排列組合問題基本類型及解題方法

1、v1.0 可編輯可修改排列組合問題的基本模型及解題方法導(dǎo)語：解決排列組合問題要講究策略，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列（ 有序）還是組合 （無序） ，還是排列與組合混合問題。其次，要抓住問題的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確合 理地利用兩個(gè)基本原則進(jìn)行“分類與分步”。加法原理的特征是分類解決問題，分類 必須滿足兩個(gè)條件：類與類必須互斥 （ 不相容） ，總類必須完備 （不遺漏 ）；乘法原 理的特征是分步解決問題，分步必須做到步與步互相獨(dú)立，互不干擾并確保連續(xù)性。 分類與分步是解決排列組合問題的最基本的思想策略，在實(shí)際操作中往往是“步”與 “類”交叉，有機(jī)結(jié)合，可以是類中有步，也可以是步中有類，以上解題思路分析， 可

2、以用順口溜概括為：審明題意，排（組）分清；合理分類，用準(zhǔn)加乘；周密思考， 防漏防重；直接間接，思路可循；元素位置，特殊先行；一題多解，檢驗(yàn)真?zhèn)巍Ｗ⒁?以下幾點(diǎn)：1、解排列組合應(yīng)用題的一般步驟為： 什么事：明確要完成的是一件什么事（審題） ； 怎么做：分步還是分類，有序還是無序。2、解排列組合問題的思路（1）兩種思路：直接法，間接法。（2）兩種途徑：元素分析法，位置分析法。3、基本模型及解題方法：（一）、元素相鄰問題（1）、全相鄰問題，捆邦法例 1、 6 名同學(xué)排成一排，其中甲，乙兩人必須排在一起的不同排法有（C ）種。A、720 B 、360 C 、240 D 、 120 說明：從上述解法可以

3、看出，所謂“捆邦法”，就是在解決對于某幾個(gè)元素要求相鄰 問題時(shí)，可以整體考慮將相鄰元素視作一個(gè)“大”元素。（2）、全不相鄰問題插空法例 2 、要排一張有 6 個(gè)歌唱節(jié)目和 4 個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不 得相鄰，問有多少不同的排法，解：先將 6 個(gè)歌唱節(jié)目排好，其中不同的排法有 6！，這 6 個(gè)節(jié)目的空隙及兩端共有 七個(gè)位置中再排 4 個(gè)舞蹈節(jié)目有 A74種排法，由乘法原理可知，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相 鄰的排法為 A74 A66種例 3、高三（一）班學(xué)要安排畢業(yè)晚會(huì)的 4 各音樂節(jié)目， 2 個(gè)舞蹈節(jié)目和 1 個(gè)曲藝節(jié)目 的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是v1

4、.0 可編輯可修改A、1800B 、3600C、 4320D、5040解：不同排法的種數(shù)為 A55A62 3600，故選 B說明：從解題過程可以看出，不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將 它隔開，此類問題可以先將其它元素排好，再將特殊元素插入，故叫插空法。（3）、不全相鄰排除法，排除處理例 4 、五個(gè)人站成一排，其中甲、乙、丙三人有兩人相鄰，有多少排法解： A55 A33A33 A22 A33或 3A22A23A22 72例 5、有兩排座位，前排 11個(gè)座位，后排 12個(gè)座位，現(xiàn)安排 2 人就座，規(guī)定前排中間 的 3 個(gè)座位不能坐，并且這 2 人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是解法

5、一： 前后各一個(gè)，有 8×12×2192 種方法 前排左、右各一人：共有 4×4×232 種方法乙可坐 2 個(gè)位置224 兩人都在前排：兩人都在前排左邊的四個(gè)位置：乙可坐 1 個(gè)位置112此種情況共有 4 2 6 種方法因?yàn)閮蛇叾际?4 個(gè)位置，都坐右邊亦有 6種方法，所以坐在第一排總共有 6612 種方 法10 12 1 10 552 種方法同樣甲、乙可互換 兩人都坐在第二排位置，先規(guī)定甲左乙右甲左乙右總共有 10 9 8位置，乙左甲右也同樣有 55 種方法，所以甲、乙按要求同坐第二排總共有 55×2110v1.0 可編輯可修改種方法。綜上所

