數(shù)值分析總結(jié)

1、數(shù)值分析復(fù)習(xí)總結(jié)任課教師 王建國(guó) 第二章 數(shù)值分析基本概念教學(xué)內(nèi)容： 1. 誤差與有效數(shù)字誤差、誤差限、相對(duì)誤差、相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的定義及相互關(guān)系；誤差的來源和誤差的基本特性；誤差的計(jì)算（估計(jì)）的基本方法。 2. 算法的適定性問題數(shù)值分析中的病態(tài)和不穩(wěn)定性問題；病態(tài)問題和不穩(wěn)定算法的實(shí)例分析。3. 數(shù)值計(jì)算的幾個(gè)注意問題 數(shù)值計(jì)算的基本概念l 誤差概念和分析誤差的定義：設(shè)x是精確值，p是近似值，則定義兩者之差是絕對(duì)誤差: 由于精確值一般是未知的,因而不能求出來,但可以根據(jù)測(cè)量誤差或計(jì)算情況估計(jì)它的上限相對(duì)誤差定義為絕對(duì)誤差與精確值之比l 誤差的來源：舍入誤差將無限位字長(zhǎng)的精確數(shù)處理成有限位

2、字長(zhǎng)近似數(shù)的處理方法稱為舍入方法。帶來舍人誤差。截?cái)嗾`差用數(shù)值法求解數(shù)學(xué)模型時(shí)，往往用簡(jiǎn)單代替復(fù)雜,或者用有限過程代替無限過程所引起的誤差。 l 有效數(shù)字對(duì)于a=a0 a1 am . am+1 am+n(a00)的近似數(shù)， 若|0.5x10-n，則稱a為具有m+n+1位有效數(shù)字的有效數(shù)，其中每一位數(shù)字都叫做a的有效數(shù)字。有效數(shù)和可靠數(shù)的最末位數(shù)字稱為可疑數(shù)字有效數(shù)位的多少直接影響到近似值的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差的大小。推論1 對(duì)于給出的有效數(shù)，其絕對(duì)誤差限不大于其最末數(shù)字的半個(gè)單位。推論2 對(duì)于給出的一個(gè)有效數(shù)，其相對(duì)誤差限可估計(jì)如下：例:計(jì)算y = ln x。若x » 20，則取x的幾

3、位有效數(shù)字可保證y的相對(duì)誤差 < 0.1% ?l 數(shù)值計(jì)算的算法問題“良態(tài)”問題和“病態(tài)”問題在適定的情況下，若對(duì)于原始數(shù)據(jù)很小的變化X，對(duì)應(yīng)的參數(shù)誤差y也很小，則稱該數(shù)學(xué)問題是良態(tài)問題；若y很大，則稱為病態(tài)問題。病態(tài)問題中解對(duì)于數(shù)據(jù)的變化率都很大，因此數(shù)據(jù)微小變化必將導(dǎo)致參數(shù)模型精確解的很大變化。數(shù)學(xué)問題的性態(tài)完全取決于該數(shù)學(xué)問題本身的屬性，在采用數(shù)值方法求解之前就存在，與數(shù)值方法無關(guān)。穩(wěn)定算法和不穩(wěn)定算法如果用數(shù)值方法計(jì)算時(shí),誤差在計(jì)算過程中不擴(kuò)散的算法稱為穩(wěn)定算法。否則稱為不穩(wěn)定算法。l 數(shù)值計(jì)算應(yīng)注意的問題避免相近二數(shù)相減；避免小分母；避免大數(shù)吃小數(shù)；選用穩(wěn)定的算法。絕對(duì)誤差的運(yùn)

4、算：第三章 線性方程組求解的數(shù)值方法教學(xué)內(nèi)容：1. 高斯消元法消元法的實(shí)現(xiàn)過程；主元問題。2. 矩陣分解矩陣LU分解的一般計(jì)算公式；利用LU分解的線性方程組求解方法；Cholesky分解；Matlab的Cholesky分解函數(shù)。3. 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)向量范數(shù)及其性質(zhì)；矩陣函數(shù)及其性質(zhì)；常用范數(shù)形式。4. 線性方程組的迭代法求解迭代求解的思路；Jacobi迭代法；高斯_賽德爾迭代法；迭代法的收斂性。 5. 方程組的病態(tài)問題與誤差分析線性方程組解的誤差分析；條件數(shù)和方程組的病態(tài)性。消元法：?jiǎn)栴}：消去法是按照系數(shù)矩陣的主對(duì)角線上的元素（主元）進(jìn)行消元。從而可能出現(xiàn)：（1）某個(gè)主元為零，導(dǎo)致消元過程

5、無法進(jìn)行。（2）當(dāng)某個(gè)主元的絕對(duì)值很小時(shí)，計(jì)算結(jié)果誤差很大。定理：若A的所有順序主子式 均不為0，則高斯消元無需換行即可進(jìn)行到底，得到唯一解。全主元消去法每一步選絕對(duì)值最大的元素為主元素。列主元消去法省去換列的步驟，每次僅選一列中最大的元。矩陣三角分解法 計(jì)算公式：算法：Cholesky分解：定理：設(shè)矩陣A對(duì)稱正定，則存在非奇異下三角陣L使得 。若限定L對(duì)角元為正，則分解唯一。Matlab中的Cholesky分解函數(shù)：chol（）向量和矩陣的范數(shù)為了研究線性方程組近似解的誤差估計(jì)和迭代法的收斂性，引進(jìn)向量（矩陣）的范數(shù)的概念。向量范數(shù)定義：空間的向量范數(shù) | · | 對(duì)任意 滿足下列

