高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)研究報(bào)告

1、.專題講座高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”教學(xué)研究金寶錚 北京師范大學(xué)二附中 一、對“圓錐曲線”數(shù)學(xué)知識的深層次理解（一）“圓錐曲線”知識結(jié)構(gòu)圓錐曲線的內(nèi)容在新課標(biāo)中安排在選修課程的選修系列1和選修系列2之中.知識結(jié)構(gòu)圖：圓錐曲線研究的圖形對于學(xué)生來講是比較陌生的圖形. 雖然在初中階段學(xué)習(xí)函數(shù)的時候，同學(xué)們聽說過拋物線、雙曲線的名詞，當(dāng)時的認(rèn)識只是停留在直觀的感受. 從二次函數(shù)的圖像，經(jīng)過教師的授課，知道二次函數(shù)的圖像叫做拋物線；學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時，教師告知反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，并且是以坐標(biāo)軸為漸近線的.對于滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線、雙曲線學(xué)生的認(rèn)識仍然是一片空白. 只有學(xué)習(xí)了本單元內(nèi)容之后，學(xué)生

2、才會對圓錐曲線有一個全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識.本講從軌跡方程的角度研究圓錐曲線.首先給出橢圓、雙曲線、拋物線的定義，依據(jù)定義推導(dǎo)他們的方程，在此基礎(chǔ)上，依據(jù)他們的方程研究三種曲線的幾何性質(zhì).雖然橢圓、雙曲線、拋物線都屬于平面圖形，但是運(yùn)用平面幾何的知識和研究方法很難研究的透徹.解析幾何學(xué)科的特點(diǎn)和優(yōu)越性從這個研究過程中開始有強(qiáng)烈的顯現(xiàn).在此之前用代數(shù)的方法研究直線和圓的教學(xué)，從學(xué)習(xí)方法上來說，為本講的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).區(qū)別在于，盡管同樣是研究幾何圖形的性質(zhì)，在研究直線與圓的階段，平面幾何的知識得到充分的應(yīng)用，利用了平面幾何的相關(guān)知識，有時可以使得運(yùn)算過程得到簡化.選修系列1和選修2系列對于教學(xué)的要求上有

3、所不同.主要體現(xiàn)在兩點(diǎn). 第一點(diǎn)：選修系列1中沒有曲線與方程這一節(jié)的要求.這樣安排教學(xué)要求的目的是，對于學(xué)習(xí)選修系列1的同學(xué)從理論的學(xué)習(xí)要求做了適當(dāng)?shù)慕档?只要求直觀的解決問題，直觀的認(rèn)識具體曲線的定義、性質(zhì).第二點(diǎn)是選修系列1中沒有直線與圓錐曲線的教學(xué)內(nèi)容，對于這一點(diǎn)的要求不同，我們建議教師還是應(yīng)該予以適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充.從目前的考試要求以及高考試題看，在文科數(shù)學(xué)試卷中，對于這個內(nèi)容還是有要求的.但是不會要求太高，教師在教學(xué)中可以側(cè)重以直線與橢圓的位置關(guān)系的開展討論，其他的曲線討論可以輕描淡寫的處理，體現(xiàn)出選修系列1和選修系列2的區(qū)別.（二）如何把握圓錐曲線的定義圓錐曲線的定義有多種形式，教師應(yīng)該盡

4、量的了解和知道.橢圓的定義學(xué)生首先接觸的都是到兩個定點(diǎn)距離之和等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）.為什么橢圓、雙曲線、拋物線稱為圓錐曲線.教科書中有詳細(xì)的說明.建議教師不要忽視其中的原委.有些試題還是在考查該項(xiàng)定義.下面請看幾個案例，雖然都是利用圓錐曲線的定義解題，但是各有特點(diǎn).例1 如圖是長度為定值的平面的斜線段，點(diǎn)為斜足，若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動，使得的面積為定值，則動點(diǎn)P的軌跡是A.圓 B.橢圓 C.一條直線 D.兩條平行線我們通過這個例題可以讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識圓錐曲線的定義. 根據(jù)已知條件的面積為定值，是長度為定值的平面的斜線段，那么點(diǎn)到直線的距離為定值，僅僅考慮這一點(diǎn)，點(diǎn)P應(yīng)該在一個圓柱的側(cè)面上，這個

5、圓柱是以PA所在的直線為軸，點(diǎn)到直線的距離為底面半徑.同時這個點(diǎn)又在平面上，點(diǎn)P的軌跡是平面與圓柱側(cè)面的截線，依據(jù)圓錐曲線的定義，應(yīng)該選B.對于概念的認(rèn)識，不僅僅限于對概念的記憶，甚至個別的老師還讓學(xué)生齊聲背誦定義，這樣的結(jié)果往往是學(xué)生知其然，不知其所以然.教師如果能夠選擇像上面類似的題目，對于學(xué)生深刻理解概念是有積極作用的.下面例題的選取也是這個目的.例2如圖，線段=8，點(diǎn)在線段上，且=2，為線段上一動點(diǎn)，點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn).設(shè)=， 的面積為.則的定義域?yàn)開；的最大值為 _. 據(jù)題意，PDPB，PD+PCBC6，又CD=CA=2，依據(jù)定義知：點(diǎn)P在以C、D為焦點(diǎn)的橢圓上，其焦