6、述，按要求兩人不同排法有 192 3212110346 種解法二：考慮 20 個(gè)位置中安排兩個(gè)人就坐，并且這兩人左右不相鄰， 4 號座位與 5 號 座位不算相鄰（坐在前排相鄰的情況有 12 種。），7號座位與 8號座位不算相鄰（坐在后 排相鄰的情況有 22 種。），共有 A220 2（11 6） 346種（二）、定序問題縮倍法例 6、信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號，現(xiàn)有3 面紅旗、 2 面白旗，把 5 面旗都掛上去，可表示不同信號的種數(shù)是（）（用數(shù)字作答）。解： 5面旗全排列有 A55種掛，由于 3 面紅旗與 2 面白旗的分別全排列均只能作一次的掛法，故有 A33A5 22 10

7、說明: 在排列的問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序問題 , 這類問題用縮小倍數(shù) 的方法求解比較方便 .例 7 、某工程隊(duì)有 6 項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成， 其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行， 工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行。那么 安排這 6 項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是。解一：依題意，只需將剩余兩個(gè)工程插在由甲、 乙、丙、丁四個(gè)工程形成的 5 個(gè)空中（插 一個(gè)或二個(gè)），可得有 A52 5 A22 30 種不同排法。解二： 6! =304!例 8、由數(shù)字 0、 1、 2、3、4、5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的 6 位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十 位的數(shù)字的共有（ ）A、210

8、個(gè)B、300 個(gè)C 、464個(gè)D、600個(gè)1解：1 A51 A55 300 故選 B2（三）、多元問題分類法例 9某校從 8 名教師中選派 4 名教師同時(shí)去 4 個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教 （ 每地 1 人 ）, 其中甲和 乙不同去 , 甲和丙只能同去或同不去 , 則不同的選派方案共有種解析：某校從 8 名教師中選派 4 名教師同時(shí)去 4 個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教 （每地 1 人） ，其中甲 和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情況討論， 甲、丙同去，則乙不去， 有C52 A44 =240種選法；甲、丙同不去，乙去，有 C53 A44=240 種選法；甲、乙、丙都 不去，有 A54 120 種選法，共有 60

9、0種不同的選派方案v1.0 可編輯可修改例 10、設(shè)集合 I 1,2,3,4,5 。選擇 I 的兩個(gè)非空子集 A和 B，要使 B 中最小的數(shù)大于A 中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有 (B)A、50種B 、49種C 、 48種 D、47種解析：若集合 A、B中分別有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C52 =10 種；若集合 A中有一個(gè)元 素，集合 B中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C53 =10種；若集合 A中有一個(gè)元素，集合 B中 有三個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C54=5 種；若集合 A中有一個(gè)元素，集合 B中有四個(gè)元素， 則選法種數(shù)有 C55=1 種；若集合 A中有兩個(gè)元素，集合 B中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)

10、有 C53 =10 種；若集合 A中有兩個(gè)元素，集合 B中有兩個(gè)個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C54=5 種； 若集合 A 中有兩個(gè)元素，集合 B中有三個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C55 =1種；若集合 A中有 三個(gè)元素，集合 B中有一個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C54=5 種；若集合 A中有三個(gè)元素，集 合 B中有兩個(gè)元素，則選法種數(shù)有 C55 =1 種；若集合 A中有四個(gè)元素，集合 B 中有一個(gè) 元素，則選法種 數(shù)有C55 =1種；總計(jì)有 49種 ，選 B.解法二：集合 A、B 中沒有相同的元素，且都不是空集，從 5 個(gè)元素中選出 2 個(gè)元素，有 C52 =10 種選法，小的給 A集合，大的給 B集合；從 5

