八年級下學(xué)期-分式的單元復(fù)習(xí)與鞏固(共27頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上分式單元復(fù)習(xí)與鞏固 一、知識網(wǎng)絡(luò)二、目標認知學(xué)習(xí)目標1以描述實際問題中的數(shù)量關(guān)系為背景，抽象出分式的概念，體會分式是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的 一類代數(shù)式2類比分數(shù)的基本性質(zhì)，了解分式的基本性質(zhì)，掌握分式的約分和通分法則 3類比分數(shù)的四則運算法則，探究分式的四則運算，掌握這些法則4結(jié)合分式的運算，將指數(shù)的討論范圍從正整數(shù)擴大到全體整數(shù)，構(gòu)建和發(fā)展相互聯(lián)系的知識體系5結(jié)合分析和解決實際問題，討論可以化為一元一次方程的分式方程，掌握這種方程的解法，體會解 方程中的化歸思想重點1分式的基本性質(zhì)；2分式的四則運算；3分式方程的解法難點1分式的四則混合運算；2根據(jù)實際問題列出分式

2、方程，解決實際問題三、知識要點梳理知識點一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1分式如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子就叫做分式。分式中，A叫做分子，B叫做分母。分式中的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當(dāng)B0時，分式才有意義。2分式的基本性質(zhì)（M為不等于0的整式）.3最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式。如果分子分母有公因式，要進行約分化簡。知識點二、分式的運算1約分利用分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子和分母的公因式約去，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。約分需注意事項：(1)對于一個分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個因式，使約分前后

3、分式的值相等；(2)約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程與分解因式中提取公因式時確定公因式 的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積。2通分利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把異分母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分通分注意事項：(1)通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母；最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡公分母的字 母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積。(2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉。3基本運算法則分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似 ,具體運算

4、法則如下:（1）加減運算 ± 同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。 ； 異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。 （2）乘法運算 兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。（3）除法運算 兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，與被除式相乘。（4）乘方運算 （分式乘方） 分式的乘方，把分子、分母分別乘方。4零指數(shù).5負整數(shù)指數(shù)6分式的混合運算順序先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的。知識點三、分式方程1分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程2分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母

5、將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程 3分式方程的增根問題(1)增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知 數(shù)允許取值的范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現(xiàn) 不適合原方程的根-增根；(2)驗根：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根驗根的方法是將所得的根帶入到 最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解。知識點四、分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些解題時應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等

6、關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進行求解。另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗、解釋結(jié)果的合理性。四、規(guī)律方法指導(dǎo)（一）分式的概念需注意的問題（1）分式是兩個整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分數(shù)線則可以理解為除號，還含 有括號的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必須含有字母（二）約分需明確的問題（1）對于一個分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個因式，使約分前后分式的值相等；（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程與分解因式中提取公因式時確定公因 式的思考過程相似；（3）約分是對分子、分母的整體進行的，也就是分子的整體和

7、分母的整體都除以同一個因式（三）確定最簡公分母的方法（1）最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)。（2）最簡公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.（四）列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟（1）審仔細審題，找出等量關(guān)系；（2）設(shè)合理設(shè)未知數(shù)；（3）列根據(jù)等量關(guān)系列出方程；（4）解解出方程；（5）驗檢驗增根；（6）答答題。經(jīng)典例題透析類型一：分式及其基本性質(zhì)1當(dāng)x為任意實數(shù)時，下列分式一定有意義的是（ ）A. B. C. D. 思路點撥：一個分式有無意義，取決于它的分母是否等于0。即若是一個分式，則有意義B0。當(dāng)x0時，x20，所以選項A不是；當(dāng)x時，2x10，所以選項B不是；因為x20