6、距為2，其長軸長為6，可得出短軸長為，PC時，的面積取得最大值，最大值為.當(dāng)看到一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)距離之和為定長時，學(xué)生應(yīng)該聯(lián)想到橢圓的定義，學(xué)生能否做到這一點(diǎn)，教師的引導(dǎo)和適當(dāng)?shù)睦}是關(guān)鍵.（三）圓錐曲線不同形式的方程在選修系列4教學(xué)要求中，選修4-4是坐標(biāo)系與參數(shù)方程.在部分的教學(xué)內(nèi)容中，將增加圓錐曲線的參數(shù)方程的形式和極坐標(biāo)形式.雖然只是一種初步的、帶有介紹形式的，建議教師還是抓住機(jī)會與選修系列1、選修系列2的內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)的整合.具體建議稍后再詳細(xì)說明.（四）教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)圓錐曲線的教學(xué)重點(diǎn)是：三種圓錐曲線的方程與性質(zhì).在此之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)初步感受了解析幾何學(xué)科的特點(diǎn)，以及如

7、何用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì).本講與之前的研究所不同的是，之前研究的對象是學(xué)生熟知的圖形，直線和圓.利用方程研究曲線的性質(zhì)，從知識上學(xué)生沒有感到有新的收獲，沒有獲得直線與圓的新的幾何性質(zhì).然而本章研究的曲線對于學(xué)生來說是陌生的.學(xué)生對于橢圓、雙曲線、拋物線的認(rèn)識幾乎接近空白.什么取值范圍、對稱軸、對稱中心、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等，對于學(xué)生來說都是全新的.研究之前，學(xué)生對于曲線的這些性質(zhì)處于無知或者是朦朧的狀態(tài)，學(xué)習(xí)之后成就感明顯的高于直線與圓的學(xué)習(xí).圓錐曲線的難點(diǎn)是：圓錐曲線的綜合問題.特別是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有關(guān)的綜合題目，學(xué)生感覺難度較大. 與圓錐曲線有關(guān)的綜合題，題目呈現(xiàn)的方式

8、是多樣的.不像三角函數(shù)、立體幾何題目的呈現(xiàn)方式那樣單純，可以從模仿入手. 對于學(xué)生來說，對于分析問題、解決問題的能力要求較高.模式化的東西相對少一些.二、“圓錐曲線”的教學(xué)策略以及學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的錯誤與問題的分析與解決策略（一）正確認(rèn)識曲線的方程橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程由于焦點(diǎn)的位置不同，方程的形式相應(yīng)的不同.橢圓按照焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上，相應(yīng)的有兩個標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線也是按照焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上，相應(yīng)的有兩個標(biāo)準(zhǔn)方程；而拋物線則是按照焦點(diǎn)在x軸的正半軸上、焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上、焦點(diǎn)在y軸的正半軸上、焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上相應(yīng)的有四個標(biāo)準(zhǔn)方程.確定曲線的方程，就是根據(jù)條件確定方程

9、中的參數(shù)的具體數(shù)值.根據(jù)題目所給的條件，使用數(shù)學(xué)中常見的待定系數(shù)法，通常可以確定參數(shù)的數(shù)值，換一個角度來說，曲線方程的確定也是方程思想的應(yīng)用.依據(jù)條件，找到參數(shù)適合的方程或方程組，從本質(zhì)上來說，與列方程解應(yīng)用題是相同的.（二）數(shù)學(xué)思想的滲透與培養(yǎng)前面已經(jīng)提到利用方程的思想確定橢圓、雙曲線、拋物線的方程. 其他幾個重要的數(shù)學(xué)思想在本講中也應(yīng)該積極的滲透.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 同一個問題可以有數(shù)、形兩種不同的表現(xiàn)形式. 比如直線與橢圓的位置關(guān)系有相交、相切、相離.如何描述直線與橢圓相交.從“形”的角度說，直線與橢圓恰有一個公共點(diǎn)；如果從“數(shù)”的角度來描述，將直線的方程代入橢圓的方程，得到一個關(guān)于x