11、 個(gè)元素中選出 3 個(gè)元素，有 C53 =10種選法，再分成 1、2 兩組，較小元素的一 組給 A集合，較大元素的一組的給 B集合，共有 2×10=20 種方法；從 5個(gè)元素中選出 4個(gè)元素，有 C54=5 種選法，再分成 1、3；2、2；3、1兩組，較 小元素的一組給 A集合，較大元素的一組的給 B集合，共有 3×5=15 種方法；從 5個(gè)元素中選出 5個(gè)元素，有 C55=1 種選法，再分成 1、4；2、3；3、2；4、1兩 組，較小元素的一組給 A集合，較大元素的一組的給 B集合，共有 4×1=4 種方法； 總計(jì)為 10+20+15+4=49種方法。選 B.例

12、 11、將 4 個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號為 1 和 2 的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè) 盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有( )A、10 種B、20 種C、36種D、52 種解析：將 4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號為 1和 2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒 子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，分情況討論： 1 號盒子中放 1個(gè)球，其余 3 個(gè)v1.0 可編輯可修改放入 2 號盒子，有 C14 4種方法；1 號盒子中放 2個(gè)球，其余 2 個(gè)放入 2號盒子，有C42 6種方法；則不同的放球方法有 10 種，選 A說明：元素多，取出的情況也多種，可按要求分成互不相容的幾類情況分別

13、計(jì)算，最 后總計(jì)。（四）、元素交叉問題集合法（二元否定問題，依次分類）例 12、從 6 名運(yùn)動(dòng)員中選出 4 名參加 4×100 米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑 第四棒，共有多少種不同的參賽方法解：設(shè)全集 U=6 人中任選 4 人參賽的排列 ，A=甲跑第一棒的排列 ， B=乙跑第四 棒 的 排 列 ， 根 據(jù) 求 集 合 元 素 的 個(gè) 數(shù) 的 公 式 可 得 參 賽 方 法 共 有 ：card（U）-card（A）-card（B）+card（A B）=252例 13、某天的課表要排入語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、體育共六門課程，且上 午安排四節(jié)課，下午安排兩節(jié)課。（1）若第一節(jié)不

14、排體育，下午第一節(jié)不排數(shù)學(xué)，一共有多少種不同的排課方法（2）要求數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)不能排在一起（上午第四節(jié)與下午第一節(jié)不算連排），有多少種不同的排課方法例 14、同室 4 人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送來的賀年 卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（ ）A、6種 B 、9 種 C 、11種 D 、23種解：此題可以看成是將數(shù)字 1、2、3、4 填入標(biāo)號為 1、 2、3、4 的四個(gè)方格里，每格 填一數(shù)，且每個(gè)方格的標(biāo)號與所填數(shù)字不同的填法問題。所以先將 1 填入 2 至 4 的 3 個(gè) 方格里有 3種填法；第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它 3個(gè)方格，又有 3種填法； 第三步

15、將余下的兩個(gè)數(shù)字填入余下的兩格中只有一種填法，故共有3×3×1=9 種填法。故選 B說明：求解二元否定問題先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去， 依此即可完成。例 15 、安排 5 名歌手的演出順序時(shí)， 要求某名歌手不第一個(gè)出場， 另一名歌手不最后 一個(gè)出場，不同排法的總數(shù)是 .（ 用數(shù)字作答 ） 。（答： 78種）說明：某些排列組合問題幾部分之間有交集， 可用集合中求元素的個(gè)數(shù)的公式來求解。五）、多排問題單排法例 16 、兩排座位，第一排有3 個(gè)座位，第二排有 5 個(gè)座位，若 8 名學(xué)生入座（每人一座位），則不同的座法為（ ）A、C85CB、 A21C85

