條件概率全概公式ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 條件概率條件概率 全概率公式全概率公式、條件概率、條件概率 乘法公式乘法公式 事件的相互獨立性事件的相互獨立性1 1、條件概率的定義、條件概率的定義設設A A、B B是兩個事件，且是兩個事件，且P(B)0,P(B)0,則稱則稱 為在事件為在事件B B發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下, ,事件事件A A的條件概率。的條件概率。 1)()()|(BPABPBAP 若事件若事件B B已發(fā)生，則為使已發(fā)生，則為使A A也發(fā)生也發(fā)生, ,試驗結(jié)試驗結(jié)果必須是既在果必須是既在B B中又在中又在A A中的樣本點中的樣本點 , , 即此點即此點必屬于必屬于ABAB。由于我們已經(jīng)知道。由于我們已經(jīng)知道B

2、B已發(fā)生已發(fā)生, ,故故B B變變成了新的樣本空間成了新的樣本空間 , , 于是有于是有(1)(1)式。式。 ABAB擲骰子擲骰子 已知事件已知事件B B發(fā)生，此時試驗發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B B，于是于是P(A|B)= 1/3.P(A|B)= 1/3.B中共有中共有3個元素，它們的出現(xiàn)是個元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有等可能的，其中只有1個在集個在集A中，中，P(A )=1/6P(A )=1/6，B=擲出偶數(shù)點擲出偶數(shù)點，P(A|B)=？ 例如，擲一顆均勻骰子例如，擲一顆均勻骰子A A 擲出擲出2 2點點 ，容易看到：容易看到：)()(636

3、131BPABP)BP(A 例例1 1 設某種動物由出生算起活到設某種動物由出生算起活到2020歲以上歲以上的概率為的概率為0.80.8，活到，活到2525歲以上的概率為歲以上的概率為0.40.4。如。如果現(xiàn)在有一個果現(xiàn)在有一個2020歲的這種動物，問它能活到歲的這種動物，問它能活到2525歲以上的概率是多少？歲以上的概率是多少？ 解解 設設A A表示表示“能活到能活到2020歲以上歲以上”， B B表表示示“能活到能活到2525歲以上歲以上”。 那那么么,AB BAB由已知由已知。4 . 0)()(, 8 . 0)(BPABPAP從而所求的概率為從而所求的概率為。5 . 08 . 04 .

4、0)()()(APABPABP由條件概率的定義：由條件概率的定義：即若即若P(B)0,P(B)0,則則P(AB)=P(B)P(A|B) (2)P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBAP而而 P(AB)=P(BA)P(AB)=P(BA)2 2、 乘法公式乘法公式若已知若已知P(B), P(A|B)P(B), P(A|B)時時, , 可以反求可以反求P(AB).P(AB).將將A A、B B的位置對調(diào)，有的位置對調(diào)，有故故 P(A)0,P(A)0,則則P(AB)=P(A)P(B|A) (3)P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若若P(A)0,P(A)0,則則P(BA)

5、=P(A)P(B|A) P(BA)=P(A)P(B|A) (2)(2)和和(3)(3)式都稱為乘法公式式都稱為乘法公式, ,利用利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率 例例2 2 在在100100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有5 5件是次品，從中件是次品，從中連續(xù)無放回地抽取連續(xù)無放回地抽取3 3次，問第三次才取得次品次，問第三次才取得次品的概率。的概率。 解：設解：設 表示表示“第第i i次取得次品次取得次品”（i=1i=1，2 2，3 3）,B,B表示表示“第三次才取到次品第三次才取到次品”，那么，那么iA123BA A A 123121312|959450.04610

6、09998PBPA A APAPAAPAA A 3 3、 事件的相互獨立性事件的相互獨立性 對乘法公式對乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) P(AB)=P(A)P(B|A) ，有的，有的問題中事件問題中事件B B發(fā)生的概率與事件發(fā)生的概率與事件A A發(fā)生的條件發(fā)生的條件下事件下事件B B發(fā)生的概率是相等的，即發(fā)生的概率是相等的，即相當于無條件概率，相當于無條件概率，B B是否發(fā)生與是否發(fā)生與A A無關(guān)，從無關(guān)，從而而此時稱此時稱A A與與B B是相互獨立的。是相互獨立的。 |,P B AP B ()()(|)()()P ABP AP BAP AP B 我們也稱我們也稱A A ，B B，

7、C C 是相互獨立的事件。是相互獨立的事件。對三個事件對三個事件A A，B B，C C，如果成立：，如果成立：定理定理 若事件若事件A A與與B B是相互獨立的，那是相互獨立的，那么么(1) ()( )( )(2) ()( )( )(3) ()( )( )(4) ()( )( )( )P ABP AP BP ACP AP CP BCP BP CP ABCP AP BP C,BA與與, , 與與 都是相互獨立的。都是相互獨立的。與與AB AB 例 3 一個均勻的正四面體,將第一面染成紅色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四面同時染上紅、白、黑三種顏色，如果以A、B、C分別表示投擲一次正四面體時

