三二項式定理

1、第三節(jié)二項式定理【最新考綱】會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.鮎盛恚夯實雙基I©I基礎梳理1.二項式定理(1)二項式定理：(a+ b)n= C0an + cnan - %+rbr + +Cnbn(n N*);(2) 通項公式：Tr +1 = cnan-rbr，它表示第r + 1項；(3) 二項式系數：二項展開式中各項的系數為cn, cn,，cn.2.二項式系數的性質性質性質描述對稱性與首末等距離的兩個項式系數相等，即增減性二項式系 數U當臣字(“ NT時是遞埋的當)時，是逼 遽的最大值當料為偶數時*中間的一項取得最大值當打為奇數時徉中間的兩項cJt2與c寧 取最大值3二項

2、式各項系數和(1)(a + b)n展開式的各二項式系數和：C0+ Q+C2+ Cn= 2n.(2)偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和，即 cn+cn+c4+cn+C3 + C5 + =22.I學情自測1.(質疑夯基)判斷下列結論的正誤.(正確的打“"”，錯誤的打 “X” )(1)cnan_rbr是(a+ b)n的展開式中的第r項.()(2)二項展開式中，系數最大的項為中間一項或中間兩項.(3)(a + b)n的展開式中某一項的二項式系數與a, b無關.(4)(ab)n 某項的系數是該項中非字母因數部分，包括符號等， 與該項的二項式系數不同 ( )答案： x (2)x (

3、3)V (4)V2. (2017廣州一模)(3-x)n的展開式中各項系數和為 64,則x3 的系數為 ()A. 540 B.- 540 C. 600 D. 200解析：本題主要考查二項式定理.由題意令x= 1,則(3-x)n的展開式中各項系數和為2n= 64,解得n= 6,由二項式定理可得Tr+1=C636-r(-x)r = (- 1)rc636-rxr,取 r = 3 可得 x3 的系數為(-1)3c633 =-540.答案： B3. (2015陜西卷)二項式(x+ 1)n(n N*)的展開式中x2的系數為15,則 n=()A. 7B. 6c. 5D. 4解析：(x + 1)n= (1 +

4、x)n = 1 + Cn + C?x2 + Cnxn 依題意，得 C2 =15,解得 n= 6(n=- 5舍去).答案： B4. 若(3x 1)7 = a?x7 + aeX6 + + aqx + a°,貝卩 a7 + a6 + + a1 的值為()A. 1 B. 129解析：令 x= 1 得 ao + ai + + a7= 128令 x= 0 得 a°= ( 1)7 =1,ai + a2+ a3 + + a7= 129.答案：Bx5. (2016衡水質檢)在2的展開式中，各項的二項式系數和為256,則展開式中常數項是 .解析：依題意，得2n= 256,5= 8x2展開式的通

5、項ki18 kk 4Tk +1= C8 2( 1)kx8 3k,4令 8 3k= 0,則 k = 6,因此展開式中的常數項 T7 = C8 2 = 7.答案：7名師微博通法領悟一個定理二項式定理(a+ b)n = C0an + Cnan%+ C；anrbr + Cbn(n N*)揭示二項展開式的規(guī)律，一定要牢記通項公式Tr +1= Cnanrbr是展開式的第r +1項，不是第r項.一點注意切記二項展開式的二項式系數與該項的 (字母)系數是兩個不 同的概念，前者只指 cn，而后者是字母外的部分；前者只與 n和r有關，恒為正，后者還與 a, b有關，可正可負.兩類應用1通項的應用：利用二項展開式的

6、通項可求指定的項或指定項的系數等（常用待定系數法）.2.展開式的應用：（1）可求解與二項式系數有關的求值問題，常采用賦值法.（2）可證明整除問題（或求余數）.（3）有關組合式的求值證1.明，常采用構造法.( a 713.若二項式$x+的展開式中X3的系數是84,則實數a=()B. 54D.解析:Tr+1 = eg)7卜27©,令 27= 3,則 r=5由 22 C5a5= 84得 a= 1.答案：e4. 二項式x+r的展開式中只有第6項的二項式系數最大，則展開式中常數項是()A. 180B. 90e. 45D. 360(2 10-解析：依題意，n = 10則jx + xJ的通項公式T