16、C83、 A83 A85D、 A88v1.0 可編輯可修改解：此題分兩排座可以看成是一排座，故有A88 種座法。選 D說明：把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（六）、至多、至少問題分類法 或 間接法（去雜處理） 含“至多”或“至少”的排列組合問題，是需要分類問題，或排除法。排除法，適 用于反面情況明確且易于計(jì)算的情況。例 17、從 4 名男生和 3 名女生中選出 3 人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這 3 人中至少 有 1 名女生，則選派方案共有 （ ）A、108種B、186種C、216種D 、270種解析：從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有A73 A43

17、=186 種，選B.例18、5名乒乓球隊(duì)員中 ,有2名老隊(duì)員和 3名新隊(duì)員.現(xiàn)從中選出 3名隊(duì)員排成 1、2、 3 號參加團(tuán)體比賽 , 則入選的 3 名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員 , 且 1、 2 號中至少有 1 名新隊(duì) 員的排法有 種.（ 以數(shù)作答 ）【解析】兩老一新時(shí) , 有 C13 C21A22 12種排法；兩新一老時(shí) , 有C12C23 A33 36 種排法 ,即共有 48 種排法.例 19 、將 5 名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的3 個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少 1 名，最多 2 名，則不同的分配方案有A 、 30 種B、90 種C解析：將 5 名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的、180種D、270 種3 個(gè)

18、班實(shí)習(xí)，每班至少 1 名，最多 2 名，則將5 名教師分成三組，一組 1 人，另兩組都是C1 C22人，有C5A22C415種方法，再將 3 組分到 3個(gè)班，共有 15 A33 90 種不同的分配方案，選 B.（七）、部分符合條件淘汰法例 20、四面體的頂點(diǎn)各棱中點(diǎn)共有 10 個(gè)點(diǎn)，在其中取 4 個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共 有 （ ）A、150 種 B 、147種 C 、144種 D 、141 種解： 10個(gè)點(diǎn)取 4個(gè)點(diǎn)共有 C140種取法，其中面 ABC內(nèi)的 6個(gè)點(diǎn)中任取 4個(gè)點(diǎn)必共面，這樣的面共有 6 個(gè)，又各棱中點(diǎn)共 6 個(gè)點(diǎn)，有四點(diǎn)共面的平面有 3 個(gè)，故符合條 件不共面的平面有C14

19、0 4C64 6 3 141 選 D說明：在選取總數(shù)中，只有一部分符合條件，可從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求。v1.0 可編輯可修改（八）、分組問題與分配問題 分組問題：均勻分組，除法處理；非均勻分組，組合處理例 21、有 9 個(gè)不同的文具盒：（1）將其平均分成三組； （2）將其分成三組，每組個(gè) 數(shù) 2， 3， 4。上述問題各有多少種不同的分法分析：（1）此題屬于分組問題：先取 3個(gè)為第一組，有 C93 種分法，再取 3 個(gè)不第 組，有C63種分法，剩下3個(gè)為第三組，有C33 種分法，由于三組之間沒有順序，故有C9CA363C3 種分法。（ 2）同（ 1），共有 C92C73C44種分法，

20、因三組個(gè)數(shù)各不相同，故不必再除以 A33。 分配問題：定額分配，組合處理；隨機(jī)分配，先組后排例 22、有 9 本不同的書：（1）分給甲 2 本，乙 3 本，丙 4 本；（ 2）分給三個(gè)人，分 別得 2 本，3本，4 本。上述問題各有多少種不同的分法（1）此題是定額分配問題，先讓甲選，有 C92 種；再讓乙選，有 C73 種；剩下的給丙， 有C44種，共有C92C73C44種不同的分法（ 2）此題是隨機(jī)分配問題：先將 9本書分成 2本， 3本，4 本共有三堆，再將三堆分給三個(gè)人，共有 C92.C73.C44.A33種不同的分法。例 23、對某種產(chǎn)品的 6 件不同正品和 4 件不同次品一一進(jìn)行測試

