九年級數(shù)學(xué)上冊 24.4相似多邊形的性質(zhì)教案 滬科版

1、24.4 相似多邊形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)要求1、掌握相似多邊形的性質(zhì)。2、會利用相似多邊形的性質(zhì)解決問題。教材內(nèi)容點(diǎn)撥知識點(diǎn)1：相似多邊形邊、角的性質(zhì)： 根據(jù)相似多邊形的定義，可知當(dāng)兩個(gè)多邊形相似時(shí)，它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，其比叫做相似多邊形的相似比。知識點(diǎn)2：相似多邊形的周長、面積的性質(zhì)：相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。由于從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可引出（n3）條對角線，這（n3）條對角線將多邊形分成了（n2）個(gè)三角形，所以相似多邊形具有與相似三角形相類似的性質(zhì)，諸如相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。典型例題點(diǎn)撥例1、已知圖中的兩個(gè)四邊形相似，

2、找出圖中的成比例線段，并用比例式表示。點(diǎn)撥：根據(jù)條件：“圖中的兩個(gè)四邊形相似”，利用相似多邊形的定義求解。解答：四邊形ABCD四邊形EFGH，且AE、BF，。例2、如圖，在 ABCD中，延長AB到E，使，延長CD到F，使交BC于G，交AD于H，則的周長與的周長的比為_。點(diǎn)撥：在 ABCD中，ABCD，所以CBE與CFG相似，要求的周長與的周長的比，即是求這兩個(gè)三角形的相似比。解答：1：4。例3、如圖，將的高AD三等分，這樣把三角形分成三部分，設(shè)三部分的面積為，則。點(diǎn)撥：利用相似三角形的面積比等于相似比的性質(zhì)，先求出ADE、AFG、ABC這三個(gè)三角形面積之間的關(guān)系，進(jìn)而求出之間的關(guān)系。解答：平行

3、線段DEFGBC將三角形的高三等分，。例4、如圖，在梯形ABCD中，是AB上一點(diǎn)，并且EF將梯形ABCD分成的兩個(gè)梯形AEFD、EBCF相似，若，求。點(diǎn)撥：根據(jù)相似多邊形的定義，對應(yīng)邊成比例，可得AD、EF、BC之間的關(guān)系式，解得EF，從而得解。解答：EF將梯形ABCD分成的兩個(gè)梯形AEFD、EBCF相似，即，解得EF6，?？键c(diǎn)考題點(diǎn)撥1、中考導(dǎo)航中考中相似多邊形的考察基本是通過選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，但近來也出現(xiàn)了不少考察相似多邊形的綜合題，往往與平行四邊形和梯形相結(jié)合。所以在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，要注意前后知識的融會貫通，提高知識的綜合利用能力。以及在新情景下通過自學(xué)，結(jié)合以前所學(xué)知識，現(xiàn)場解決

4、問題的能力。2、經(jīng)典考題追蹤1、（2006年浙江臺州）善于學(xué)習(xí)的小敏查資料知道：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)梯形，叫做相似梯形.他想到“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”，提出如下兩個(gè)問題，你能幫助解決嗎？問題一 平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）從特殊情形入手探究。假設(shè)梯形ABCD中， ADBC，AB6，BC8，CD4，AD2，MN是中位線（如圖），根據(jù)相似梯形的定義，請你說明梯形AMND與梯形ABCD是否相似? （2）一般結(jié)論：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形_ (填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定”，不要求

5、證明) 。問題二 平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形是否相似?（1）從特殊平行線入手探究.梯形的中位線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形_ (填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定”，不要求證明)。圖28ADCB46PQ（2）從特殊梯形入手探究，同上假設(shè)，梯形ABCD中，ADBC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到與梯形底邊平行的直線PQ（點(diǎn)P,Q在梯形的兩腰上，如圖）, 使得梯形APQD與梯形PBCQ相似嗎? 請根據(jù)相似梯形的定義說明理由.ACBDMN圖圖abADCBdcPQ(3)一般結(jié)論：對于任意梯形（如圖），一定 (填“存在”或“不存在”)平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩

6、個(gè)小梯形相似。 若存在，則確定這條平行線位置的條件是 (不妨設(shè)ADa，BCb，ABc，CDd，不要求證明 ) 。點(diǎn)撥：根據(jù)相似梯形的定義，若梯形相似，則對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，由于梯形的上底和下底平行，且所作線段與上下底平行，只要考慮對應(yīng)邊成比例即可。解答：問題一（1）不相似，（2）不相似。問題二（1）相似性無法確定，（2）能找到與梯形底邊平行的直線PQ, 使得梯形APQD與梯形PBCQ相似。(3) 存在，。2、（2007，江蘇模擬）已知圖中的兩個(gè)梯形相似，求出未知邊x、y、z的長度和的度數(shù)。點(diǎn)撥：解題中要充分利用相似多邊形的特征和梯形的性質(zhì)。解答：由于對應(yīng)邊成比例，所以。所以。由于對應(yīng)角相

7、等， ，。易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)撥易錯(cuò)點(diǎn)1、概念理解不透。易錯(cuò)點(diǎn)導(dǎo)析：對于基本概念應(yīng)該理解深刻，否則在應(yīng)用時(shí)就會出現(xiàn)根本性的錯(cuò)誤。例1、兩個(gè)相似多邊形面積之比為1：2，其周長之差為6，則兩個(gè)多邊形的周長分別為（ ）A6和12 B和 C2和8 D和錯(cuò)解：A錯(cuò)解點(diǎn)撥：相似多邊形的面積比是相似比的平方，而周長之比就是相似比，誤把面積比看作相似比是這道題的錯(cuò)誤之處。正解：D例2、已知兩個(gè)相似多邊形的周長比為1：2，它們的面積和為25，則這兩個(gè)多邊形的面積分別是_和_。錯(cuò)解：，。錯(cuò)解點(diǎn)撥：此處的錯(cuò)誤在于把相似多邊形的周長比和面積比都看作相似比，混同了面積比與相似比的關(guān)系。正解：5、20。拓展與創(chuàng)新1、在一矩形ABCD

