清北學堂2012年暑假數學高端班(特訓一)幾何導學(知識點模擬真題講解)

1、北京沽北學堂教療科技冇限公訶 電話010-88400903 網址：交丁點P.求證：PC丄AC.M,N分別是APEF的垂心.幾何導學分為以下幾部分：一、平面兒何模擬真題及答案二、三角形的心知識點概括及模擬真題講解三、面積問題、面積方法知識點概括及真題講解四、四點或多點共圓問題一、平面幾何模塊模擬測試題一、如圖1,半徑為為R的OO經過AABC的頂點A、B,且分別與邊CA、CB 交于點D、E , AE與BD交于點P.求證：OC + OP'PC，= 2R?二、如圖1,已知ABCD是平行四邊形，但非矩形和菱 形，CE丄AB 丁 E,C

2、F丄AD J：F,連結FE,DB并延長三、如圖，APAB中，E,F分別是邊PAPB上的點, 在AP,BP的延長線上分別取點C,D ,使PC= AE,證明：MN丄AB.四、AABC中，D是角A平分線上的任一點，E,F分別是AB,AC延長線上的點, 且CEED, BF 6；若“,14分別是CE,BF的屮點;證明：AD丄MN.平面幾何模塊模擬測試題答案C一、如圖2所示，過點C作O0的兩條切線，切點分別 為從N,連結必、MD、NB、NE、DE.易證 ACDM s ACMA, ACEN s ACNB , ACDE sACBA.H DM _ CD NE _ CN AB _ CBMA CM ' BN

3、 CB，CE CD由切線長定理知CM二CN,所以DM AB NE CD CN CB , r n .心占宀=1, 丁是由塞瓦定MA BN ED CM CB CD理可知AE、BD、MN相交于點P.乂 MN 丄 CO,所以 PC3-PO2 = NC2-NO2 = OC2-R2-R2,UP OC2 + OP3-PC2 =2R2.二、證法1:設AC與BD交于點O,M是EF的中點.因E,F在以AC為H徑的圓 上，所以，OM丄EF.過E作EH/BD,交AF于H ,交AC于G,貝'J =,從而G為EH的 GH OD中占I 八所以 GM/HF ,所以 v EMG=<EFH <ECG.故 E,

4、C,M,G 四點共圓.所以v MC ©<ME<MP ,所以O,P,C,M四點共圓，所以<OMP =< OCP.因為OM丄EF,所以v OMP = 90°,所以vO CP = 90°,所以PC丄AC.證法 2：設 AD = a,AB = b,<BAD = 6>,則 DF=bcos&, EB = acos<9.由梅涅勞斯定理知器罟詈1,所以晉哈孔 FE ,_ * _ 3 _ _ D _ 3 _ CP = CE + EP = CE + (CE CF)二 CE - -CF , b- - a" b- - a-北京淸

5、北學堂教療科技冇限公訶 電話010-88400903 網址：&盂= / r (b'EE-a&)(而 + 亦). b- - a*注意到W CF =0, CE =0 ,貝ljCP. 1(b2a2 sin 6>-a2b2 sii <9) = 0.b- -a-所以PC丄AC.證法3：延長AF,PC J-點Q，設EF,CD交丁點M.由BEMD,BCAQ,知誥唱吩，從而EC/MQ.結合 AE/MD,vCEA=90°,則 v QMD = 90°.而VCFQ = 90°,則C,M,F

6、,Q四點共圓.易知 AE,C,F 四點共圓，從而 v MQC =v MFC =< CAE =V ACD .于是< ACP =< ACE+ < PCE =< ACE+ < MQC =< ACE+ < ACD = 90°.故PC丄AC.三、證：如圖,設線段DE,CF,PF的中點分別為G,H,K,則K也是BD的中點, 據中位線知，在ZXBDE中，KGBE, KG = -BE：2在 MCF 中，KH/PC, KH = 1PC,即KH/AE, KH 弓 AE,所以KHG“AB,且 H GAB, HG = -AB.DMCHT2為證MN丄AB,只耍證

7、MN丄HG.以G為圓心，DE為直徑作OG,其半徑記為R： 以H為圓心，CF為fi徑作0H,其半徑記為r,設氏線AC交MD 丁 Q, MC交BD 丁 W,由丁點M是APCD的垂心,則 MD 丄 PQ , MCI PD ,所以 DWCQ 共圓，故有 MQMD = MCMW (D另一方而，由于ZEQD = 90*, ZFWC = 90*,可知，Q在OG上，W在OH上，從 而MQ MD = MG3-R2, MC MW = MH2-r2,因此化為 MG2 -R2 = MH2-r2,即 MG2-MH2 = R2-r2 乂設ft線NF交AC T- S , NE交BD 丁 T,由丁點N是 PEF的垂心，則NS