21、，至區(qū)分出所有次 品為止，若所有次品恰好在第 5 次測試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能 解：第 5 次必測出一次品，余下 3 件次品在前 4次被測出，從 4 件中確定最后一件 次品有 C 4種方法，前 4次中應(yīng)有 1件正品、 3 件次品，有 C6C3種，前 4次測試中的順序 有A 44種，由分步計(jì)數(shù)原理即得： C14（ C6C3）A44576。本題涉及一類重要問題： 問題中既有元素的限制， 又有排列的問題， 一般是先選元素（即 組合）后排列 .練習(xí)：1、3 名教師分配到 6 個(gè)班里，各人教不同的班級，若每人教 2 個(gè)班，有多少種分配方 法 C62C42C22 902、將 10本不同

22、的專著分成 3本，3本，3本和 1本，分別交給 4位學(xué)者閱讀，問有多少種不同的分法C130C73C43C3!4!例 24、某外商計(jì)劃在四個(gè)候選城市投資 3 個(gè)不同的項(xiàng)目 , 且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不 超過 2 個(gè), 則該外商不同的投資方案有 （ ）種 種 種 種v1.0 可編輯可修改解析：有兩種情況，一是在兩個(gè)城市分別投資 1個(gè)項(xiàng)目、 2個(gè)項(xiàng)目，此時(shí)有 C31 A42 36 ， 二是在在兩個(gè)城市分別投資 1，1，1個(gè)項(xiàng)目，此時(shí)有 A43 24， 共有C31 A42 A43 =60， 故 選 （ D）（九）、相同元素入盒問題隔板法 在排列組合中，對于將不可分辨的球裝入到可以分辨的盒子中，每盒至

23、少一個(gè)，求 方法數(shù)的問題，常用隔板法。例 25、求方程 x+y+z=10 的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。 （ 即： 10 個(gè)相同的小球分給三人，每人至 少 1 個(gè)，有多少方法 ）分析：將 10 個(gè)球排成一排，球與球之間形成 9 個(gè)空隙，將兩個(gè)隔板插入這些空隙 中（每空至多插一塊隔板） ，規(guī)定由隔板分成的左、中、右三部分的球數(shù)分別為 之值 （如圖） 則隔板與解的個(gè)數(shù)之間建立了一一對立關(guān)系， 故解的個(gè)數(shù)為 C92 36 個(gè)。實(shí)際運(yùn)用隔 板法解題時(shí)，在確定球數(shù)、如何插隔板等問題上形成了一些技巧。下面舉例說明：（1）、添加球數(shù)用隔板法例 26、求方程 x+y+z=10 的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。分析：注意到 x 、y

24、、 z 可以為零，故上題解法中的限定“每空至多插一塊隔板”就不 成立了。怎么辦呢只要添加三個(gè)球，給 x 、 y 、z 各一個(gè)球。這樣原問題就轉(zhuǎn)化為求 x+y+z=13 的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)了，故解的個(gè)數(shù)為 C122 =66 個(gè)。（2）、減少球數(shù)用隔板法例 27、將 20 個(gè)相同的小球放入編號分別為 1， 2， 3， 4 的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒 子中的球數(shù)不少于它的編號數(shù)，求放法總數(shù)。分析 1：先在編號 1，2，3，4 的四個(gè)盒子內(nèi)分別放 0，1，2，3個(gè)球，有 1種方法； 再把剩下的 14個(gè)球，分成 4組，每組至少 1 個(gè)，由例 25 知有C133 =286 種方法。分析 2：第一步先在編號 1