8、，所以x210，即不論x為何實數(shù)，都有x210，所以選項C是；當(dāng)x±1時，x10，所以選項D不是?！敬鸢浮浚篊?？偨Y(jié)升華：分式有意義的條件是分母不為零，無意義的條件是分母為零。2若分式的值為零，則x的值為 思路點撥：根據(jù)分式的值為零的條件，即：如果是一個分式，且0可以得到A0 ，B0.解析：由2x40，得x2. 當(dāng)x2時x10，所以x2；總結(jié)升華：分式等于零的條件是：分子等于零，分母不等于零，兩個條件缺一不可。舉一反三：【變式1】（1）若分式的值等于零，則x_；（2）當(dāng)x_時，分式?jīng)]有意義【答案】（1）由0，得x±2. 當(dāng)x2時x20，所以x2；（2）當(dāng)x10，即x1時，分

9、式?jīng)]有意義3下列各式從左到右的變形正確的是（ ）A BCD思路點撥：本題考察的是分式的基本性質(zhì)，可類比分數(shù)的基本性質(zhì)來思考。A的分子分母都乘以2，左邊右邊。故A對.而B中左邊要使小數(shù)系數(shù)化為整數(shù)系數(shù)，分子分母都需乘以10，結(jié)果為故B不對。C考察的是分式的符號法則，變號時應(yīng)將分子、分母看成一個整體，不能只變第一個字母的符號。D的右邊是左邊的倒數(shù)，左邊不等于右邊。【答案】A總結(jié)升華：分式的恒等變形用的是分式的基本性質(zhì)，可類比分數(shù)的基本性質(zhì)來進行?！咀兪健咳绻逊质街械膞,y都擴大10倍,那么分式的值一定( )A擴大10倍 B擴大100倍 C縮小10倍 D不變【答案】D提示：原式化為類型二：分式運算

10、4化簡分式思路點撥：本題若通過常規(guī)方法：各分式通分計算非常復(fù)雜；根據(jù)分式特征，可通過約分化簡分式后再計算，這是分式計算常用的技巧我們在通分之前，先要觀察分式的特征，多項式能先因式分解的先因式分解，能先約分化簡的盡量先約分以達到簡便計算的目的解析：原式總結(jié)升華：觀察題目中分式的特點是尋找解題思路的關(guān)鍵【變式1】（2011江蘇泰州）【答案】原式a【變式2】整體通分法計算：分析：本題若把，1單獨通分，則運算較為復(fù)雜；一般情況下，把分母為1的整式看作一個整體進行通分，運算較為簡便【答案】原式5（1）巧用裂項法計算：思路點撥：本題出現(xiàn)了10個分式相加，無法直接通分；而本題分式的特征比較特殊，事實上分式，

11、凡是符合上述特征的分式都可適用裂項法，裂項后便可以相互抵消，起到簡便運算的功效解析：原式 總結(jié)升華：分式計算時先對分式的分子與分母因式分解有利于發(fā)現(xiàn)分式之間的聯(lián)系【變式】計算：解析：原式（2）分組通分法計算：【答案】原式 （3）分子降次法計算：【答案】原式 （ x1）（x2）（x3）（x4） 【變式】計算【答案】原式1(1)1(1)類型三：條件分式求值的常用技巧6（1）參數(shù)法已知，求的值思路點撥: 當(dāng)已知條件為形如的連比等式，所要求值的分式是一個含有而又不易化簡的分式時，通常設(shè)，將其變形為,然后再代入分式求值解析：設(shè)，則，代入總結(jié)升華：引入一個設(shè)而不求的未知數(shù)會引出意想不到的效果（2）整體代入

12、法已知，求的值.思路點撥：本題是上面例子的變式，我們可把條件變換成適合所求分式中的代數(shù)式的形式，如把去分母化為的形式代入原式, 這樣就達到了整體代入，化簡求值的效果解析：已知，所以而原式， （3）倒數(shù)法在求代數(shù)式的值時，有時出現(xiàn)條件或所求分式不易變形，但當(dāng)分式的分子、分母顛倒后，變形就非常的容易，這樣的問題適合通常采用倒數(shù)法已知 ，求的值解析： （4）主元法當(dāng)已知條件為兩個三元一次方程，而所求的分式的分子與分母是齊次式時，通常我們把三元看作兩元，即把其中一元看作已知數(shù)來表示其它兩元，代入分式求出分式的值已知 ，求的值解析：由上述兩個方程易得代入分式化簡得.類型四：分式方程的解法解分式方程的基本