10、的（或者是關(guān)于y的）一元二次方程.這個方程的判別式應(yīng)該為0.化歸思想的應(yīng)用對于本講內(nèi)容來說也是很好的滲透的平臺.分類討論的思想在本講學(xué)習(xí)中，也是應(yīng)該給予足夠的重視.分類討論的思想一定要讓學(xué)生明確不是為了分類而分類.許多的分類在解題之前是不明確的，在解題的過程中，依據(jù)算法、算理的需求，對字母的取值限制進(jìn)行討論.化歸是數(shù)學(xué)中對能力要求較強(qiáng)的一種思想方法.所謂化歸，就是將復(fù)雜的問題、不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的問題.對于解析幾何的綜合性問題，我們建議將解題的過程劃分為兩個階段，設(shè)計(jì)解題方案、實(shí)施解題方案的兩個過程.例1已知橢圓（）的焦距為，離心率為.（）求橢圓方程；（）設(shè)過橢圓頂點(diǎn)，斜率為的直線

11、交橢圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且成等比數(shù)列，求的值.化歸的思想教師說起來很簡單，但是學(xué)生做起來往往找不到實(shí)施的辦法.需要教師的示范和在具體問題解決中的認(rèn)識，需要一定時間的培養(yǎng)和訓(xùn)練.例1中解決第（）問可以設(shè)計(jì)三個解題方案.第一個方案是按照常規(guī)思路設(shè)法把點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)用斜率k表示出來，之后用兩點(diǎn)間距離把的長度表示出來，再利用他們成等比數(shù)列，求出的值.表面一看，這個思路很好，但是在實(shí)際的解題過程中可以看到，題目的運(yùn)算量較大.第二個方案也是按照常規(guī)思路設(shè)法把點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)用斜率k表示出來，之后將三條線段投影到x軸上，利用相似三角形的知識可以證明，投影到坐標(biāo)軸上的三條線段按照相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系也是成等

12、比數(shù)列的.等比數(shù)列這個限制條件就變成三個點(diǎn)的橫坐標(biāo)的限制條件.第三個方案也是按照常規(guī)思路設(shè)法把點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)用斜率k表示出來，之后將三條線段投影到y(tǒng)軸上，利用相似三角形的知識可以證明，投影到坐標(biāo)軸上的三條線段按照相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系也是成等比數(shù)列的.等比數(shù)列這個限制條件就變成三個點(diǎn)的縱坐標(biāo)的限制條件.比較上述三個方案，顯然第一個方案的運(yùn)算量最大，后兩個方案的運(yùn)算量顯著的下降. 當(dāng)我們把三條線段投影到坐標(biāo)軸上，運(yùn)算量下降了，達(dá)到了將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的目的.再細(xì)致的比較后兩個方案，由于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0，第三個方案比第二個方案的運(yùn)算量還要再小一些，所以選擇方案三.詳解如下：（）由已知，. 解得

13、， 所以，橢圓的方程為. （）由（）得過點(diǎn)的直線為，由 得， 所以，所以， 依題意，.因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以， 所以，即， 當(dāng)時，無解， 當(dāng)時，解得， 所以，解得，所以，當(dāng)成等比數(shù)列時，. 回顧對這個問題的分析與解答，教師設(shè)計(jì)了三個解題方案，在實(shí)施方案之前，要對設(shè)計(jì)的三個方案進(jìn)行比較、分析，從中選出簡捷的方案.（三）對于參數(shù)方程處理方式的建議參數(shù)方程的學(xué)習(xí)在這一階段的學(xué)習(xí)過程中，是一個相對獨(dú)立的內(nèi)容.原則上不需要做過多的補(bǔ)充.但是對于橢圓的參數(shù)方程，還是建議教師更具學(xué)生的實(shí)際情況做適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充.主要是對橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為，特別是對于一些最值有關(guān)的問題解決還是有益處的.例1 已知矩形ABCD

14、的四個頂點(diǎn)都在橢圓上，且對稱軸平行于坐標(biāo)軸.求矩形ABCD面積的最大值.解：設(shè)點(diǎn)A在第一象限，例2 已知梯形ABCD中，ABCD，AD是橢圓的長軸，頂點(diǎn)B、C都在橢圓上.求梯形ABCD面積的最大值.解法仿照例1，此處略去.以上兩個例題的特點(diǎn)是很明確的，使用參數(shù)方程形式描述橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，其中a、b都是常量，只有一個字母是變量，這樣面積的公式將是僅有一個自變量的解析式.學(xué)生在中學(xué)學(xué)習(xí)的函數(shù)僅限于一元函數(shù)，對于兩個自變量的函數(shù)學(xué)生往往感到困惑，使用參數(shù)方程處理上述問題，回避了出現(xiàn)二元函數(shù)的矛盾，建議教學(xué)中考慮介紹橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用.（四）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系比直線與

15、圓的位置關(guān)系要復(fù)雜.首先打破了學(xué)生頭腦中固有的認(rèn)識：直線與曲線有恰一個公共點(diǎn)，直線與曲線相切.當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行的時候，直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，此時直線與拋物線相交而不是相切！同樣，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行的時候，直線與雙曲線恰有一個公共點(diǎn)，此時直線與雙曲線也是相交而不是相切！直線與圓錐曲線的問題，通常不要真的把直線與圓錐曲線的交點(diǎn)求出來，一般交點(diǎn)的坐標(biāo)比較難求.聯(lián)立方程組之后，先轉(zhuǎn)化為一元二次方程，可以借助一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將與根有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為兩根和、兩根積的形式，分別把兩根之和、兩根之積看做兩個整體，再做整體的代換，可以使的整體的運(yùn)算過程比較簡化.例1已知橢圓經(jīng)過

