中考壓軸題中的數(shù)形結(jié)合

1、中考壓軸題中的數(shù)形結(jié)合中考壓軸題中的數(shù)形結(jié)合一般性數(shù)學(xué)試卷的最后一題在測試學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ)上，本著適度區(qū)分的 原則，最后一題的三個小題的坡度逐漸提升，達(dá)到分層的效果.這些試題一般性取材 于課本但高于課本,強(qiáng)調(diào)知識的靈活運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，原創(chuàng)題較少，大多屬于改編體, 它們的基本圖形在兒何畫板中加以研究,達(dá)到推陳出新的效果，絕大多數(shù)屬于改編 題.下面以08年靜安、楊浦兩區(qū)模擬考最后一題為例，進(jìn)行歸納分析.它們的難度略 低于中考的壓軸題.例1.(08靜安)如圖，在四邊形A8C。中,N8=90° /D8C/8=4,8C=12,點(diǎn)E在邊BA的延長線上/E=2,點(diǎn)F在BC邊上,EF與邊AD相

2、交于點(diǎn) G,DF_L£F,設(shè) AG=x, DF=y.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(2)當(dāng)AD=11時，求AG的長；(3)如果半徑為EG的。£與半徑為FD的OF相切,求這兩個圓的半徑.分析:本題以直角梯形為載體，笫1小題梯形結(jié)合相似形知識來研究兩條線段的數(shù)量 關(guān)系,探求函數(shù)關(guān)系式與定義域;第2小題在研究特殊情況下知道函數(shù)值A(chǔ)D=11求自 變量AG的值,第三小題結(jié)合圓的內(nèi)容以兩圓相切(外切與內(nèi)切)這一知識點(diǎn)來壓軸. 其實(shí)如果學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)，利用兩圓相切關(guān)系建立等式：當(dāng)。E與。F外切 時，日三EG+FD=EG+FG,當(dāng)與。F內(nèi)切時,£F= FD - EG,

3、相關(guān)的量都用含自便量的代數(shù) 式來表示,從而利用關(guān)系等式建立方程，解方程求出自便量的值，再求出兩個圓的半 徑，考察了方程思想.略解:/W8C,N8=90°,.NEAG= N8=90",，EG=4 + X2 .；=,AB AE：.FG= '" = f 匚=2" + / . ,/ Z DFG= Z E4G=90°, Z EGA= Z DGF, AE 2Z. DFG EAG.=l,：.y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式為GF AG 2用7 *),= 4j4 + k ,定義域?yàn)?vx«4 X(2) V DFG s EAG,：. 出="

4、.，GD= ,當(dāng) >40=11 時，X4-S- - =11 , EG AGxx士=1,=g .經(jīng)檢驗(yàn)它們都就是原方程的根，且符合題意，所以數(shù)的長為1或g . JJ當(dāng)。£ 與Of 外切時,ef=eg+fd=eg+fg,，f。邛adfgAeag, ：./E= /AGE二/FGD= NGDF. ：.AG=AE=2; ：. 0£ 的半徑 EG=2&,0F 的半徑 FD=4戊.當(dāng)0E 與Of 內(nèi)切時上/三 FD - EG, ：.3 " + / = X4 + .1 一 百二7,：.x = ，0E的半徑EG="TT = A,0F的半徑m=46所以。E的半

5、徑為2拉,0F的半徑為4拉;或。E的半徑為 5OF的半徑為4 V5 .例2.(08楊浦)如圖用ABO在直角坐標(biāo)系中/A8O=90。，點(diǎn)4-25Q),NA的正切值為 士，直線48與y軸交于點(diǎn)C3求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)將480繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8落在x軸正半軸上的中處。試在直角坐標(biāo)系 中畫出旋轉(zhuǎn)后的WB/O,并寫出點(diǎn)卬的坐標(biāo)；在直線0卬上就是否存在點(diǎn)D,使CO。與AOS相似，若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.Ay分析:本題以直線(一次函數(shù))為載體，它與坐標(biāo)軸的結(jié)合鑲嵌了/ ,母子直角三角形在內(nèi)，結(jié)合三角比知識求/點(diǎn)B的坐標(biāo)就構(gòu)成了第一小題；第二小題結(jié)合我們 上?？碱}的一貫特色，圖形三

6、大運(yùn)動之一旋轉(zhuǎn)來A °考察學(xué)生的畫圖能力，直接寫出坐標(biāo)則秉承了上海06年中考24題的一貫分格，只不過06年的24題以二次函數(shù)為載體;第三小題則結(jié) 合了相似形只就是考察分類討論的數(shù)學(xué)思想與方程思想.其實(shí)這種習(xí)題如果學(xué)生留意 一下，就會成為傻瓜題,不管就是否結(jié)合坐標(biāo)系背景，只要就是文字語言敘述的存在性問題，都會 保證一個字母相同(提供一個相等的角)分兩種情況;如果沒有相同字母時一定會隱藏相等的叫 在里面，分類討論的方法相同，如挖掘出NA=NCOA/當(dāng)烈=型或三=曲時，第1、2比例OD AB OD AO項(xiàng)不變，第3、第4比例項(xiàng)調(diào)換位置,最多時有三個答案.略解:易得 B( 16,12乂2)正