8、紅、白、黑顏色著地的事件，由于在四個面中兩面上著紅色，故 同理可知同理可知 21AP 21CPBP4141ABCPBCPACPABP對以上三事件對以上三事件A A、B B、C C，成立，成立: : 對于多個隨機事件，假設對于多個隨機事件，假設 是是相互獨立的，則相互獨立的，則n n 個事件中至少有一個發(fā)生個事件中至少有一個發(fā)生的概率為的概率為nAAA，21 CPBPBCPCPAPACPBPAPABP,但但 CPBPAPABCP所以所以A A、B B、C C三事件不是相互獨立的三事件不是相互獨立的, ,但它們但它們是兩兩獨立的。是兩兩獨立的。 例例4 4 若每個人的呼吸道中有感冒病毒的概若每個人

9、的呼吸道中有感冒病毒的概率為率為0.002,0.002,求在有求在有15001500人看電影的劇場中有感人看電影的劇場中有感冒病毒的概率。冒病毒的概率。 解解 以以 表示事件表示事件“第第i i個人帶有感冒病個人帶有感冒病毒毒”（i=1,2,i=1,2,，15001500），假定每個人是否帶），假定每個人是否帶有感冒病毒是相互獨立的，則所求概率為有感冒病毒是相互獨立的，則所求概率為iA nnnnAPAPAPAAAPAAAPAAAP21212121111 95. 0111002. 011113002. 01500002. 01ln1500150012115002115001eeeAPAPAPAA

10、APAPii 從這個例子可見，雖然每個帶有感冒病毒的可能性很小，但許多聚集在一起時空氣中含有感冒病毒的概率可能會很大，這種現(xiàn)象稱為小概率事件的效應。衛(wèi)生常識中,不讓嬰兒到人多的公共場所去就是這個道理。ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率。它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率。 求電路正常工作的概率。求電路正常工作的概率。 例例5 5 下面是一個串并聯(lián)電路示意圖下面是一個串并聯(lián)電路示意圖. A. A、B B、C C、D D、E E、F F、G G、H H都是電路中的元件都是電路中的元件. . 解解 將電路正常工作記為

11、將電路正常工作記為W W，由于各元件，由于各元件獨立工作，有獨立工作，有代入得代入得()1- () ( )0.9375P FGP F P G其其中中()( ) ( ) () () ()()1- () () ()0.973P WP A P B P CDE P FG P HP CDEP C P D P E ()0.782P W 二二 、全概率公式、全概率公式 貝葉斯公式貝葉斯公式 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率算比較復雜事件的概率, ,它們實質(zhì)上是加法它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用公式和乘法公式的綜合運用. . 綜合運用綜合運用加法公

12、式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)A A、B B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0P(A)0niiiABPAPBP1)()()(1 1、全概率公式、全概率公式: :在一些教材中，常將全概率公式敘述為：在一些教材中，常將全概率公式敘述為：之一同時發(fā)生，那之一同時發(fā)生，那么么 nAAA,21是兩兩互斥的事件，且是兩兩互斥的事件，且設設另有一事件另有一事件B, B, 它總是它總是, 2 , 1, 0)(niAPi與與nAAA,21設設 為隨機試驗的樣本空間，為隨機試驗的樣本空間，nAAA,21

13、是兩兩互斥的事件，且是兩兩互斥的事件，且, 0)(iAP全概率公式全概率公式: :niiiABPAPBP1)()()( 例例6 6 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊擊, , 三人擊中的概率分別為三人擊中的概率分別為0.40.4、0.50.5、0.7. 0.7. 飛機被一人擊中而擊落的概率為飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2,0.2,被兩人擊被兩人擊中而擊落的概率為中而擊落的概率為0.6, 0.6, 若三人都擊中若三人都擊中, , 飛機飛機必定被擊落必定被擊落, , 求飛機被擊落的概率。求飛機被擊落的概率。則對任一事件則對任一事件B B，有，有,1niiA, 2 ,

14、 1ni稱滿足上述條件的稱滿足上述條件的nAAA,21為完備事件組。為完備事件組。 設設B=B=飛機被擊落飛機被擊落 Ai= Ai=飛機被飛機被i i人擊人擊中中, i=1,2,3, i=1,2,3，則，則B=A1B+A2B+A3BB=A1B+A2B+A3B求解如下求解如下: :由全概率公式由全概率公式為求為求P(Ai ), P(Ai ), 設設 Hi=Hi=飛機被第飛機被第i i人擊中人擊中i=1,2,3i=1,2,3可求得可求得: :依題意，依題意，123()0.2,()0.6,()1P B AP B AP B A 112233( )() ()() ()() ()P BP A P B AP

15、 A P B AP A P B A 1123123123()()P AP H H HH H HH H H 將數(shù)據(jù)代入計算得將數(shù)據(jù)代入計算得: :于是于是 即飛機被擊落的概率為即飛機被擊落的概率為0.4580.458。2123123123()()P AP H H HH H HH H H3123()()P AP H H H 123()0 36;()0 41;()0 14P A.P A.P A.112233()() ()() ()() ()P BP A P B AP A P B AP A P B A 0.360.20.41 0.60.14 10.458 例7 有一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三廠同時生產(chǎn)的.