25、，2，3，4 的四個(gè)盒子內(nèi)分別放 1，2，3，4個(gè)球，有 1種 方法；第二步把剩下的 10 個(gè)相同的球放入編號為 1，2，3，4 的盒子里，由例 26 知有 C133 =286 種方法。（3）、先后插入用隔板法例 28、為構(gòu)建和諧社會(huì)出一份力，一文藝團(tuán)體下基層宣傳演出，準(zhǔn)備的節(jié)目表中原有4 個(gè)歌舞節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序不變，擬再添 2 個(gè)小品節(jié)目，則不同的排 列方法有多少種v1.0 可編輯可修改分析：記兩個(gè)小品節(jié)目分別為 A、B。先排 A節(jié)目。根據(jù) A 節(jié)目前后的歌舞節(jié)目數(shù)目考 慮方法數(shù)，相當(dāng)于把 4 個(gè)球分成兩堆，由例 26 知有 C51 種方法。這一步完成后就有 5個(gè)節(jié)目了。再考

26、慮需加入的 B 節(jié)目前后的節(jié)目數(shù)，同上理知有 C61 種方法。故由乘法原 理知，共有 C51C61 30 種方法。（十）、數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)） 能被 2 整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被 2 整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇 數(shù)。 能被 3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是 3 的倍數(shù)；能被 9整除的數(shù)的特征：各位 數(shù)字之和是 9 的倍數(shù)。 能被 4 整除的數(shù)的特征：末兩位是 4 的倍數(shù)。 能被 5 整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是 0 或 5。 能被 25 整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是 25，50，75。 能被 6 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是 3 的倍數(shù)的偶數(shù)。例 29、在 1,2,3,4,

27、5 這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù) 的共有A、36個(gè)B 、24個(gè)C、18 個(gè)D、6 個(gè)解：依題意，所選的三位數(shù)字有兩種情況： （1）3個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)，有 A33種方法（ 2）3個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是奇數(shù)，有 C3A 3，故共有 A3 C3A324 種方法，故選 B例 30、用數(shù)字 0，1，2，3， 4 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字 1， 2 相鄰的偶 數(shù)有 24 個(gè) .（十一）、分球入盒問題例 30、將 5個(gè)小球放到 3 個(gè)盒子中，在下列條件下，各有多少種投放方法 小球不同，盒子不同，盒子不空解：將小球分成 3 份，每份 1，1，3 或 1，2，2。再放在 3 個(gè)

28、不同的盒子中，即先分3 1 2 2堆，后分配。有 （ C5C2 + C5C3 ） ?A33（ A 22 + A 22 ） ? A 3 小球不同，盒子不同，盒子可空解： 35 種 小球不同，盒子相同，盒子不空解：只要將 5 個(gè)不同小球分成 3 份，分法為：225C 3A 223 1 2 21，1，3；1，2，2。共有 C35C21+ C25C3 =25A 22v1.0 可編輯可修改 小球不同，盒子相同，盒子可空本 題即 是 將 5 個(gè) 不 同小 球 分 成 1 份 ，2 份 ， 3 份 的 問 題 。 共 有 C55 （C54 C53） （C5C22+ C5C23） 41種A2 A 2 小球相同

29、，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 00 002，有 C42 種方法 小球相同，盒子不同，盒子可空解一：把 5 個(gè)小球及插入的 2 個(gè)隔板都設(shè)為小球（ 7 個(gè)球）。7 個(gè)球中任選兩個(gè)變?yōu)楦?板（可以相鄰）。那么 2塊隔板分成 3份的小球數(shù)對應(yīng)于 相應(yīng)的 3個(gè)不同盒子。故有 C72 =21. 解：分步插板法。 小球相同，盒子相同，盒子不空解： 5個(gè)相同的小球分成 3份即可，有 3，1，1；2，2，1。 共 2 種 小球相同，盒子相同，盒子可空解：只要將將 5個(gè)相同小球分成 1份，2份，3 份即可。分法如下： 5， 0， 0； 4 ，1，0； 3 ，2，0； 3 ，1，1； 2 ， 2， 1。