16、點(diǎn)其離心率為. （）求橢圓的方程；()設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn). 求到直線距離的最小值.解：（）由已知，所以， 又點(diǎn)在橢圓上，所以 ， 由解之，得.故橢圓的方程為. () 當(dāng)直線有斜率時，設(shè)時，則由消去得， ， 設(shè)A、B、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則：， 由于點(diǎn)在橢圓上，所以 . 從而，化簡得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足式. 又點(diǎn)到直線的距離為：當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立當(dāng)直線無斜率時，由對稱性知，點(diǎn)一定在軸上，從而點(diǎn)為，直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離為1 .所以點(diǎn)到直線的距離最小值為. 這是一個典型的直線與圓錐曲線有關(guān)的問題. 對于題目解答的思路粗略的說

17、，可以將直線的方程代入橢圓的方程，消去字母y（也有時消去字母x），得到一個關(guān)于x的一元二次方程.在解題的過程中，我們設(shè)A、B、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，但是我們并沒有真的去把這四個量求解出來，而是利用一元二次方程的根系關(guān)系，用含有參數(shù)k、m的代數(shù)式將其表示出來.學(xué)生在學(xué)習(xí)的開始階段，對于上述的解法并不熟悉. 其中一個重要的原因是義務(wù)教育階段的課程標(biāo)準(zhǔn)中，對于一元二次方程的根系關(guān)系較之前的教學(xué)大綱的要求有所降低，學(xué)生對于這個內(nèi)容的基礎(chǔ)知識以及理解程度都不是很高，教師可以適當(dāng)?shù)募右匝a(bǔ)充.學(xué)生對于分析問題的綜合能力需要一個比較長的螺旋式上升的過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，注意力往往只關(guān)注本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，不善于聯(lián)

18、想其他的數(shù)學(xué)知識，為了提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力，使得學(xué)生能夠主動地、有意識的聯(lián)想各個模塊知識間的聯(lián)系，教師在選擇題目時候，要有意識的選擇一些綜合其他模塊知識的題目，避免全部都是當(dāng)前每模塊的試題.例2 已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,離心率是.橢圓C的左，右頂點(diǎn)分別記為A,B.點(diǎn)S是橢圓C上位于軸上方的動點(diǎn)，直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）求線段MN長度的最小值；（3）當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓C上的T滿足：T到直線AS的距離等于.試確定點(diǎn)T的個數(shù).例2的第二問是求弦長的最小值，問題解決的思路與例1是一致的.第三問是研究在第二問的條件下，判斷符合條件的

19、點(diǎn)T的個數(shù)，這個問題的解決要注意用數(shù)形結(jié)合的思想去分析，構(gòu)造與AS平行的直線系，在這個直線系中，找到與橢圓相切的兩條直線，不難得出問題的答案. 進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，當(dāng)我們調(diào)整數(shù)值時，隨著這個數(shù)值的變化，問題的結(jié)論會發(fā)生什么變化.（五）關(guān)于動點(diǎn)軌跡的研究對于不同基礎(chǔ)的學(xué)生可以采用不同的研究方式.基礎(chǔ)中等的學(xué)生，可以從教師示范，學(xué)生模仿開始.之后再進(jìn)行創(chuàng)造.模仿的過程中，教師要揭示解題的思路和關(guān)鍵要點(diǎn)，而不是簡單的解題步驟.例1 已知圓O的方程為：，點(diǎn)A（3，0），P是圓O上的動點(diǎn)，M是線段PA的中點(diǎn).求點(diǎn)M的軌跡方程.分析：首先我們設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，依據(jù)題意找到這兩個點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)

20、系.，進(jìn)一步得到，因?yàn)镻是圓O上的點(diǎn)，代入得到：為所求軌跡方程.我們的教學(xué)應(yīng)該避免就題論題的模式.在解決一個問題的同時，應(yīng)該揭示問題的本質(zhì)，使得學(xué)生掌握一類問題的解題策略. 本題的特點(diǎn)是動點(diǎn)M是隨著點(diǎn)P的運(yùn)動而運(yùn)動，通常把這兩個點(diǎn)稱為相關(guān)點(diǎn).解題的關(guān)鍵是找到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系.利用其中一個點(diǎn)在曲線上，將這個點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程即可得到所求軌跡的方程.如何訓(xùn)練學(xué)生從一個問題的解決，提升為對一類問題的深刻認(rèn)識.當(dāng)一個題目解決之后，建議作一些變式的工作，一方面使得學(xué)生對于解題的思路有深入的理解和認(rèn)識，同時也有助于學(xué)生跳出題海.具體的說，變式可以從相關(guān)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性入手，這個題目點(diǎn)M是AP的中點(diǎn)，可