6、條件：(齊次性) （三角不等式)（正定性)常用范數(shù)：矩陣范數(shù)定義：空間的向量范數(shù) | · | 對(duì)任意 滿足下列條件： (4)* | AB | £ | A | · | B |常用矩陣范數(shù)：Frobenius范數(shù)：由向量范數(shù) | · |p導(dǎo)出關(guān)于矩陣 A Î Rn´n的p范數(shù):特別有：（行和范數(shù)）（列和范數(shù)）（譜范數(shù) ）譜半徑：矩陣A的譜半徑記為r (A) =，其中l(wèi)i為A的特征根。定理：對(duì)任意算子范數(shù) | · | 有定理：若A對(duì)稱，則有定理：若矩陣B對(duì)某個(gè)算子范數(shù)滿足 |B| < 1，則必有解線性方程組的迭代法 研究?jī)?nèi)容

7、：l 如何建立迭代公式？ l 收斂速度？l 向量序列的收斂條件？l 誤差估計(jì)？思路：收斂問題：雅可比(Jacobi)迭代法高斯塞德爾迭代法迭代法的收斂性譜半徑小于1. 迭代法的誤差估計(jì)：誤差分析：?jiǎn)栴}的提出：l b有擾動(dòng)，A無擾動(dòng)l A有擾動(dòng)，b有擾動(dòng)l A有擾動(dòng)，b有擾動(dòng)定義：條件數(shù): cond(A) = |A-1 | |A|條件數(shù)的性質(zhì)： 結(jié)論：當(dāng)條件數(shù)很大時(shí),方程組 Ax = b是病態(tài)問題;當(dāng)條件數(shù)較小時(shí),方程組 Ax = b是良態(tài)問題。第四章 函數(shù)的數(shù)值逼近1. 代數(shù)多項(xiàng)式插值問題插值多項(xiàng)式的存在唯一性；插值基函數(shù)和插值多項(xiàng)式的一般形式；插值的誤差分析；多項(xiàng)式插值的Runge現(xiàn)象。2.

8、 分段低次插值分段線性插值；Hermite插值和分段Hermite插值。3. 三次樣條插值樣條插值的定義；三次樣條函數(shù)的計(jì)算；Matlab中的插值函數(shù)。4. 曲線擬合的最小二乘法曲線擬合的最小二乘法法；多項(xiàng)式擬合方法；Matlab中的多項(xiàng)式擬合函數(shù)；5. 最佳平方逼近權(quán)內(nèi)積；正交多項(xiàng)式的最佳平方逼近。插值問題：函數(shù)解析式未知，或計(jì)算復(fù)雜，用函數(shù)p(x)去近似代替它，使得p(xi)= yi (i=0,1,2,n) 函數(shù)p(xi)稱為插值函數(shù)。 x0,x1, xn稱為插值節(jié)點(diǎn)或簡(jiǎn)稱節(jié)點(diǎn)。 插值節(jié)點(diǎn)所界的區(qū)間稱為插值區(qū)間。 p(xi)= yi 稱為插值條件。多項(xiàng)式的插值問題構(gòu)造n次多項(xiàng)式Pn(x)=

9、 a0 + a1x + a2x2+ anxn使?jié)M足 Pn(xi)= yi (i=0,1,2,n)，討論的主要內(nèi)容：l 如何求出插值函數(shù)；l 插值函數(shù)的存在性；l 收斂性和誤差估計(jì)。拉格朗日插值插值多項(xiàng)式的存在唯一性：結(jié)論通過n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的n階插值多項(xiàng)式唯一存在。一次基函數(shù) 二次基函數(shù)拉格朗日插值多項(xiàng)式的一般形式：插值公式：插值的誤差分析：分段低次插值分段線性插值收斂性：埃爾米特插值 利用拉格朗日插值基函數(shù)得到Hermite插值的余項(xiàng)三次樣條插值第五章 數(shù)值積分1. 插值型求積公式線性和二次求積公式；求積公式的代數(shù)精度；求積公式的誤差分析；復(fù)合求積公式；高斯求積公式；MATLAB中的數(shù)值積分函數(shù)

10、。2. 積分方程的數(shù)值求解積分方程的數(shù)值求解的思路分析；積分方程的數(shù)值求解方法介紹。n次代數(shù)精度 對(duì)于任意不超過n次的代數(shù)多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立, 而對(duì)某一個(gè)m+1次代數(shù)多項(xiàng)式不成立,。梯形公式 辛普森公式：復(fù)化梯形公式 截?cái)嗾`差：， M2復(fù)化辛普森公式 截?cái)嗾`差： ½RNf½，高斯求積公式定義 高斯點(diǎn)的確定方法 Matlab 積分函數(shù)函數(shù)名功能quad采用Simpson計(jì)算積分。精度高，較常用quad8采用8樣條Newton-Cotes公式計(jì)算積分。精度高，最常用trapz采用梯形法計(jì)算積分。精度差，速度快積分方程的數(shù)值求解求解思路用數(shù)值積分代替積分第六章 常微分方程初值問題1. 求解方法歐拉方法；龍格庫塔方法2. 穩(wěn)定性與收斂性分析歐拉公式： 局部截?cái)嗾`差是O(h2). 改進(jìn)歐拉公式： 或表示成： 平均形式： 局部截?cái)嗾`差是O(h3). 龍格庫塔方法 第七章 非線性方程求解 教學(xué)內(nèi)容：1. 二分法2. 收斂性分析3. 牛頓法二分法：1. 準(zhǔn)備： 計(jì)算端點(diǎn)值 f(