7、確畫圖 A/(20,15)在 RtAAOC 中,AO=25,tgA= A0C=絲 設(shè) 0A， 33 3的解析式為y=kx,則15=20k,則k=-zAy=-x4 4V AABO 旋轉(zhuǎn)至4A由/0,，ZAOB=ZA/OB; V NAOB+NA=900,NCOA/+/A/OB/=90。,，ZA=Z3 5COA在直線OA/上存在點(diǎn)D符合條件，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為'二x),則OD二二X4 41001)當(dāng)=即也即 x=16 時,ZkCOD 與AOB 相似，此時 D(16z12)OD AB 515x41002)當(dāng)仁=四即二=12x=時COD與AAOB相似，此時D().OD AO 525993x4L對于兩

8、類壓軸題的對比分析圖形EAB(1)CFCA0(2)» X共同點(diǎn)代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結(jié)合）；著力于數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心內(nèi)容的考查；四大數(shù)學(xué)思想:數(shù)學(xué)結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù)不以形為載體,研究數(shù)量關(guān)系以數(shù)為平臺,研究形的特征同點(diǎn)通過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式通過方程思想確定點(diǎn)的坐標(biāo)或函數(shù) 關(guān)系式研究特殊情況下的函數(shù)值研究特殊圖形的存在性我市今年各區(qū)最后兩題均屬于一道以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系、一道以數(shù)為平臺，研 究形的特征，這也與最近兩年中考題最后兩題吻合.2 .習(xí)慣于思考試題編制方法與策略題型，縱向挖掘，橫向發(fā)展，以及改換試題背景,改變命題的呈現(xiàn)形式(如開放、探索 式)，改換圖形(如由等

9、腰直角三角形改為等邊三角形或直角三角形或一般等腰三 角形)等.同一起點(diǎn)題需要進(jìn)行多方面、多角度進(jìn)行改編，在控制難度的前提下，達(dá) 到試題需要所要發(fā)揮的功效.譬如說(08靜安)就就是以直角梯形作為載體,結(jié)合相 似形知識編制出1、2小題，也只有結(jié)合圓的知識形成探索，利用圓與圓的位置關(guān)系 這一基礎(chǔ)知識點(diǎn)滲透方程與分類討論的數(shù)學(xué)思想，其次，(08楊浦)題則以直線(一 次函數(shù))作為載體，結(jié)合相似形中的基本圖形(母子三角形)或就是運(yùn)用三角比知識 來確定點(diǎn)的坐標(biāo)，最后一小題則就是相似形知識滲透分類討論與方程思想來確定 點(diǎn)的坐標(biāo).其實(shí)這題還可以再添一條線，作其它變化.例3.如圖，已知。P與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)0,

10、點(diǎn)A(0 ,2)就是。P與)，軸的交點(diǎn),點(diǎn)B(2V2 ,0),連結(jié)BP交。P于點(diǎn)C,連結(jié)AC并延長交x軸于點(diǎn)D.(1)求線段BC的長；(2)求直線AC的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)點(diǎn)B在x軸上移動時，就是否存在點(diǎn)B,使aBOP相似于aAOD?若存在, 求出符合條件點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.該題還可以作出其它變化,這里對它的開放性不一一列舉.編制習(xí)題如改換題 設(shè),拓展知識深度與廣度；改變圖形,追求知識本質(zhì)的理解；改換題型，增強(qiáng)思維的 靈活性與深刻性；改換角度，理清知識之間相互聯(lián)系；改編情景，訓(xùn)練理解能力與建 模能力等.以下舉例進(jìn)行對比分析：例4. (1)(06松江)如圖，已知在直角梯形ABCD中,

11、AB / CD, Z C=90 ° ,CD=9,BC= 3, tgZA = yf5.P. Q分別就是邊AB、CD上的動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)4、點(diǎn)B重合)，且有BP=2CQ.(1)求48的長；(2)設(shè)CQ=x,四邊形PADQ的面積為y,求y關(guān)于A-的函數(shù)解析式，并寫出工的取值范圍；(3)若以C為圓心、CQ為半徑作。&以P為圓心、以PA的長為半徑作。P.當(dāng)。C與0P外切時，試判斷四邊形PADQ就是什么四邊形,并說明理由.分析:本題從載體到每個小題考察的內(nèi)容都就是與08靜安的最后一題的編制手法類似的.(2)如圖，已知二次函數(shù)y = V +加+ c (c W 0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(一2,m)