21、以變?yōu)槿赛c(diǎn)，甚至MA與MP的長度比值為等等；從另外一個角度，可以變換動點(diǎn)P所在曲線的方程，不難看出，將圓換成橢圓、雙曲線、拋物線，其解決問題的思路完全相同，只是在問題的最后一步有所不同. 更進(jìn)一步說，點(diǎn)P所在的曲線只要能用解析式描述，上述方法就可以運(yùn)用，不限制一定是圓錐曲線.常用的求軌跡方程的方法有：相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、幾何法、定義法等等，因篇幅所限，這里再舉例2，分析一下定義法.定義法的思路是：先設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)，找到動點(diǎn)滿足的幾何條件，在依據(jù)幾何條件，變換為代數(shù)條件，之后對這個代數(shù)條件做適當(dāng)?shù)幕喒ぷ?，得出所求軌跡方程.例2 已知直線上有一個動點(diǎn),過點(diǎn)作直線垂直于軸,動點(diǎn)在上,且滿足(為坐標(biāo)原

22、點(diǎn)),記點(diǎn)的軌跡為.求曲線的方程.解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為., 幾何條件. 代數(shù)條件當(dāng)時,得,化簡得. 代數(shù)方程當(dāng)時, 、三點(diǎn)共線，不符合題意，故.曲線的方程為. 軌跡方程這個方法是求軌跡方程的最基礎(chǔ)的方法，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，較好的掌握這個方法.（六）向量與圓錐曲線向量知識的出現(xiàn)，使得解析幾何命題的思路又開了一扇門.但是有一些題目表面上與向量有關(guān)，實(shí)際上與向量無關(guān).例如原來在解析幾何中關(guān)于垂直的描述，現(xiàn)在表現(xiàn)為兩個向量的點(diǎn)積為0.我們可以戲稱為假向量.即題目的本質(zhì)與向量并沒有關(guān)系.還有一類真的與向量有關(guān)，主要反映在一些計(jì)算的問題上.例1 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為

23、，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（）設(shè)所求的橢圓方程為：由題意：所求橢圓方程為： （）若過點(diǎn)的斜率不存在，則若過點(diǎn)的直線斜率為，即：時，直線的方程為由因?yàn)楹蜋E圓交于不同兩點(diǎn)所以，所以設(shè)由已知，則將代入得：整理得：所以代入式得，解得所以或綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為：前面提到過學(xué)習(xí)圓錐曲線的問題，要注意與其他模塊的內(nèi)容相結(jié)合.在這里特別強(qiáng)調(diào)與向量知識的結(jié)合.因?yàn)橄蛄康闹R內(nèi)容，與解析幾何有一個共同的特點(diǎn)，用數(shù)量關(guān)系來描述圖形的性質(zhì).教師在講解問題的過程中，應(yīng)特別突出如何運(yùn)用向量的知識，解決解析幾何的綜合題.例如本

24、題題目解答的思路主體上與其他的解析幾何題目是相同的. 將直線的方程代入圓錐曲線的方程，整理后得到一個關(guān)于x的一元二次方程.不同點(diǎn)在于有了向量的相關(guān)條件之后，A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)之間除了原有的一元二次方程的根系關(guān)系之外，還有由向量條件得到的特定的關(guān)系“”，只有充分利用好這個條件，才能使本題得到順利的解決.三、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的檢測（一）課程標(biāo)準(zhǔn)與高考對“解析幾何初步”內(nèi)容的要求以下摘自普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：圓錐曲線與方程（約16課時）（1）圓錐曲線了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形

25、及簡單性質(zhì).了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì).能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和實(shí)際問題.通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.（2）曲線與方程結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想.課程標(biāo)準(zhǔn)對于圓錐曲線的教學(xué)要求具體明確.我們認(rèn)為重點(diǎn)還是放在以下三個方面：首先是進(jìn)一步體現(xiàn)解析幾何中用代數(shù)的方法研究幾何圖形性質(zhì)的基本思想；其次應(yīng)該突出對于圓錐曲線的研究.既有對圓錐曲線基本性質(zhì)的研究，也有對于圓錐曲線教委復(fù)雜問題的研究；第三是滲透和培養(yǎng)常見的數(shù)學(xué)思想以及方法，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)

26、知識的同時，學(xué)會分析問題、解決問題的方法，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生能力的目的.（二）典型題目的檢測分析檢測的題目選擇的原則，既要強(qiáng)調(diào)注重基礎(chǔ)知識和基本方法，同時還要體現(xiàn)能力的要求. 例1雙曲線的離心率為_；若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則_.例1就是以離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)這些基礎(chǔ)的知識為檢測目標(biāo). 在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對于橢圓、雙曲線中出現(xiàn)的字母a、b、c容易混淆，特別是這幾個字母之間的關(guān)系. 針對學(xué)生出現(xiàn)的問題，教師可以結(jié)合圖形強(qiáng)調(diào)：在橢圓中a、b、c的關(guān)系是：，而在雙曲線中a、b、c的關(guān)系是：. 對于檢測題目的選擇要重視考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力. 既要檢測學(xué)生對圓錐曲線內(nèi)容的掌握情況，同時要檢