8、 丄 PE ,NE丄PF ,所以EIFS共闘，故有 NT NE = NF NS 再由ZDTE = 90 ZCSF=90可知，T在OG上，S在OH上，從而NT-NE = NG2一R?, NF NS 二 NH2 -r2,因此化為 NG-R2 = NH2-r2, 即 NG2-NH2 = R2-r2 g)據0、得，MG3-MH2 = NG2-NH2,所以 MN 丄 GH,而 HGAB,所以MN 丄 AB.以、證：如圖，延長BD,CD,分別與AC, AB交于H,G ,注mADBG,ADCH關丁頂點D的等高性及等角性，由而積比定理,（記號A表示面積）,所以BG _ ADBG _ DBxDGCH _ ADC

9、H _ DCxDHBG DC DH = CH DB DG BE _ BG DC DHCF " CH DB DGBE由、得礦1,即血越又由CE/BD, BF/CD,得警骼券罟，所以5北京淸北學堂教療科技冇限公訶 電話010-88400903 網址：#北京淸北學堂教療科技冇限公訶 電話010-88400903 網址：取 BC 的中點 K,據中位線知，MK/BE,MK4BE,NK/CF,NK4CF.#北京淸北學堂教療科技冇限公訶 電話010

10、-88400903 網址：由，KM = KN作角分線KP,則KP丄MN,因MK AB , NK AC ,所 以其角分線ADKP,因KP丄MN,得AD丄MN.二、三角形的心知識點：三角形的外心、朿心、垂心、內心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心.1、外心：三角形中垂線的交點，三角形外接圓的関心，簡稱外心與外心關系密 切的有圓心角定理和圓周角定理.2、朿心：三角形三條中線的交點，叫做三角形的乘心.學握雨心將每條中線都分成定比2:1及中線長度公式，便丁解題.3、垂心：三角形三條向的交戰(zhàn)，稱為三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四個 等(外接)圓三角形，給我們解題提供了極大的便

11、利.4、內心：三角形角平分線的交點，三角形內切圓的圓心，簡稱為內心.對丁內心， 要掌握張角公式，還耍記住下面一個極為有用的等暈關系：5、旁心：三角形的一條內角平分線與另兩個內角的外角平分線相交于一點，是旁切圓的関心，稱為旁心.旁心常常與內心聯(lián)系在一起，旁心還與三角形的半周長關系密切.模擬真題：題1：例1、在ZXABC中，0為外心,I為內心，ABVAC, ABVBC, D和E分別是 邊AC、BC上的點，且滿足AD二AB二BE,求證：10丄DE。分析一：連結0D、0E、ID和IE,要證IO丄DE ,只需證ID2-IE2 - OD2 -OE證明一：設 BC=a, CA=b, AB=c, AABC 的

12、外接圓半徑為 R,則 CD=b-c, CE=a-Co在()*(：和AOBC中，由斯徳瓦特定帚，得OD2 =R2-c(b-c), OE2 =R2-c(a-c) OD2-OE2 =c(a-b)連結 Al 和 BI,則厶ADIAABIAEBIAID=BI, IE=AI作IH丄AB TH,則由內心的性質，知BH =丄(a + c- b) , AH =丄(b + c- a)2 2ID2-IE2 = BI2-AI2 = BH2-AH2 =l(c+a-b)3-l(b+c-a)22 2= 2c 2(a -b) = c(a 一 b) 4于是得 ID2-IE2 = OD2-OE2,故 IO 丄 DE評述：在任意四

13、邊形ABCD中，若對邊平方和相等，則對角線互和垂直。此 題lE是應用這個結論而得證的，IDOE構成一個凹四邊形，對角線為10和DE。分析二：由T- AB=AD可得AI丄BD,延長AI交外 接圓丁M,連結0M,則0M丄BC,故可發(fā)現(xiàn)10"和厶 DEB的對應邊互相S fto故只需證這兩個三角形相似 即可。證明二:連結AI并延長交ZABC的外接圓F點M, 連結0M、BDo則有0M丄BC, IM丄BD ZAM0二 ZDBC耍證MIOs/EDE,則需證竺=匹MO BE乂由內心的性質得MI = MB ,故只需證MB _ BDMO - BA因為竺=MO竺=1BAZBAD = ZBOM ,故厶 BA