13、思想是去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，課本介紹了在方程兩邊同乘以最簡公分母的去分母方法，關(guān)鍵是確定最簡公分母。7解方程解析：方程兩邊同乘以，得檢驗： 當(dāng)時，最簡公分母0，不是原方程的解.原方程無解8，解析：方程兩邊同乘以，得檢驗：當(dāng)時，最簡公分母，是原方程的解舉一反三：【變式1】解方程解析：，方程兩邊同乘以，得：檢驗：當(dāng)時，最簡公分母0，不是原方程的解原方程無解【變式2】已知分式方程的解為非負數(shù)，求a的取值范圍?解析：方程兩邊同時乘以得 由題意得，且，且類型五：分式（方程）的應(yīng)用9某市在舊城改造過程中，需要整修一段全長2400m的道路為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實際工作效率比原計

14、劃提高了20%，結(jié)果提前8小時完成任務(wù)求原計劃每小時修路的長度思路點撥：設(shè)原計劃每小時修路x m，則實際每小時修路m，因此原計劃需要小時完成任務(wù)，實際只用小時即可，利用實際比原計劃提前8小時完成任務(wù)列方程。解析：設(shè)原計劃每小時修路x m，則根據(jù)題意可得，解得，經(jīng)檢驗，x50是原方程的解答：原計劃每小時修路50米總結(jié)升華：解分式方程時要抓住“審、設(shè)、列、解、驗、答”六個步驟，同時還需驗根。舉一反三：【變式1】某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊工程費共8700元，乙、丙兩隊合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊工程費共9500元，甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊工程

15、費共5500元求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？ 若工期要求不超過 15天完成全部工程，問由哪個隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由思路點撥：這是一道聯(lián)系實際生活的工程應(yīng)用題，涉及工期和工錢兩種未知量對于工期，一般情況下把整個工作量看成1，設(shè)出甲、乙、丙各隊單獨完成這項工程所需時間分別為天，天，天，可列出分式方程組解析：設(shè)甲隊單獨做需天完成，乙隊單獨做需天完成，丙隊單獨做需天完成，依題意，得 × ××，得× ，得，即z 30，× ，得，即x 10，× ，得，即y 15經(jīng)檢驗， x 10，y 15，z 30是原方程組的解設(shè)甲

16、隊做一天廠家需付 元，乙隊做一天廠家需付元，丙隊做一天廠家需付元，根據(jù)題意，得 經(jīng)檢驗，是原方程組的解由可知完成此工程不超過工期只有兩個隊：甲隊和乙隊此工程由甲隊單獨完成需花錢 元；此工程由乙隊單獨完成需花錢 元。所以，由甲隊單獨完成此工程花錢最少。答：甲隊單獨做需10天完成，乙隊單獨做需15天完成，丙隊單獨做需30天完成；由甲隊單獨完成此工程花錢最少?？偨Y(jié)升華：在求解時，把，分別看成一個整體，就可把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來解.【變式2】 A、B兩地路程為150千米，甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，2小時后相遇，相遇后，各以原來的速度繼續(xù)行駛，甲車到達B后，立即沿原路返回，返