27、測學(xué)生將以往所學(xué)知識與圓錐曲線知識綜合運(yùn)用的能力. 例2 已知橢圓的焦點(diǎn)為，在長軸上任取一點(diǎn)，過作垂直于的直線交橢圓于點(diǎn)，則使得的點(diǎn)的概率為（ ）A BC D 例2涉及了三個模塊的知識. 有橢圓的知識，也是本題的主干；有向量的知識，由向量的點(diǎn)積小于0可以得出是個鈍角；還有概率的知識.這里涉及的是一個幾何概型.從以上分析可以看出，在學(xué)習(xí)新的知識的同時，要適時的與之前學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)的整合.例3 已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，動點(diǎn).（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）求以O(shè)M為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；（）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，證明線段ON的長為定值，并

28、求出這個定值.例3 一共分為3個小題.第1個小題是利用曲線與方程的概念確定橢圓的方程.這是一個基本的問題，用到了待定系數(shù)法等，難度不大，一般同學(xué)都可以順利解決；第2問就是解決一類圓錐曲線的問題，用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題，確定圓的方程.如果使用弦長公式解決，運(yùn)算量較大，如果使用平面幾何的知識，將直線被圓所截得弦長的問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，體現(xiàn)了思維多樣性、靈活性的考查；第3問是進(jìn)一步研究曲線的性質(zhì)，證明線段ON的長為定值，并求出這個定值，既可以使用解析幾何的的知識解決，也可以運(yùn)用向量的知識來解決，體現(xiàn)了對綜合分析問題、解決問題能力的考查.詳解如下：（）由題意得因?yàn)闄E圓經(jīng)

29、過點(diǎn)，所以又由 解得 ，. 所以橢圓方程為. （）以O(shè)M為直徑的圓的圓心為,半徑，方程為：因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離. 所以，解得.所求圓的方程為. （）方法一：過點(diǎn)F作OM的垂線，垂足設(shè)為K，由平幾知：.則直線OM：，直線FN：由，得：.所以線段ON的長為定值. 方法二：設(shè)，則 ，.，. 又，.為定值. 解析幾何的綜合題往往是集中檢測運(yùn)算能力、空間想象能力、邏輯推理能力于一身，因此解析幾何的綜合題成為我們檢測的重要內(nèi)容之一.我們建議教師在設(shè)計(jì)解析幾何綜合題這類檢測題目的時候，要注意對學(xué)生運(yùn)算能力、空間想象能力、邏輯推理能力的檢測. 在具體題目的設(shè)計(jì)時，還需

30、要注意幾個問題.首先題目要有一定的梯度.綜合題也應(yīng)該有一個由易到難的過程，對于基礎(chǔ)較弱的同學(xué)也能夠有入手之處；其次，雖然注重運(yùn)算能力的考查，但是還要有邏輯思維能力的考查，盡量不要有過大的運(yùn)算量.按照減小運(yùn)算量、增加思維量的原則處理為宜；第三適當(dāng)?shù)呐c其他模塊的知識綜合，比如與函數(shù)的知識綜合，與向量的知識綜合，與不等式的知識綜合，與概率的知識綜合、與三角函數(shù)的知識綜合等等.以上是對高中“圓錐曲線”教學(xué)的一些想法和認(rèn)識，供各位老師參考，不妥之處，敬請批評指正.互動對話【參與人員】金寶錚：北京師范大學(xué)二附中程敏：北京師范大學(xué)二附中趙瑞娟：北京師范大學(xué)二附中【互動話題】1如何突破“解析幾何綜合題”這個難

31、點(diǎn)高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線”教學(xué)中，橢圓、雙曲線、拋物線主要是直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，學(xué)生往往感到困惑。如何在教學(xué)中，克服學(xué)生的畏難情緒，幾位教師作了較為詳細(xì)的論述，建議教師遵循循序漸進(jìn)的教學(xué)原則，綜合問題也要由淺入深，并且列舉一些案例。2圓錐曲線的“包絡(luò)”身份與幾何畫板作圖經(jīng)?？吹揭恍┙處熢谡n堂上，利用折紙“折出”圓錐曲線，幾位教師談話揭露了其中的奧妙。幾位教師從什么是包絡(luò)開始講起，借助幾何畫板的演示，詳細(xì)敘述了圓錐曲線的包絡(luò)，還介紹了在高考中出現(xiàn)的與包絡(luò)有關(guān)的試題。3重視與其它知識的交匯點(diǎn)圓錐曲線的知識與其他模塊的知識之間存在有諸多的聯(lián)系。三位老師建議教師在教學(xué)過程中不要忽視與其他知識的結(jié)合。