8、的花壇與花壇四周修筑小路，使得相對兩條小路的寬均相等，如果花壇AB20米，AD30米，試問小路的寬x與y的比值為多少時(shí)，能使小路四周所圍成的矩形ABCD與矩形ABCD相似？請說明理由。點(diǎn)撥：根據(jù)相似多邊形的定義，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，且對應(yīng)角相等，由于兩個(gè)四邊形都是矩形，所以只要考慮對應(yīng)邊成比例。解答：矩形ABCD與矩形ABCD相似，即，解得。2、圖（1）是邊長為1的三角形，連接各邊的中點(diǎn)，挖去中間的陰影三角形得到圖（2），再分別連接剩下的每個(gè)三角形各邊中點(diǎn)，挖去中間的陰影三角形得到圖（3），再用同樣的方法得到圖（4），圖（4）中除去陰影部分的面積是 。點(diǎn)撥：尋找到這幾個(gè)圖形之間的內(nèi)在規(guī)律，按規(guī)律

9、計(jì)算，經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，每挖去一個(gè)陰影部分，面積就縮小為原來的。解答：3、學(xué)生會舉辦一個(gè)校園攝影藝術(shù)展覽會，小華和小剛準(zhǔn)備將矩形的作品四周鑲上一圈等寬的紙邊，如圖所示，兩人在設(shè)計(jì)時(shí)發(fā)生了爭執(zhí)：小華要使內(nèi)外兩個(gè)矩形相似，感到這樣視覺效果較好；小剛試了幾次不能辦到，表示這是不可能的，小紅和小莉了解情況后，小紅說這一要求只有當(dāng)矩形是黃金矩形時(shí)才能做到，小莉則堅(jiān)持只有當(dāng)矩形是正方形時(shí)才能做到。請你動(dòng)手試一試，說一說你的看法。點(diǎn)撥：根據(jù)相似多邊形的定義，得到內(nèi)外兩個(gè)矩形的對應(yīng)邊之比，從而發(fā)現(xiàn)內(nèi)外兩個(gè)矩形的形狀。解答：只有正方形才能做到，設(shè)矩形的一邊為a，另一邊為b，等寬的紙邊寬c，按照“內(nèi)外兩個(gè)矩形相似”的要

10、求，有，化簡得ab。學(xué)習(xí)方法點(diǎn)撥對相似多邊形的學(xué)習(xí)，同相似三角形的學(xué)習(xí)方法類似，可以通過制作一些幾何模型，加深對相似多邊形的直觀上的認(rèn)識，形成幾何直觀，有條件的也可在電腦上制作相應(yīng)的動(dòng)畫。同時(shí)，根據(jù)相似多邊形與相似三角形的關(guān)系，要認(rèn)識到有關(guān)相似多邊形的問題可以轉(zhuǎn)換為相似三角形的問題。隨堂演練1、如果多邊形ABCDEF多邊形ABCDEF，且A=68°，則A（ ）A22°B44° C68°D80°2、已知五邊形ABCDE五邊形ABCDE，若A70°，B130°，C120°，D80°，求E的度數(shù)。3、E、F分別

11、是矩形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，若矩形ABCD矩形EABF，AB1，求矩形ABCD的面積。4、如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB15，CD30，點(diǎn)E、F分別為AD，BC上一點(diǎn)，且EFAB，若梯形AEFB梯形EDCF，試求線段EF的長。5、如圖，設(shè)O為四邊形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，求證：四邊形四邊形。6、ABCABC，,邊上的中線CD4cm，ABC的周長為20cm，ABC的面積是64 cm2，求：（1）AB邊上的中線CD的長；（2）ABC的周長（3）ABC的面積7、如圖，將一張長、寬之比為的矩形紙ABCD依次不斷對折，可以得到矩形紙BCFE，AEML，GMFH，LGPN。(1)矩形A

12、BCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN長與寬的比改變了嗎？(2)在這些矩形中，有成比例的線段嗎？(3)你認(rèn)為這些大小不同的矩形相似嗎？8、在AB=20m，AD=30m的矩形ABCD的花壇四周修筑小路（1）如果四周的小路的寬均相等，如圖（1），那么小路四周所圍成的矩形ABCD和矩形ABCD相似嗎？請說明理由。（2）如果相對著的兩條小路的寬均相等，如圖（2），試問小路的寬x與y的比值為多少時(shí)，能使小路四周所圍成的矩形ABCD和矩形ABCD相似？請說明理由。隨堂演練答案1、C2、五邊形ABCDE五邊形ABCDE，EE，又A70°，B130°，C120°，D80°，E540°70°130°120°°80°140°，E140°。3、矩形ABCD矩形EABF， E是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，解得，矩形ABCD的面積為。4、梯形AEFB梯形EDCF，即，解得。5、，而，同理可證出四邊形對應(yīng)成比例，四邊形四邊形。6、（1）CD8cm；（2）ABC的周長為80cm；（3）ABC的面積為16cm2。7、 (1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN長與寬的比不改變。設(shè)紙的寬為a，長為a