12、 (m< 0),與y軸交于點(diǎn)3, A3x軸，且3A8 = 2。8.(1)求加的值；(2)求二次函數(shù)的解析式；(3)如果二次函數(shù)的圖象與尤軸交于C、。兩點(diǎn)(點(diǎn)C在左惻).問線段BC上就是否存在點(diǎn)P,使POC為等腰三角形;如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.分析:本題從載體到每個小題考察的內(nèi)容都就是與08楊浦的最后一題的編制手法類似的.壓軸的點(diǎn)從06年的等腰三角形的存在性變化為08 楊浦相似形的存在性，共性在于:分類討論與方程思想的使用.下面再以一道習(xí)題感 悟習(xí)題的改編的策略.例6.【起點(diǎn)題】如圖1, NCAE就是4ABC的外角，ADBC,且NFN2,求證:AB=AC、改編1、

13、如圖1, NCAE就是ABC的外角，AB二AC,且N1=N2,求證：ADBC、改編2、如圖2, ZCAE就是4ABC的外角，ADBC,且N1=N2, AF為aABC的中線， 求證:AFJ_AD、改編3、如圖3, ZCAE就是aABC的外角,ADBC,且N1=N2,過AC的中點(diǎn)H作AD的垂線交AE于G,求證:AG=LaB、2改編4、如圖4, ZCAE就是aABC的外角，ADBC,且N1=N2,過C作CG1AD于G, F 為BC的中點(diǎn)，連結(jié)FG、(1) AC與FG有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；當(dāng)AC±FG時，AABC應(yīng)為什么三角形？改編5、 已知:如圖，在ABC中/8=4C/D_L8&

14、;咪4N垂足為點(diǎn)0,4V就是ABC外角NCAM的平分線，/ CE_LAN,垂足為點(diǎn)E,/求證:四邊形ADCE為矩形；/用（2）當(dāng)48C滿足什么條件時,四邊形ADCE就是一個正方形？并給出證明.這類習(xí)題只屬于常規(guī)的中檔題、就不在加以論述、其實(shí),上述例題很常規(guī),流行于外省市中考題的中檔題,上海還沒有改編、但就是最 后壓軸題以幾何為載體的不過就是分為圓與三角形、特殊的四邊形，如果就是前者, 最后一小題用等腰、直角、相似性存在性問題壓軸；如果就是后者，一般性最后一 小題就就是加入圓的內(nèi)容，運(yùn)用直線與圓相切（07上海最后一題）、圓與圓的位置關(guān) 系的討論（08上海最后一題）等、3、讓試題成為教師的朋友一般

15、性,試題的八個維度：瞧題，做題,選題,組題,講題,編題,研題，評題、從題 上顯功夫、與試題對話、教師先要做題，知道關(guān)鍵所在;將題目分類，同類題中將題 目分層分類理順;觀察、比較、研究題目之間的內(nèi)在聯(lián)系；最后總結(jié)提煉出帶規(guī)律 性的東西來;這時精選題目，將題目分組，回歸應(yīng)用；讓學(xué)生經(jīng)歷自己相類似的發(fā)現(xiàn) 過程再對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)促進(jìn)提高她們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、譬如,去年上海數(shù)學(xué)卷24題學(xué)生的失分很多，原因在于南匯的同行們類似的習(xí)題就講解不多，學(xué)生們讀不懂該題，感覺陌生、許多同學(xué)第2y小題都作不出來,導(dǎo)致得分率不高、' 如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)'（x>0,機(jī)就是常 /V數(shù))的圖象經(jīng)過A(

16、l,4), B(a, b),其中a>.過點(diǎn)A作4軸垂線，垂足為C,過點(diǎn)B作y軸垂線,垂足為。，連結(jié)AO, DC, CB.(1)若A3。的面積為4,求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求證：DC/ AB ,(3)當(dāng)AO = 8C時; 求直線A8的函數(shù)解析式.分析:于同時具有以形為載體,研究數(shù)量關(guān)系，以數(shù)為平臺，研究形的特征.略解：(1) (2) (3)方法1.-DC/AB,：.當(dāng)AD = BC時,有兩種情況:當(dāng)A£> 8c時，四邊形AOC8就是平行四邊形，由(2)得，=-1,= ,得DE CE4 = 2.，點(diǎn)8的坐標(biāo)就是(2,2).易得直線A8的函數(shù)解析式就是y = -2X+6.當(dāng) AO與8c所在直線不平行時，四邊形ADCB就是等腰梯形，則 BD = AC, .a = 4,點(diǎn)、B的坐標(biāo)就是(4, 1).易得直線A3的函數(shù)解析式就是 y = -x + 5.或就是方法2:當(dāng)AP = 3C時.，由兩點(diǎn)間距離公式建立關(guān)于。的方程，用 方程思想求出。的值加以求解、這里方