14、D s MOB 得證。故只需證Abad Amob08北京淸北學堂教療科技冇限公訶 電話010-88400903 網址： MIO s BDEIO丄DE:評述：如果兩相似三角形有兩組對邊互相垂H,則第三組對邊也垂氏。當 兩線段無公共點時，我們常用此法來證兩線段垂宜。題2：如圖，ZABC中，0為外心，三條高AD、BE、CF交丁點H, H線ED和AB 交丁點M, FD和AC交于點N,求證：（1） 0B丄DF, 0C丄DE： （2） 0H丄MN（2001年全國高中數學聯(lián)賽加試題一）證明：(1) TA、C、D、F四點共圓, ZBDF = ZBA

15、C ,XVZOBC = |(180°-BOC) = 90°-ZBAC ,OB 丄 DF同理OC丄DE(2) 思路分析：要證0H丄MN,由例1的方法可知，只須證明MH2 - NH2 = MO2 - NO2(*)而要證(*)式只須用題設條件中的垂直和證(1)中的垂直,可得到類似的 等式，將這些等式組合即可得(*)o證法一：*. CF 丄 MA， MC3-MH2 = AC2-AH2 V BE 丄 NA,ANB2-NH3 = AB2-AH2 DA 丄 BC ,:.bd2-cd2 =BA2 -AC2 OB 丄 DF ,. BN2-BD2 :=ON2 -OD2T OC 丄 DE,/.C

16、M2-CD2= OM2-OD2-+-，得nh2-mh2 = on2-om2OH丄MN分析二：耍證OH丄MN, 乂有EH丄AN, OE丄FN, 故可作AG/MN,交NF延長線丁點G。故只需證A BOH sNGA即可。證法二:過點A作AGMN，交NF延長線丁點G。I ZFDB = ZBAE = ZEDC = ZBDMBD為ZMDF的內角平分線MA.FA FD _ BF AE _ AF - BF DM - NW MA_°ABAF e 2AFBF 9 MF = MA- AF = AF -BFAF -BF2BF FN=(V AG/MN)MA AB NG ZDFC = ZDAE.AFNCA AN

17、D右 AD 2W有=FC FN工冃AN 2BF AD于是=2sni B cot B = 2 cosBNG AB FCBHBCBC ",IIIJ= 2BD 9sin ZBCF sill ZBHC sin ZBAC則= 2 sill ZBCF = 2 cos B ,從而邏更 =BOBO NG乂 ZOBH = ZABC - ZABO - ZCBE = ZABC - ( - ZACB) - ( - ZACB)2 2=ZACB - ZBAC則= ZACB - ZNDC = ZACB - ZBC = ZOBH故厶 BOH s' nGAI OB 丄 FN,BH 丄 AN , OH 丄 AG

18、 ,則 OH 丄 MN題3：在直角三角形中，求證：嚴幾+八+八二2卩式中“ n, n分別表示內切圓半徑及與a, b, c相切的旁切圓半徑, P表示半周.(杭州大學中學數學竟賽習題)證明：設RtA中，c為斜邊，先來證明一個特性：p(p-c) = (p-a) (p-b).*p(p-c)=(計快以) 2 2=-(34-Z?) 2c4=ab；2(p-a) (p-b) = (-快c) (a-d+c)2 2p(p-c) = (p-a) (p-b). 觀察圖形，可得 rAF-AOp-b、 rBG-BOp-a, r=CK=p.二p-C: z+幾+廠計耳=(p-c) + (p-b) + (p-a) +p=4/l

19、 ("決 c) =2p.由及圖形易證.題4： 是肋C邊肋上的任意一點打，?2,廠分別是MG HBMC、肋C內 切闘的半徑，w 4 g分別是上述三角形在內部的旁切圓半徑證(2W-12)分析：對任意川B' C ,由正弦定理可知AOD=OA' siii Of 凸 Af Br ODe O7亦即有rl.Brsm 2sill ZArOfBr.Ar . B1sin sm2 2A+B1sni2sin仝A1Bfcos cos 22T Af+Bfsm2.A= tgTtgT-=tg-tg ZCMAtg ZCNBtg -°2 ° 2 ° 2 ° 2=t

20、g7tg7=-22 qC*B面積問題面積方法知識點：1、面積公式由丁平而上的凸多邊形都可以分割成若干三角形，故在而積公式中最基本的 是三角形的面積公式它形式多樣，應在不同場合下選擇最佳形式使用.設厶ABC , a,b,c分別為角A,R,C的對邊，h.為a的萬，R、r分別為 ABC外接圓、內切圓的半徑，p = l(a + b+c)則 ABC的面積有如下公式：(1)saabc =亍 ah.；(2)Saabc =sin A(3)Saabc = Jp(P- a)(p - b)(p- c)(4)Saabc = -r(a+b+c)= pr(5)abcQ一S 4R(6)Saabc = 2R2 sill As

