 1r0算水星到太陽的最近距離為 rm4.6016 1010( )m模型二水星的運(yùn)行周期設(shè)水星的周期為T ， 那 么 利 用 Kepler 第 二 定 律 ， 我 們 有T 12 d1（1.4 ）0 2rdt dt2C1T上式左端為水星軌跡橢圓所圍的面積，記為S，由于橢圓的半長(zhǎng)軸ap，半短1 e2軸 bp，從而有 Sabp 23 將上式代入式（ 1.4

9、 ）, 解得 T2 p 231e2(122C1 (122e )e )（ 1.5 ）將有關(guān)數(shù)據(jù)代入，易得T7.6025106 (s)87.9919(d)模型三 水星的位置由于水星的運(yùn)行滿足 Kepler第二定律，則該式可改寫為r 2 dC1t ，從而可得p 20 C1 (1 ecos )2 dt如果我們要求 tT1 時(shí)相應(yīng)的和 r ，則意味著首先要解方程C1T1，F(xiàn)( )2p其中12 dF ( )0 (1 ecos在求出了 tT1時(shí)的后，立即可以由 rp得到相應(yīng)的 r 。1 ecos下面用數(shù)值方法求解水星的位置1. Simpson 法.由被積函數(shù) (11) 2 的恒正性可知 F ( ) 單調(diào)，從

10、而方程F ( )C1T1的根必ecosp2存在且唯一。取h, kkh(k1,2,.) ，記 FkF ( k ) 。若 FnC1T21 , Fn 1C1T21 ，pp那么 位于 n 與 n1 之間，在 h 適當(dāng)小時(shí)，可取n 。計(jì)算 F ( ) 可采用不同的數(shù)值積分法，本文采用Simpson 法，取步長(zhǎng) h=0.001，具體求解過程見附錄一，最后結(jié)果為3.791 ， r4.767 10102. 基于壓縮映像的求根方法我們引入水星軌道橢圓的參數(shù)方程，由于橢圓的半長(zhǎng)軸ap1 e2 ，半短軸bp，從而中心到焦點(diǎn)的距離為 a2b2ae 。因左焦點(diǎn)為原點(diǎn)，故橢圓中1e2心位于（ ae，0），于是得到參數(shù)方程

11、x a(e cos ) y b sin它們與 r ,的關(guān)系為x 2y2r 2 , ytanx此式可改寫成C1 t( xy yx )dab esin() esin ab當(dāng) tT1時(shí)解方程esinC1T1ab記C 1T1， g( )esin，那么上式即g ( ) ，就是說要去求函ab數(shù) g() 的不動(dòng)點(diǎn)，求解方程不動(dòng)點(diǎn)可以采用簡(jiǎn)單迭代法，對(duì)于水星，我們已計(jì)算出e 0.2055 ，由于 e 很小，因此迭代收斂理論上可以很快， 當(dāng)時(shí)間從遠(yuǎn)日點(diǎn)開始的第50 天結(jié)束時(shí)，意味著 T10.432 107 (s) , 從而C1T1C1T3(1 e 2 ) 23.5703abp 2.不妨取00 ，于是1esin2

12、esin013.57033.6557.5esin6esin故3.6747由式 xa(ecos), yb sin4 3.67475 3.6747， x2y 2r 2 , ytan ，可以計(jì)算出相應(yīng)的，x即由tanb sina(e0.75849cos )得0.64891 ，而3.791此時(shí)的距離 r 為 r a(ecos )2 bsin24.7668 1010 （ m）3. 經(jīng)典四階 Runge-Kutte 法由我們將由最初的微分方程組求解水星的位置，方程組見下d 2rc12MGdt 2r 3r 2dc1dtr 2r t 0r0drt00dtt00令 q dr ，那么我們可以得到一階微分方程組：

13、dt.dqC12MGdtr 3r 2drqdtdC1dtr 2r t0r0drt00dtt00若記這個(gè)微分方程組中方程的右端依次為Q(t, q, r , ), R(t, q, r , )和 S(t, q, r, ) ，則相應(yīng)的四階 Runge-Kutte迭代格式法為qk 1qkh ( K 12K 22K3 K4)6rk 1rkh (L12L22L3L 4 )6k 1kh(N12N 22N3N4 )6這里對(duì)于 qk 1 qkh ( K12K 22K3K4)，有6K1Q(tk , qk ,r k , k )K 2Q (t kh , qkhK1 , rkhL1 ,222K 3Q(t kh , qkh