32、他們列舉的實(shí)例雖然僅僅是立體幾何的聯(lián)系，但是教師在體會了其中的意思之后，會舉一反三，自然地遷移到其他的模塊。4圓錐曲線發(fā)展史數(shù)學(xué)文化往往被強(qiáng)大的升學(xué)壓力所淹沒，我們還是希望我們的教師能夠更多的關(guān)注知識形成過程，這樣有助于加深我們對知識完整的理解。幾位老師對圓錐曲線發(fā)展史簡單的介紹，豐富了解析幾何學(xué)科內(nèi)容的同時，感受數(shù)學(xué)文化的熏陶。案例評析【案例信息】案例名稱：拋物線的焦點(diǎn)弦講課教師：汪燕銘（北師大二附中，高級教師）評析教師：金寶錚（北師大二附中，特級教師）【課堂實(shí)錄】【案例評析】汪燕銘老師的教學(xué)課例拋物線的焦點(diǎn)弦是選修系列2-1中的一個內(nèi)容。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：數(shù)學(xué)教育作為教育的組

33、成部分，在發(fā)展和完善人的教育活動中、在形成人們認(rèn)識世界的態(tài)度和思想方法方面、在推動社會進(jìn)步和發(fā)展的進(jìn)程中起著重要的作用。這節(jié)課，首先由教師提出研究課題：拋物線的焦點(diǎn)弦。把拋物線的焦點(diǎn)弦作為研究的主要對象，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探討。這種探討，既不是教師提出問題讓學(xué)生解答，也不是放羊式的讓學(xué)生漫無邊際的空想。教師首先啟發(fā)學(xué)生思考，有哪些與拋物線的焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題，從錄像課中我們可以看到學(xué)生的思維是非?；钴S的，提出了弦的中點(diǎn)的軌跡問題；頂點(diǎn)與弦的兩個端點(diǎn)構(gòu)成的三角形產(chǎn)生的面積關(guān)系；，有了這些感性的、具體的問題，教師進(jìn)行了適當(dāng)?shù)臍w納：首先是點(diǎn)和直線的關(guān)聯(lián)，可以探究由此產(chǎn)生的問題；第二可以從研究拋物線本身的關(guān)系

34、入手；第三研究直線和拋物線的關(guān)系。教師這樣的提示有利于學(xué)生積極地探索，同時也滲透了如何從未知的角度發(fā)現(xiàn)新問題的方法。汪老師還強(qiáng)調(diào)了一點(diǎn)，首先是發(fā)現(xiàn)結(jié)論得出猜想，如果時間不夠，可以把證明先放一放。這個作法可以讓學(xué)生更放松的去探討未知的性質(zhì)。教師讓學(xué)生自主研討，并且不時地走到同學(xué)面前和他們交談，對于學(xué)生探討中遇到的障礙給予幫助。整個自主探討的過程持續(xù)了11分鐘，足以看出教師對于學(xué)生的放手是充分的。學(xué)生的討論是否會有成果，能否發(fā)現(xiàn)拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì).接下來的討論完全可以讓我們放心。教師先后讓六位同學(xué)發(fā)言，簡單記錄如下（根據(jù)錄像整理，不是原話）：生1：我探討的是拋物線的焦點(diǎn)弦的弦長的最小值，當(dāng)弦垂直

35、于其對稱軸時取得最小值，沒有最大值。同時我還得到焦點(diǎn)弦兩個端點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系：。生2：弦中點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離等于弦長的一半，從弦AB的中點(diǎn)向準(zhǔn)線引垂線，如果垂足是C，則ACB90°，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，準(zhǔn)線是這個圓的切線。生3：AOB的面積有最小值。生4：焦點(diǎn)弦的中垂線與拋物線的交點(diǎn)到焦點(diǎn)弦的距離相等。生5：如果A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為：，那么。生6：弦中點(diǎn)的軌跡亦為拋物線，新拋物線的焦點(diǎn)與原拋物線的焦點(diǎn)是有聯(lián)系的。至此，教師啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索的階段已經(jīng)完成。無論是學(xué)生經(jīng)過自身努力獲得探索的結(jié)果，還是受其他發(fā)言同學(xué)的啟發(fā)思路更加開闊，對于學(xué)生來是說，都是一種巨大的收獲。普通

36、高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在理念的論述中指出：倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。同時，高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建?！钡葘W(xué)習(xí)活動，為學(xué)生形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)

37、注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程。這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷。數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用。汪老師的這節(jié)課，成功之處在于真正的實(shí)施讓學(xué)生自主探索，在學(xué)習(xí)知識的同時，能力得到提升。在學(xué)生交流之后，教師又帶領(lǐng)學(xué)生一起對拋物線的焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)的軌跡等兩個問題進(jìn)行了論證，體現(xiàn)了對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。縱觀整節(jié)課程，汪老師較好的體現(xiàn)了新的課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，