21、ill Bsill C（一、 c a2 sill B sill Cl 1 / 、AABC =2shi（B + C） =|ra（b+c-a）（9）= R2（sill 2A+ sill 2B + sill 2C）22.面積定理（1）一個圖形的而積等J：它的各部分而積這和：（2）兩個全等形的而積相等：（3）等底等高的三角形、平行四邊形、梯形（梯形等底應理解為兩底和相等）的面積相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四邊形、梯形的面積的比等r其所對應的 高（或底）的比；（5）兩個相似三角形的而積的比等丁相似比的平方；（6）共邊比例定理:若 PAB和 QAB的公共邊AB所在宜線與直線PQ交于M ,則 S

22、pab ：= PM : QM ：（7）共角比例定理：A ABC和AB'C'中，若ZA=ZA'或上A+ZA'= 180。,則 SaabcSaabcAB-ACA'B' A'C'3張角定理：如圖，由P點出發(fā)的三條射線PAPB,PC ,設Z心C = a, ZCPB = 0,ZAPB = Q+ 0 <180。，則AB,C三點共線的充耍條件是: sin a sin 0 _ siii( a+ P)PB + PA _ -PC -模擬真題：Is設點D為等腰/XMC的底邊BC k 一點，尸為過久D、C三點的圓在MC內的弧上一點，過方、D、尸三點

23、的圓與邊肋交于點氏求證：CD EF+DF AE二BD AF°證明：設力尸的延長線交厶方。尸于 ZAEF = ZAKB, /. AAEF AAKB ,EK _ BK AEAF _ AB、AF礦丁是耍證,只需證明：CD -BK + DF AK = BD AB (2)乂 注意到 ZKBD = ZKFD = ZC。13北京淸北學堂教療科技冇限公訶 電話010-88400903 網址：= -CD-BKsinZC2Saabd =進一步有扣 D.gZCSaadk= lAKDFsiiiZC214北京淸北學堂教療科技冇限公訶 電話：010-

24、88400806網址：#北京淸北學堂教療科技冇限公訶 電話010-88400903 網址：因此要證（2）,只需證明SwdhSck + Swk（3）而（3）OS應=5沁08«川事實上由ZBKA= ZFDB = ZKAC知（4）成立，得證2:（牛頓線）外接四邊形的內切圓心和對角線中點共線。（這是一個經典結論，它的證明很有創(chuàng)意，是而積法的經典之作）證明：如圖，四邊形ABCD中，M和N為對角線AC和BD的中點，連接 AO, BO, CO, DO, AM, CM, DN,

25、 BNJ 是 AADM+ BCff 邊彤ABCDSADN + S血N = 邊形ABCD'AADO + SABCO =-弘如7ABCD由丁平而上滿足Swp + S血p = i鼻邊倫口的點P的軌跡是一條氏線，所以，M、0、N共線。（證明簡短，但是其中包含很多道理）。如圖，E為圓內接四邊形ABCD的AB邊得中點，#北京淸北學堂教療科技冇限公訶 電話010-88400903 網址：#北京淸北學堂教療科技冇限公訶 電話010-88400903 網址：EF 丄 AD TF，F(xiàn)

26、H 丄 BC 于H, EG 丄 CD 于G 求證：EG平分FH.證明：設 ZHEP = a,ZFEP = 0,ZEPF = 0,Q與ZC互補，ZAZC互補互補 /. a=ZA 同理0=ZB乂 EF = AE sin A= AE sin aEH = EBsinB = EBsin/?AE=EB,所以1=注.注lPEEHSin"jPE PH sin(18O°-(9)SaPEF apeh-PEPF sin<9 一 2ipE EF sin02PE2-PF EH sin Osin a PF EH sin a=PE2 EF PH sin<9sin/? PH EF sinpPF

27、 EB sin/7 sina _ PF-PH AE sinasin/7 - PH從而，PF二PH.!1!15北京淸北學堂教療科技冇限公訶 電話010-88400903 網址：#北京淸北學堂教療科技冇限公訶 電話010-88400903 網址：知識點:1.利用圓的定義證明#北京淸北學堂教療科技冇限公訶 電話010-88400903 網址：即要證A、B、C、D四點共圓,只需要找到一點P,證得PA=PB=PC=PD即