17、回時的速度是原來速度的2倍，結(jié)果甲、乙兩車同時到達A地，求甲車原來的速度和乙車的速度解析：設(shè)甲車原來的速度為x千米/時，乙車的速度為y千米/時，據(jù)題意得：解得 經(jīng)檢驗 為方程組的解，并且符合題意答：甲車原來的速度為45千米/時，乙車的速度為30千米/時.學(xué)習(xí)成果測評基礎(chǔ)達標一、填空題1（2011浙江舟山）當(dāng)_時，分式有意義2. （2011福建福州）化簡的結(jié)果是_.3若分式的值為零，則x的值等于_4如果3 是分式方程 的增根，則a_.5一汽車在a小時內(nèi)走x千米，用同樣的速度，b分鐘可以走_千米二、選擇題6. （2011山東威海）計算：的結(jié)果是（ ）（A）（B） （C） （D）7下列關(guān)于x的方程，

18、其中不是分式方程的是（）（A） （B） （C） （D）8一件工程甲單獨做a小時完成，乙單獨做b小時完成，甲、乙二人合作完成此項工作需要的小時數(shù) 是（）（A）ab （B） （C） （D）9解關(guān)于x的方程（m21）xm2m2 (m21) 的解應(yīng)表示為（）（A）x （B）x（C）x（D）以上答案都不對三、解方程10（1） （2） ；（3）； （4） （5）四、化簡求值11.（2011四川重慶）先化簡，再求值：，其中x滿足。五、列方程解應(yīng)用題12某文具廠加工一種學(xué)生畫圖工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技術(shù)，使每天的工作效率是原來的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，求該文具廠原來每天加工多少

19、套這種學(xué)生畫圖工具13甲、乙兩種食品都含糖，它們的含糖量之比為23，其他原料含量之比為12，重量之比為4077，求甲、乙兩種食品含糖量的百分比分別是多少答案與解析基礎(chǔ)達標一、填空題1 (提示:分式有意義的條件）；2m （提示:分式的化簡）；3-1（提示:分母不能為0）；43（提示:產(chǎn)生增根的原因是分母為0）；5（提示:分式的應(yīng)用）二、選擇題6. B（提示: 分式的化簡）；7B（提示: 分式方程的定義）；8D（提示:分式的應(yīng)用）；9B（提示:因式分解、約分）三、解下列方程10（1）； （2）； 解：， 解：， ， ， 2x-5=3(2x-1) 2x-5=6x-3， x=- ， 經(jīng)檢驗，-是原方程

20、的根 經(jīng)檢驗，2是原方程的增根（3）； 解：去分母，得 ， ， 整理方程，得 ， ， 經(jīng)檢驗，2是原方程的根（4）解：整理方程，得， 去分母，得， 經(jīng)檢驗， 是原方程的根（5）解：方程的兩邊同乘以，得，解得，檢驗：當(dāng)時，所以是原方程的根四、化簡求值11. 原式 因為x滿足，所以，所以原式1五、列方程解應(yīng)用題12解：設(shè)該文具廠原來每天加工x套畫圖工具，依題意得 -=5解方程得 x=100經(jīng)檢驗 x=100是原方程的根答：該文具廠原來每天加工100套畫圖工具13解：設(shè)甲種食品含糖量為2x克，其他原料y克；則乙種食品含糖量為3x克，其他原料2y克據(jù)題意，得： ，解得 y， 則甲、乙兩種食品含糖量的百

21、分比分別為甲種： 15%；乙種： 15%能力提升一、判斷下列各分式中x取什么值時，分式的值為0？x取什么值時，分式無意義1（1）； （2）； （3）二、化簡2（1）； （2）； （3）； （4）； （5）.三、列方程解應(yīng)用題3車間有甲、乙兩個小組，甲組的工作率比乙組的高25%，因此甲組加工2000個零件所用的時間比乙組加工1800個零件所用的時間還少30分鐘，問兩組每小時各加工多少零件？4甲、乙兩個施工隊共同完成某居民小區(qū)綠化改造工程，乙隊先單獨做2天后，再由兩隊合作10天就能完成全部工程已知乙隊單獨完成此項工程所需天數(shù)是甲隊單獨完成此項工程所需天數(shù)的，求甲、乙兩個施工隊單獨完成此項工程各需多