30、 例 31、有 4 個(gè)不同的小球，放入 4 個(gè)不同的盒子內(nèi)，球全部放入盒子內(nèi) （1）共有幾種放法（答： 44 ）（2）恰有 1 個(gè)空盒，有幾種放法（答： C42 A43 144）（3）恰有 1 個(gè)盒子內(nèi)有 2 個(gè)球，有幾種放法（答： 同上 C42 A43 144 ）（4）恰有 2 個(gè)盒子不放球，有幾種放法（答： C43A42 C42C42 84）（十二）、涂色問題 （1）用計(jì)數(shù)原理處理的問題，需要關(guān)注圖形的特征：多少塊多少色 （2）以涂色先后分步，以色的種類分類。例 32、某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為 6 個(gè)部分（如下圖）?，F(xiàn)要栽種 4 種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分要能栽

31、種同種顏色的花，則不同的栽 種方法有多少種法 1：按對稱區(qū)域顏色是否相同分類分析：四種不同的顏色涂在如圖所示的 6個(gè)區(qū)域，且相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色， 只能選用 4 種顏色， 要分四類：10v1.0 可編輯可修改（1）與同色、與同色，則有A44 ；2）與同色、與同色，則有A44 ；（3）與同色、與同色，則有A44 ；（4）與同色、 與同色，則有 A44 ； 5）與同色、與同色，則有A44 ；所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5 A44 =120 。法 2: 轉(zhuǎn)化法將其轉(zhuǎn)化為空間圖形如右圖，轉(zhuǎn)化為對點(diǎn)涂色。 1 號和其他 5 個(gè)區(qū)域都相鄰，其 他 5 個(gè)區(qū)域按逆時(shí)針順序 3 個(gè) 3 個(gè)相鄰，因此對這個(gè)

32、 5 棱錐的涂色問題，可轉(zhuǎn)化為 用 3 種顏色對底面 5 邊形進(jìn)行涂色。第1 步：對頂點(diǎn) 1 進(jìn)行涂色，有 C41種涂法；第2 步：用剩余的 3 種顏色對平面 5 邊形的頂點(diǎn)涂色，則必然有二組相對頂點(diǎn)同色， 有如下五種分組方式：第一種：（2，4），（3，5），6； 第二種：（2，4），（3，6），5；第三種：（2，5），（3，6），4； 第四種：（2，5），（4，6），3；第五種：（3，5），（4，6），2.每種分組方式的涂色方法有A33種，根據(jù)分類、分步計(jì)數(shù)原理有 C41 5A33 120 種涂色方法。例 33 、將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，若 只有五種顏色

33、可供使用，則不同的染色種數(shù)為 420應(yīng)該指出的是，上述所介紹的適用不同要求的各種方法并不是絕對的，對于同一問 題有時(shí)會(huì)有多種方法，這時(shí)要認(rèn)真思考和分析，靈活選取最佳方法。 （十三）、不同元素進(jìn)盒，先分堆再分配對于不同的元素放入幾個(gè)不同的盒內(nèi)，當(dāng)有的盒內(nèi)有不小于 2 個(gè)元素時(shí)，不可分 批進(jìn)入，必須先分堆再分配。例 34、 5 個(gè)老師分配到 3 個(gè)班搞活動(dòng)，每班至少一個(gè)，有幾種不同的分法1122A22v1.0 可編輯可修改解：先把 5位老師分 3堆，有兩類： 3,1,1分布有 C53種和1,2,2分布有 C5C42C2 種，再排 列到 3個(gè)班里有 A33種，故共有 （C53 C5C42C2 ） A