28、2、3、4、利用圓內接四邊形性質定理的逆定理(1) 若四邊形的兩個對角互補，則四點共圓(2) 若四邊形的一個外角等丁它的內對角，則四點共圓.利用圓周角定理的逆定理，即兩三角形有公共底邊，且在公共底邊同側乂有相等的頂角，則四頂點共圓.利用圓幕定理的逆定理，即#北京淸北學堂教療科技冇限公訶 電話010-88400903 網址：(1) 若二線段AB和CD相交與E,且AE EB =CE ED，則A E、C、D 四點共圓;(2) 若軸交于P點的二線段PB、PD上各有一點A、C,且PA PB= PG £ 則 A、E、C、D 四點共圓；

29、5、利用托勒密定理的逆定理，即如果四邊形ABCD的兩組對邊乘積的和等丁它的兩條對角線的乘積：AB CD+ BC- D缶 AC- ED則 A E、C、D 四點共圓.6、利用位似變換如果兩個兒何圖形F和F，的任意一對對應點A和A的連線都通過同一定 點O,且OA = K OA (其中K是常數)，那么這兩個圖形叫做位似圖形.O叫做位似中心，K叫做位似系數.通常把從圖形F到嚴得變換叫做位似 變換.如通過位似變換，圖形F屮共線的點在圖形嚴中仍然共線，反Z亦 成立.(1)通常先證其屮四點共圓，再證其余點屮一一與共圓四點組屮的三點 共圓；（2）利用位似變換.模擬真題 題1:凸阿邊形有內切圓，內切圓切邊肋、BC

30、、CD、刃分別于兒、5、G、D、,連接仏民、BC、CD、DM、,點E、F、G、分別為 兒5、BG、CD、0蟲的中點，證明：四邊形EFGH為矩形的充耍條件 為A. B、C. Q四點共圓。c證明：連接 /Z、BZ、CI、DI、A.I. DJ,則AA力以為G»Z的切線M丄仏以,且力、H、Z三點共線在骯由射影定理得：IA 同理可得：lAIBIE:.IH IA =IB IEH、A、B、E四點共圓 Z EHI Z AB I同理可得：ZGHI 二乙 ADI, ZEF：二乙 CBI、 Z GF Z CD I:.Z EHO Z EFG= Z ABC Z ADC當四邊形肋GF為矩形時，Z ABC+ Z

31、ADO Z EHCh- Z EFg 180°A. B、C. Q四點共圓當A. B、C. D四點共圓時Z EHO Z EFg Z ABC+ Z ADC=i80° 乂 E、分別為AB.肋中點 2EH /_ BQ同理可得：2FG么BD:.EH 么 FG四邊形EFGH為平行四邊形I Z EHG= Z EFG :.ZEHggy四邊形EFGH為矩形2：已知P為O0外一點，PA、丹為其兩條切線，A. 3為切點。設Q為PO與朋的交點,過Q作O0的任一條弦CQ。求證：NPAB與厶PCD有相同的內心o 證明：設P0交0 0于/,連接 M、BI、CI、DI,則PA、刊為切線PA二PB乂 0A=0

32、B:.Z APO= Z BPO, ZAOKZ BOPAI=BI:.ZBAI=ZABI=ZPAI:.Z為必方的內心I P、A. 0、方四點共圓AQBQ =OQPQI A. B、C、四點共圓AQBQ二CQDQ:.CQ DQ =OQ PQP、C. D、0四點共圓 OOOD => Z CPODPO:.Z CDP= Z COP= Z COI= 2 Z CD I:.ZV平分乙CDPz為的內心即：PAB與有相同的內心題3；設“ABC是銳角三角形，其內心，夕卜心，垂心分別為I, OJiqABC的內切圓與邊BC切 于點D,若ZB二ZC, AO/HD,OD與AH交與點E,線段CI的中點為F,證明EF丄O四點共 圓。解: 首先看幾個結論：（1）HG=GE（2）PM£OA（P為AH的中點，M為BC的中點。）（3）?7aABC的內切圓與BC切點D, ZA內的旁切圓與BC切點N, 則M是ND的中點。（提示：BD=CN）（4）AN/IM （提爪：作I冊的直徑DD,過D作BC的'"j線與AB, AC 分別交與B'.C'r.-A是aABC的與aABC的位似屮心,二A, D,N三點 共線,二 ND7/K4I）（5）ZBAO=ZCAH證明：設AH與圓O交與E； AH與O O交與Er,.-. HE，并與