22、少天？答案與解析能力提升一、判斷下列各分式中x取什么值時，分式的值為0？x取什么值時，分式無意義1（1）x2使分子為0，但不使分母為0，所以當(dāng)x2時分式的值為0；當(dāng)x3或 x1 時，使分母為0，分式無意義； （2）x±2使分子為0，但不使分母為0，所以當(dāng)x±2時分式的值為0；又由于x取任意值時分式的分母都不為0，所以x取任意值時分式都有意義； （3）x1使分子為0，但不使分母為0，所以當(dāng)x1時分式的值為0；應(yīng)當(dāng)注意，不僅應(yīng)使 x2 不為0，而且應(yīng)使 不為0，所以應(yīng)有x2且x.二、化簡2（1）； 解：； （2）；解： 2； （3）；解： ； （4）；解： ； （5）.解： 三

23、、列方程解應(yīng)用題3解：設(shè)乙組的工作率為每小時x個，則甲組的工作率為每小時（25%）x個， 依題意，有 解得x400 經(jīng)檢驗，x400是原方程的解 答：甲組每小時各加工500個，乙組每小時各加工400個4解：設(shè)甲施工隊單獨完成此項工程需x天， 則乙施工隊單獨完成此項工程需x天， 根據(jù)題意，得 解這個方程，得x25 經(jīng)檢驗，x25是所列方程的根 當(dāng)x25時，x20 答：甲、乙兩個施工隊單獨完成此項工程分別需25天和20天 綜合探究一、選擇題 （可多選）1已知x+=4，則點（x+，x-）在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2某地要修筑一水壩，需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，如果由甲隊去做，恰

24、好如期完成；如果由乙隊去做， 則需要超過規(guī)定日期三天，現(xiàn)由甲、乙兩隊合做2天后，余下的工作由乙隊獨做，恰好在規(guī)定日期 內(nèi)完成，求規(guī)定日期x，下列所列方程中正確的是（ ）A+=1 B=C（+）×2+·（x-2）=1 D+=1二、解答題3化簡與求值:（1）先化簡再求值：÷（1+），其中a=5-，b=-3+（2）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，若10+=102×（a，b為正整數(shù)）， 求分式的值4解關(guān)于x方程:（1）2ax(3a4)4x3a6； （2）m2 (xn)n2 (xm) (m2n2)；（3）5先仔細看（1）題

25、，再解答（2）題（1）a為何值時，方程=2+會產(chǎn)生增根？解：方程兩邊同時乘以（x-3），得x=2（x-3）+a，因為x=3是原方程的增根，但卻是方程的根，所以將x=3代入得：3=2×（3-3）+a，所以a=3（2）當(dāng)m為何值時，方程-=會產(chǎn)生增根？6某自來水公司水費計算辦法如下：若每戶每月用水不超過5m3，則每立方米收費1.5元；若每戶每月用水超過5m3，則超過部分每立方米收取較高的定額費用2月份，小王家用水量是小李家用水量的，小王家當(dāng)月水費是17.5元，小李家當(dāng)月水費是27.5元，求超過5m3的部分每立方米收費多少元？答案與解析綜合探究1A、D 提示：（x-）2=（x+）2-4x·=42-8=8，x-=±22A、B、C 3（1），1； （2）由題意，得a=10，b=102-1=99，原式=4（1）2ax(3a4)4x3a6； 解：整理，得2ax4x3a63a4，(2a4)x6a2，(a2)x3a1，當(dāng)a2時，方程的根為，當(dāng)a2時，3a10,所以原方程無解； （2）m2 (xn)n2 (xm) (m2n2)；解：整理，得m2 xm2 nn2 xn2m，移項，得（m2n2 )xm2 nn2m，因為m2n2 ，所以，則方程的根為x； （3）解：去分母，得，因為所以方程的根是x5（2）m=±16設(shè)超過5m3的部分