全等三角形.第5講.軸對(duì)稱和等腰三角形.教師版(共10頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一講軸對(duì)稱和等腰三角形知識(shí)點(diǎn)睛等腰三角形1 等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形2 等邊三角形的定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形3 等腰三角形的性質(zhì)：(1)兩腰相等(2)兩底角相等(3)“三線合一”，即頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(4)是軸對(duì)稱圖形，底邊的垂直平分線是它的對(duì)稱軸線段的垂直平分線：性質(zhì)定理：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等判定定理：與線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，線段的垂直平分線可以看做是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合4 等腰三角形的判定：(1)有兩條邊相等的三角形是等腰

2、三角形(2)有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形5 等邊三角形的性質(zhì)：三邊都相等，三個(gè)角都相等，每一個(gè)角都等于6 等邊三角形的判定： (1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形 (2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 (3)有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形7 等腰直角三角形的性質(zhì)：頂角等于，底角等于，兩直角邊相等等腰直角三角形的判定：(1)頂角為的等腰三角形(2)底角為的等腰三角形軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形這條直線就是它的對(duì)稱軸這時(shí)我們就說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(或軸)對(duì)稱如下圖，是軸對(duì)稱圖形兩個(gè)圖形軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊

3、，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就是說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)如下圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，叫做對(duì)稱軸和，和，和是對(duì)稱點(diǎn)軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系：軸對(duì)稱圖形兩個(gè)圖形軸對(duì)稱區(qū)別圖形的個(gè)數(shù)1個(gè)圖形2個(gè)圖形對(duì)稱軸的條數(shù)一條或多條只有1條聯(lián)系二者都的關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱軸的性質(zhì)：對(duì)稱軸所在直線經(jīng)過(guò)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段即：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線類似地，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線線段的垂直平分線：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫

4、做這條線段的垂直平分線如圖，直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，并且垂直于線段，則直線就是線段的垂直平分線線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等如圖，點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)，則線段垂直平分線的判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸的畫(huà)法：如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，其對(duì)稱軸就是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線因此，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的主要性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線軸對(duì)稱變換的

5、方法應(yīng)用：軸對(duì)稱變換是通過(guò)作圖形關(guān)于一直線的對(duì)稱圖形的手段，把圖形中的某一圖形對(duì)稱地移動(dòng)到一個(gè)新的位置上，使圖形中的分散條件和結(jié)論有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)常用的輔助線有角平分線條件時(shí)的各種輔助線，本質(zhì)上都是對(duì)稱變換的思想軸對(duì)稱變換應(yīng)用時(shí)有下面兩種情況：圖形中有軸對(duì)稱圖形條件時(shí)，可考慮用此變換；圖形中有垂線條件時(shí)，可考慮用此變換重、難點(diǎn)重點(diǎn)：探索等腰三角形“等邊對(duì)等角”和“三線合一”的性質(zhì)，這兩個(gè)性質(zhì)對(duì)于平面幾何中的計(jì)算，以及以后的證明都有很大的幫助 難點(diǎn)：等腰三角形關(guān)于底和腰，底角和頂角的計(jì)算問(wèn)題，由于等腰三角形底和腰，底角和頂角性質(zhì)性質(zhì)特點(diǎn)很容易混淆，而且他們?cè)谟梅ê陀懻撋虾苡锌季?，只能在練?xí)中加以訓(xùn)

6、練。運(yùn)用軸對(duì)稱變換來(lái)解決實(shí)際題目，以及軸對(duì)稱的生活中的實(shí)際運(yùn)用例題精講板塊一、等腰三角形及軸對(duì)稱的認(rèn)識(shí)【例1】 下列兩個(gè)命題：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等；如果一個(gè)等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角是，那么這個(gè)等腰三角形一定是等邊三角形則以下結(jié)論正確的是( )A只有命題正確 B只有命題正確C命題、都正確 D命題、都不正確【解析】 C【例2】 如圖，在 中，于請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，就可以確定是等腰三角形你添加的條件是 【解析】 或平分或【例3】 (2006年揚(yáng)州中考)如圖，在中，、分別是、上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，給出下列四個(gè)條件：；(1)上述四個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定是等腰三角形(用序號(hào)寫(xiě)出所有情況)；(2

7、)選擇第小題中的一種情形，證明是等腰三角形【解析】 (1)，四種情況可判定是等腰三角形(2)下面以兩個(gè)條件證明是等腰三角形，是等腰三角形【例4】 (08年廣東省)下列圖形中是軸對(duì)稱圖形的是 ( )【解析】 C 【例5】 (09湖南株洲)下列四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是( )A B C D【解析】 【例6】 (2004瀘州)下列各種圖形不是軸對(duì)稱圖形的是( )【解析】 C【補(bǔ)充】如圖，它們都是對(duì)稱圖形，請(qǐng)觀察并指出哪些是軸對(duì)稱圖形，哪些圖形成軸對(duì)稱【解析】 軸對(duì)稱圖形：1，3，4，6，8，10成軸對(duì)稱的圖形有：2，5，7，9【例7】 (上海)正六邊形是軸對(duì)稱圖形，它有 條對(duì)稱軸【解析】 點(diǎn)撥：