34、33種。A2注意：不同的老師不可分批進(jìn)入同一個(gè)班，須一次到位 （ 否則有重復(fù)計(jì)數(shù) ）。即“同 一盒內(nèi)的元素必須一次進(jìn)入”。（十四）、兩類元素問題組合選位法10級樓梯，要求 7 步走完，每步可跨一級，也可跨兩級，問有幾種不同的跨例 35、由題意知，有 4步跨單級， 3步跨兩級，所以只要在 7 步中任意選 3步跨兩級 即可。故有 C73 種跨法。法解：注意：兩類元素的排列問題涉及面很廣，應(yīng)予重視。例 36、 沿圖中的網(wǎng)格線從頂點(diǎn) A到頂點(diǎn) B ，最短的路線有幾條 解：每一種最短走法，都要走三段“ | ”線和四段“”線， 這是兩類元素不分順序的排列問題。故有 C73或 C74種走法。例 37、從 5

35、個(gè)班中選 10人組成?；@球隊(duì) （ 無任何要求 ） ，有幾種選法解：這個(gè)問題與例 12有區(qū)別，雖仍可看成 4塊“檔板”將 10個(gè)球分成 5格（構(gòu)成 5個(gè) 盒子） ，是球與檔板兩類元素不分順序的排列問題。 但某些盒子中可能沒有球， 故 4塊 “檔板”與 10個(gè)球一樣也要參與排成一列而占位置，故有 C144 種選法。（十五）、特殊元素（位置）優(yōu)先法 對于特殊元素的排列組合問題，一般先考慮特殊元素，再考慮其他元素的安排。在操作時(shí)，針對實(shí)際問題，有時(shí)“元素優(yōu)先”，有時(shí)“位置優(yōu)先”。例 38、 0,2,3,4,5 這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有幾個(gè)解法一： （ 元素優(yōu)先 ）分兩類：第一

36、類：含 0 ， 0在個(gè)位有 A 24種， 0在十位有 A12A13種；第二類：不含 0，有 A12A23種。 故共有 （A42 A 12A 13 ）+A 12A 32 30種。注：在考慮每一類時(shí)，又要優(yōu)先考慮個(gè)位。解法二： （ 位置優(yōu)先 ）分兩類：第一類： 0在個(gè)位有 A24 種；12v1.0 可編輯可修改第二類 ：0 不在個(gè)位，先從兩個(gè)偶數(shù)中選一個(gè)放個(gè)位，再選一個(gè)放百位，最后考慮十 位，有 A12A31A13 種。故共有 A 24+A 12A13A13=30例 39 、電視臺(tái)連續(xù)播放 6 個(gè)廣告，其中含 4 個(gè)不同的商業(yè)廣告和 2 個(gè)不同的公益廣告， 要求首尾必須播放公益廣告，則共有 種不同

37、的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示） .解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有 A22種；中間 4 個(gè)為不同的商業(yè)廣告有 A44種， 從而應(yīng)當(dāng)填 A 22·A4448. 從而應(yīng)填 48（十六）、“小團(tuán)體”排列，先“團(tuán)體”后整體 對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先按制約條件“組 團(tuán)”并視為一個(gè)元素再與其它元素排列。例 40 、四名男歌手與兩名女歌手聯(lián)合舉行一場演唱會(huì)，演出的出場順序要求兩名女歌 手之間有兩名男歌手，則出場方案有幾種解：先從四名男歌手中選 2人排入兩女歌手之間進(jìn)行“組團(tuán)”有 A 24A 22種，把這個(gè)“女男男女”小團(tuán)體視為 1人再與其余 2男進(jìn)行排列有 A 33 種，由乘法原理，共有2 2 3A4A2 A 3種（ 十七） 、逐步試驗(yàn)法如果題中附加條件增多 ,直接解決困難 ,用試驗(yàn)法尋找規(guī)律也是行之有效的方法例 41、將數(shù)字 1,2,3,4 填入標(biāo)號為 1,2,3,4 的四個(gè)方格內(nèi)，每個(gè)方格填一個(gè)，則每個(gè)方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有 種。 解：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為復(fù)雜，可用試驗(yàn)法逐步解決第一方格內(nèi)可填 2或3或4如填 2 ，則第二方格內(nèi)可填 1或3或4 若第二方格