7、r +1= C1o( x)10 r2r r r5 人 5/口-= 2 Cr°x5 Qr 令 5 2 = 0,得 r = 2.二展開式中的常數項Ts= 22C1o= 180.答案：A5. 已知 c0+ 2cn + 22C + 23c3 + 2nCn = 729,則 C + C2 +en+ en等于()A. 63B. 64C. 31D. 32解析：逆用二項式定理得C0+ 2Cn+ 22c2 + 23c3 + 2nen= (1+ 2)n= 3n= 729,即卩 3n= 36，所以 n = 6,所以 Cn+ C2 + Cn + Cn = 2° C0 = 64 1 = 63.答案：A

8、6.在(1+ x)6(1 + y)4的展開式中，記xmyn項的系數為f(m, n),則 f(3, 0) + f(2, 1) + f(1, 2)+ f(0, 3)=()A. 45B. 60D. 210C. 120解析：在(1+ x)6的展開式中，xm的系數為cm,在(1+ y)4的展開 式中，yn的系數為C4，故f(m, n)= Cm C4.所以 f(3, 0) + f(2, 1) + f(1, 2) + f(0, 3)=c；c4+ c2c4+c1c2+c6c4= 120.答案：c二、填空題（ 1 67. （2015天津卷）在x-4XJ的展開式中，x2的系數為,=c6x6 -r2r解析：設通項為

9、/ 1 r 6=C6廠4x令 6-2r = 2 得 r = 2,1 215x2的系數為c6 4J =晶.答案:15168應+的展開式中第五項和第六項的二項式系數最大，則第四項為.解析：由條件第五項和第六項二項式系數最大，得 n= 9.反+2xj展開式的第四項為 T4 = C9 (吳)6朗=務答案:2129. (2015課標全國H卷)(a + x)(1 + x)4的展開式中x的奇數次幕 項的系數之和為32,則a=.解析：設(a+x)(1 + x)4= ao + aiX + a2X?+a3x3 + a4X° + a5x'.令 x= 1,得(a+1) x 2 = ao+ ai +

10、a2 + a3+a4+a5.令 x= 1，得 0 = ao a1 + a2 a3 + a4 a5.一，得 16(a + 1)= 2(31 + a3 + a£= 2x 32,/a= 3.答案：3三、解答題10 .已知二項式(3x +新的展開式中各項的系數和為256.(1) 求 n;(2) 求展開式中的常數項.解:(1)由題意得C0+ C + C + C = 256,2n= 256,解得 n= 8.該二項展開式中的第r + 1項為Tr + 1 = C8(3X)8-8 4rr 1"x = C8X 384r令 3= 0,得r = 2,此時，常數項為Ts= C8 = 28.(1 31

11、1.若(2 + x+ x1 2) 1 -f的展開式中的常數項為a,求/a(3x2 Ix/1)dx.解:1頭13+馬x,I X丿XXX'(2 + x+ x2) ；1 的展開式中的常數項為a= 2X 1 +1 X ( 3)+1 X 3= 2.故 / a(3x2 1)dx= (x3 x)l2 = 6.12 .已知a為如圖所示的程序框圖輸出的結果，求二項式廠 16o嚴/X衷J的展開式中含x2項的系數.a= 2則其周期為3, i>2 017,則輸出a,由此可知a = 2.(i rT r +1 = C6(a x)6-r %的展開式為含x2的項,6 r r2 2 = 2,.=1，則 x2 項的系數 C1 26 1( 1)1 = 192.矗石輒播高效提能I、選擇題（2015廣東卷改編）在h/x 1）4的展開式中，x的系數為（）B. 6解析 :T r +1 =C4 兩4-r ( 1)令 r = 2,則 C* * 24(產 6.答案：A2. (2016 江西八校聯(lián)考)若(1 + x)(