8、可以畫(huà)出例圖進(jìn)行分析，明確正邊形有條對(duì)稱軸板塊二、等腰三角形的性質(zhì)【例8】 (2008烏魯木齊)某等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為和，則它的周長(zhǎng)為( )A或【解析】 【補(bǔ)充】已知等腰三角形的周長(zhǎng)為，一腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的倍，則腰長(zhǎng)是( ) A B C D【解析】 B【例9】 (2008沈陽(yáng))若等腰三角形中有一個(gè)角等于，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為()A或或【解析】 【補(bǔ)充】(2007重慶中考)已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為( )A B C或 D【解析】 當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫殁g角時(shí)，內(nèi)角的度數(shù)之比為 ，此時(shí)頂角為；當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，內(nèi)角的度數(shù)之比為 ，此時(shí)頂角為故選【例1

9、0】 (2007四川自貢中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為，則該三角形的一個(gè)底角為( )A B C或 D或【解析】 C【補(bǔ)充】(2006自貢)從等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)分別作兩腰的平行線，與兩腰所圍成的平行四邊形的周長(zhǎng)等于三角形的( )A兩腰長(zhǎng)的和周長(zhǎng)一半周長(zhǎng) 一腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)的和【解析】 A【例11】 (05年青島中考題)已知等腰三角形的周長(zhǎng)為12，腰長(zhǎng)為，求的取值范圍【解析】 ，且，解得【例12】 已知是等腰一腰上的高，且，求三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)【解析】 若為鈍角三角形時(shí)，為頂角時(shí)，三內(nèi)角大小為140，20，20；若為鈍角三角形時(shí)，為底角時(shí)，三內(nèi)角大小為100，40，40；若為銳角三角形

10、時(shí)，為頂角，三內(nèi)角大小為40，70，70【例13】 在中，求【解析】 設(shè)，則，在中，可得，【例14】 的兩邊和的垂直平分線分別交于、，若，求【解析】 根據(jù)題意可得：，則即，解得【例15】 如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接，則是等邊三角形；當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？【解析】 分三種情況討論：要使，需，要使，需，要使，需綜上所述：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或或時(shí)，是等腰三角形【例16】 如圖，為等邊三角形，延長(zhǎng)到，又延長(zhǎng)到，使，連接，求證：為等腰三角形【解析】 延長(zhǎng)到，使得，連接為等邊三角形， 又為等邊三角形 ， 板塊三、軸對(duì)稱在幾何最值問(wèn)題中的應(yīng)用【例17】 已知點(diǎn)在直線外，點(diǎn)為直線上的一

11、個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究是否存在一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)與、兩點(diǎn)的距離總相等，如果存在，請(qǐng)作出定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 點(diǎn)與點(diǎn)重合，或者點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)【例18】 如圖，在公路的同旁有兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)、，現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到、兩倉(cāng)庫(kù)的距離和最短，這個(gè)中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在公路旁的哪個(gè)位置比較合理？【解析】 答案見(jiàn)右上圖【例19】 (”五羊杯”邀請(qǐng)賽試題)如圖，角內(nèi)有點(diǎn)，在角的兩邊有兩點(diǎn)、(均不同于點(diǎn))，求作、，使得的周長(zhǎng)的最小 【解析】 見(jiàn)右上圖【補(bǔ)充】如圖，、為的邊、上的兩個(gè)定點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最短 【解析】 見(jiàn)右上圖【例20】 已知如圖，點(diǎn)在銳角的內(nèi)部，在邊上求作一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距

12、離與點(diǎn)到的邊的距離和最小 【解析】 見(jiàn)右上圖【補(bǔ)充】已知：、兩點(diǎn)在直線的同側(cè)， 在上求作一點(diǎn)，使得最小 【解析】 見(jiàn)右上圖【補(bǔ)充】已知：、兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，在上求作一點(diǎn)，使得最大 【解析】 見(jiàn)右上圖家庭作業(yè)【習(xí)題1】 (2007雙柏中考)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和9，則第三邊長(zhǎng)為 【解析】 當(dāng)腰長(zhǎng)為9時(shí)，三邊長(zhǎng)為4、9、9；當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，三邊長(zhǎng)為4、4、9 ，不符合三角形的三邊關(guān)系，故腰長(zhǎng)為9【習(xí)題2】 (1997年北京市競(jìng)賽題)等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成和兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊的長(zhǎng)為( )A B C或 D無(wú)法確定【解析】 設(shè)腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為，此題可分為兩類，或，第一類無(wú)解；第二類解為，故選【習(xí)題3】 已知等腰三角形的周長(zhǎng)為20，腰長(zhǎng)為，求的取值范圍【解析】 ，且，解得【習(xí)題4】 (2001年江蘇中考題)如下圖所示，中，在上，求的度數(shù)【解析】 設(shè)，則，由外角定理得，即，則又，【習(xí)題