16、其中甲廠產(chǎn)品占50%,乙廠產(chǎn)品占30%,丙廠產(chǎn)品占20%,甲廠產(chǎn)品中正品率為95%,乙廠產(chǎn)品正品率為90%,丙廠產(chǎn)品正品率為85%,如果從這批產(chǎn)品中隨機抽取一件,試計算該產(chǎn)品是正品的概率多大? 解解 設設A A、B B、C C分別表示抽得產(chǎn)品是甲廠、分別表示抽得產(chǎn)品是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，乙廠、丙廠生產(chǎn)的，D D 表示抽得產(chǎn)品為正品，表示抽得產(chǎn)品為正品，從而任取一件產(chǎn)品為正品的概率可由全概率從而任取一件產(chǎn)品為正品的概率可由全概率公式得到：公式得到：%85|%,90|%,95|CDPBDPADP 915. 0100201008510030100901005010095|CPCDPBPBDPAP

17、ADPDP則由已知，則由已知， %20%,30%,50CPBPAP該球取自哪號箱的該球取自哪號箱的可能性最大可能性最大? ? 實際中還有下面一類問題，是實際中還有下面一類問題，是“已知結(jié)已知結(jié)果求原因果求原因”。 某人從任一箱中任意摸某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球, ,求該求該球是取自球是取自1 1號箱的概率號箱的概率. .1 12 23 31 1紅紅4 4白白或者問或者問: :接下來我們介紹為解決這類問題而引出的接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式貝葉斯公式 這一類問題在實際中更為常見，它所求這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生

18、條件下，的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小。求各原因發(fā)生可能性大小。nAAA,21是兩兩互斥的事件，且是兩兩互斥的事件，且設設另有一事件另有一事件B, B, 它總是它總是, 2 , 1, 0)(niAPi之一同時發(fā)生，那之一同時發(fā)生，那么么 與與nAAA,21niABPAPABPAPBAPnjjjiii, 2 , 1)()()()()|(1 該公式于該公式于17631763年由貝葉斯年由貝葉斯(Bayes)(Bayes)給出給出. . 它是在觀察到事件它是在觀察到事件B B已發(fā)生的條件下，尋找導已發(fā)生的條件下，尋找導致致B B發(fā)生的每個原因的概率發(fā)生的每個原因的概率.

19、 . 在貝葉斯公式中，在貝葉斯公式中，P(Ai)P(Ai)和和P(Ai |B)P(Ai |B)分別稱分別稱為原因的驗前概率和驗后概率為原因的驗前概率和驗后概率. . P(Ai)(i=1,2,n)是在沒有進一步信息不是在沒有進一步信息不知道事件知道事件B是否發(fā)生的情況下，人們對諸事是否發(fā)生的情況下，人們對諸事件件 當有了新的信息知道當有了新的信息知道B B發(fā)生），人們對發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)P(Ai|B)有了新的估計。有了新的估計。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。 例例8 8 同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠供應。同一

20、種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠供應。由長期的經(jīng)驗知，三家的正品率分別為由長期的經(jīng)驗知，三家的正品率分別為0.950.95、0.900.90、0.800.80，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2:3:52:3:5，混，混合在一起。合在一起。（1 1從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；（2 2現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、發(fā)生可能性大小的認識。發(fā)生可能性大小的認識。乙、丙三個廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性大？乙、丙三個廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性大？解解 設事件設事件A A表示表示“取到的產(chǎn)品為品取到的產(chǎn)品為品”，321,BBB分別表

21、示分別表示“產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)”由已知由已知（1 1由全概率公式得：由全概率公式得： 123()0.2,()0.3,()0.5P BP BP B 123()0.95,()0.9,()0.8P A BP A BP A B 31( )() ()iiiP AP B P A B 0.20.950.30.90.50.80.86 由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得由以上由以上3 3個數(shù)作比較，可知這件產(chǎn)品由丙廠生個數(shù)作比較，可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大，由甲廠生產(chǎn)的可能性最小。產(chǎn)的可能性最大，由甲廠生產(chǎn)的可能性最小。111222333() ()0.2 0.95()0.2209( )0.86() ()0.3 0.9()0.3140( )0.86() ()0.5 0.8()0.4651( )0.86P B P A BP B AP AP B P A BP B AP AP B P A BP B AP A 例9 假定具有癥狀 中一個或數(shù)個的疾病為其中 S1=食欲不振 S2=胸痛 S3=呼吸急促 S4=發(fā)熱現(xiàn)從20000份患有疾病 的病歷卡中統(tǒng)計得到下列數(shù)字： 1234SSSSS