14、K 2 , rkhL 2 ,222k hN 1 ) 2k hN 2 ) 2K 4Q(tkh,qkhK 3 , rkhL3 , khN 3 )初值為q00, r0r0 , 00 ，則對(duì)于給定的步長(zhǎng)值h，類似可以逐步計(jì)算一系列的qk , rk , k ，由于行星繞著太陽運(yùn)行，只需取n2 , n 12，而取得行星軌道上一系列點(diǎn)的近似坐標(biāo)（rk , k ），再通過極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，繼而可以繪出軌道曲線。通過 matlab 編程求解得3.802 ， r4.779 1010 ，軌道曲線如下.程序見附錄二。六模型推廣本文建立的微分方程模型對(duì)于求解行星繞日運(yùn)行軌道具有廣泛的應(yīng)用空間，只需給出行星的遠(yuǎn)日點(diǎn)

15、和在遠(yuǎn)日點(diǎn)的運(yùn)行線速度即可計(jì)算出軌道方程，用數(shù)學(xué)軟件繪出近似的軌道曲線，對(duì)于研究天體運(yùn)行有所幫助。此外，本文采用的求解微分方程的數(shù)值方法，具有較為快速且準(zhǔn)確的收斂效果，可以用來求解其他類似的微分方程模型。七參考文獻(xiàn)【 1】 樂經(jīng)良，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京，高等教育出版社，1999 年 10 月【 2】 周品 ，matlab 數(shù)值分析，北京，機(jī)械工業(yè)出版社，2009年 1月.八附錄附錄一function q1=y2(x)q1=(1-0.2055*cos(x).-2;h=0.001;k=1;x=h*k;f=quad(y2,0,x)while f(k)3.8091k=k+1;x=k*h;f(k)=quad(

16、y2,0,x);endx附錄二format longc1=2.7132e15;M=1.989e30;G=6.672e-11;Q=inline(2.7132e152/(r3)-1.989e30*6.672e-11/(r2);R=inline(q);S=inline(2.7132e15/(r2);q=0;r=0.6982e11;theta=0;t=0;k=1;h=0.001e7;while theta=2*piK1=Q(r);L1=R(q);N1=S(r);K2=Q(r+h/2*L1);L2=R(q+h/2*K1);N2=S(r+h/2*L1);K3=Q(r+h/2*L2);L3=R(q+h/2*

17、K2);N3=S(r+h/2*L2);K4=Q(r+h*L3);L4=R(q+h*K3);N4=S(r+h*L3);t=t+h;.q=q+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);r=r+h/6*(L1+2*L2+2*L3+L4);theta=theta+h/6*(N1+2*N2+2*N3+N4);rr(k)=r;ee(k)=theta;xx(k)=rr(k)*cos(ee(k);%水星任意位置的橫坐標(biāo)yy(k)=rr(k)*sin(ee(k);%水星任意位置的縱坐標(biāo)k=k+1;end;plot(xx,yy)%畫出水星的軌道曲線text(0,0,太陽 )text(0.6982e11,0,遠(yuǎn)日

18、點(diǎn) )text(-4.6078e+010,0,近日點(diǎn) )hold on;plot(0,0,r.,MarkerSize,20);hold offhold on;plot(0.6982e11,0,r.,MarkerSize,20);hold offhold on;plot(-4.6078e+010,0,r.,MarkerSize,20);hold offtitle(水星繞太陽運(yùn)行的軌道曲線)clcq=0;r=0.6982e11;theta=0;t=0;k=1;h=0.001e7;while t=50*24*3600%求水星自遠(yuǎn)日點(diǎn)開始第50 天的位置K1=Q(r);L1=R(q);N1=S(r);K2=Q(r+h/2*L1);L2=R(q+h/2*K1);N2=S(r+h/2*L1);K3=Q(r+h/2*L2);L3=R(q+h/2*K2);N3=S(r+h/2*L2);K4=Q(r+h*L3);L4=R(q+h*K3);N4=S(r+h*L3);