難點(diǎn)攻堅(jiān)如何尋找二面角的平面角

1、尋找二面角的平面角的方法二面角是高中立體幾何中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是一個(gè)難點(diǎn)對(duì)于二面角方面的問題，學(xué)生往往無從下手，他們并不是不會(huì)構(gòu)造三角形或解三角形，而是沒有掌握尋找二面角的平面角的方法我們?cè)噷ふ叶娼堑钠矫娼堑姆椒w納為以下六種類型一、根據(jù)平面角的定義找出二面角的平面角例1 在的二面角的兩個(gè)面內(nèi)，分別有和兩點(diǎn)已知和到棱的距離分別為2和4，且線段，試求：（1）直線與棱所構(gòu)成的角的正弦值；（2）直線與平面所構(gòu)成的角的正弦值 分析：求解這道題，首先得找出二面角的平面角，也就是找出角在哪兒如果解決了這個(gè)問題，這道題也就解決了一半根據(jù)題意，在平面內(nèi)作；在平面內(nèi)作，連結(jié)、可以證明，則由二面角的平面角的

2、定義，可知為二面角的平面角以下求解略二、根據(jù)三垂線定理找出二面角的平面角例2 如圖，在平面內(nèi)有一條直線與平面成，與棱成，求平面與平面的二面角的大小分析：找二面角的平面角，可過作；平面，連結(jié)由三垂線定理可證，則為二面角的平面角總結(jié)：（1）如果兩個(gè)平面相交，有過一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)與另一個(gè)平面垂直的垂線，可過這一點(diǎn)向棱作垂線，連結(jié)兩個(gè)垂足應(yīng)用三垂線定理可證明兩個(gè)垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角（2）在應(yīng)用三垂線定理尋找二面角的平面角時(shí)，注意“作”、“連”、“證”，即“作”、“連結(jié)”、“證明”三、作二面角棱的垂面，垂面與二面角的兩個(gè)面的兩條交線所構(gòu)成的角，即為二面角的平面角例3 如圖1，

3、已知為內(nèi)的一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，如果，試求二面角的平面角圖1圖2 分析：平面因此只要把平面與平面、的交線畫出來即可證明為的平面角，（如圖2）注意：這種類型的題，如果過作，垂足為，連結(jié)，我們還必須證明，及為平面圖形，這樣做起來比較麻煩例4 已知斜三棱柱中，平面與平面構(gòu)成的二面角的平面角為，平面與平面構(gòu)成的二面角為試求平面與平面構(gòu)成的二面角的大小分析：作三棱柱的直截面，可得，其三個(gè)內(nèi)角分別為斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面兩兩構(gòu)成的二面角的平面角總結(jié)：對(duì)棱柱而言，其直截面與各個(gè)側(cè)棱的交點(diǎn)所形成的多邊形的各個(gè)內(nèi)角，分別為棱柱相鄰側(cè)面構(gòu)成的二面角的平面角四、平移平面法例5 如圖，正方體中，為的中點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且設(shè)正方體

4、的棱長(zhǎng)為，求平面與底面構(gòu)成的銳角的正切分析：本題中，僅僅知道二面角棱上的一點(diǎn)，在這種情況下，尋找二面角的平面角較困難根據(jù)平面平移不改變它與另一個(gè)平面構(gòu)成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一個(gè)平面平移，找出輔助平面與另一個(gè)平面的交線，就可以作出二面角的平面角有了平面角之后，只需要進(jìn)行常規(guī)構(gòu)造三角形和解三角形的計(jì)算，就可以解決問題了如圖，過點(diǎn)作與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，與相交于點(diǎn)可證平面平面這樣，求平面與平面的二面角的平面角就轉(zhuǎn)化為求平面與平面的二面角的平面角顯然為這兩個(gè)平面的交線，過點(diǎn)作，為垂足，連結(jié)，可證則為本題要尋找的二面角五、找垂面，作垂線例6 如圖，正方體中，為棱的中點(diǎn)，求平面和平面所構(gòu)成的

5、銳二面角的正切分析：平面與二面角的一個(gè)面垂直，與另一個(gè)平面相交，過點(diǎn)作，垂足為，過作，交于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理可證，則為二面角的平面角總結(jié)：當(dāng)一個(gè)平面與二面角的一個(gè)平面垂直，與另一個(gè)平面相交時(shí)，往往過這個(gè)面上的一點(diǎn)作這兩個(gè)垂直平面交線的垂線，再過垂足作二面角棱的垂線根據(jù)三垂線定理即可證明，并找出二面角的平面角再如圖，要找所構(gòu)成的二面角的平面角，可找平面，且，過上任何一點(diǎn)作，垂足為，過作，垂足為，連結(jié)，可證為的平面角六、根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)找二面角的平面角1三線合一例7 如圖，空間四邊形中，試求二面角的余弦值分析：如圖1，則和為等腰三角形過作，垂足為，連結(jié)根據(jù)等腰三角形三線合一，且為中點(diǎn)，可證，

6、則為二面角的平面角2全等三角形例8 如圖，已知空間四邊形，試求的余弦值分析：過作，垂足為，連結(jié)根據(jù)已知條件，和全等，可證，則為二面角的平面角3二面角的棱蛻化成一點(diǎn)例9 如圖，四棱錐中，和與面垂直，為正三角形（1）若時(shí)，求面與面的夾角；（2）若時(shí)，求面與面的夾角分析：如圖，面與面的交線蛻化成一點(diǎn)，但面與面與面相交如果三個(gè)平面兩兩相交，它們可能有三種情況：（1）交線為一點(diǎn)；（2）一條交線；（3）三條交線互相平行在圖1中，兩條交線與互相平行，所以肯定有過且平行于的一條交線可過作，平面與平面的交線即為過作于，過作于可證，則為面與面的夾角如圖，與不平行且相交根據(jù)三個(gè)平面兩兩相交可能出現(xiàn)的三種情況，這三個(gè)面的交線為一點(diǎn)延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，連結(jié)即為平面與平面的交線，通