38、同時注重基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技能的落實(shí)，確實(shí)值得我們借鑒。思考與活動1同課異構(gòu)活動圍繞圓錐曲線綜合題，自選一節(jié)課，約請一個區(qū)域（或幾個學(xué)校）的幾個數(shù)學(xué)老師作課，相互觀摩實(shí)際的授課，聽課之后一起評議。重點(diǎn)探討如何突破教學(xué)難點(diǎn)。2目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)選擇一個單元的內(nèi)容，約請一個區(qū)域（或幾個學(xué)校）的幾個數(shù)學(xué)分別命制目標(biāo)檢測題，交流之后，安排一次研討，品評每一道題目的優(yōu)劣，達(dá)到提高命制目標(biāo)檢測題目水平的目的。3教學(xué)設(shè)計(jì)交流選擇一個大家公認(rèn)難教的課題，約請一個區(qū)域（或幾個學(xué)校）的幾個數(shù)學(xué)老師作該課程的教學(xué)設(shè)計(jì)，之后相互交流研討，達(dá)成共識。參考資料【相關(guān)資源】1.一類圓錐曲線交點(diǎn)問題的常用解法(PDF)2.一

39、類過定點(diǎn)的橢圓和雙曲線方程的求法(PDF)3.一類非標(biāo)準(zhǔn)雙曲線離心率的求法(PDF)4.一道高考題另一種形式的推廣(PDF)5.三角形和圓的性質(zhì)在圓錐曲線中的運(yùn)用(PDF)6.優(yōu)美圓錐曲線(PDF)7.再議圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱的問題(PDF)8.雙曲線中有關(guān)中點(diǎn)弦存在性問題的探索(PDF)9.雙曲線的軌跡問題求解四法(PDF)10.向量與解析幾何的交匯(PDF)11.圓的垂徑定理的推廣_橢圓_雙曲線的性質(zhì)探究及應(yīng)用(PDF)12.圓錐截線若干性質(zhì)的解析證明(PDF)13.圓錐曲線一個有趣的關(guān)系式(PDF)14.圓錐曲線一組統(tǒng)一性質(zhì)的推廣(PDF)15.圓錐曲線與其他熱點(diǎn)知識的交匯(PDF

40、)16.圓錐曲線與方程的探究性學(xué)習(xí)(PDF)17.圓錐曲線中“范圍問題”的解法高考熱點(diǎn)問題專題復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)(PDF)18.圓錐曲線中的定值與最值問題(PDF)19.圓錐曲線幾類問題的簡明解法(PDF)20.圓錐曲線定點(diǎn)弦的一個奇妙定值(PDF)21.圓錐曲線平行弦性質(zhì)探究(PDF)22.圓錐曲線最值問題的處理方法(PDF)23.圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)及應(yīng)用(PDF)24.圓錐曲線焦點(diǎn)弦的長度與條數(shù)關(guān)系(PDF)25.圓錐曲線的“共軛直線”及應(yīng)用(PDF)26.圓錐曲線的“內(nèi)部”作用(PDF)27.圓錐曲線的一個優(yōu)美性質(zhì)(PDF)28.圓錐曲線的切線性質(zhì)相關(guān)性(PDF)29.圓錐曲線的應(yīng)用性問題(PD

41、F)30.圓錐曲線的新性質(zhì)探究(PDF)31.圓錐曲線的有趣性質(zhì)(PDF)32.圓錐曲線的通徑公式及其應(yīng)用(PDF)33.圓錐曲線解題誤區(qū)辨析(PDF)34.圓錐曲線問題中一對奇異的“伴侶點(diǎn)”(PDF)35.探析解析幾何中的例索性_存在性問題(PDF)36.探究雙曲線四種定義的_統(tǒng)一_性_一節(jié)選修課的設(shè)計(jì)思路(PDF)37.數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)綜合能力題選講解析幾何(PDF)38.有關(guān)圓錐曲面鏡面反射的幾個結(jié)論(PDF)39.有關(guān)橢圓焦點(diǎn)弦的高考題的探究(PDF)40.有心圓錐曲線的一組性質(zhì)(PDF)41.橢圓與雙曲線的一個重要性質(zhì)(PDF)42.橢圓與雙曲線的兩個統(tǒng)一性質(zhì)(PDF)43.橢圓與雙曲線的另一定義(PDF)44.橢圓準(zhǔn)線上點(diǎn)的有趣性質(zhì)的簡證及新性質(zhì)(PDF)45.橢圓第二定義的應(yīng)用(PDF)46.現(xiàn)代手持教育技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究_圓錐曲線焦點(diǎn)弦的一種性質(zhì)(PDF)47.用幾何畫板畫橢圓的六種方法(PDF)48.運(yùn)用圓錐曲線的光學(xué)性