數(shù)學(xué)建模入門(mén)試題極其答案.

1、1.你要在雨中從一處沿直線走到另一處，雨速是常數(shù)，方向不變。你是否走得越快，淋雨量越少呢？4. 假設(shè)在一所大學(xué)中，一位普通教授以每天一本的速度開(kāi)始從圖書(shū)館借出書(shū)。再設(shè)圖書(shū)館平均一周收回借出書(shū)的 1/10，若在充分長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，一位普通教授大約借出多少年本書(shū)？5. 一人早上 6：00 從山腳 A 上山，晚 18：00 到山頂 B；第二天，早6：00 從 B 下山，晚 18：00 到 A 。問(wèn)是否有一個(gè)時(shí)刻 t,這兩天都在這一時(shí)刻到達(dá)同一地點(diǎn)？6. 如何將一個(gè)不規(guī)則的蛋糕 I 平均分成兩部分？7. 兄妹二人沿某街分別在離家 3 公里與 2 公里處同向散步回家，家中的狗一直在二人之間來(lái)回奔跑。 已知哥

2、哥的速度為 3 公里 /小時(shí)，妹妹的速度為 2 公里 /小時(shí)，狗的速度為 5 公里 /小時(shí)。分析半小時(shí)后，狗在何處？8. 甲乙兩人約定中午 12：00 至 13：00 在市中心某地見(jiàn)面，并事先約定先到者在那等待 10 分鐘，若另一個(gè)人十分鐘內(nèi)沒(méi)有到達(dá)，先到者將離去。用圖解法計(jì)算，甲乙兩人見(jiàn)面的可能性有多大？9. 設(shè)有 n 個(gè)人參加某一宴會(huì)，已知沒(méi)有人認(rèn)識(shí)所有的人，證明：至少存在兩人他們認(rèn)識(shí)的人一樣多。10.一角度為 60 度的圓錐形漏斗裝著10 厘米高的水（如右圖），其下10cm端小孔的面積為 0.5 平方厘米，求這些水流完需要多少時(shí)間？11.假設(shè)在一個(gè)剎車(chē)交叉口，所有車(chē)輛都是由東駛上一個(gè)1/

3、100 的斜Q/Lq/x10坡，計(jì)算這種情下的剎車(chē)距離。如果汽車(chē)由西駛來(lái)，剎車(chē)距離又是多少？12.水管或煤氣管經(jīng)常需要從外部包扎以便對(duì)管道起保護(hù)作用。包扎時(shí)用很長(zhǎng)的帶子纏繞在管道外部。為了節(jié)省材料，如何進(jìn)行包扎才能使帶子全部包住管道而且?guī)ё右矝](méi)有發(fā)生重疊。1解：把人體簡(jiǎn)化為長(zhǎng)方柱，表面積之比為前：側(cè) :頂=1：a:b，選坐標(biāo)系將人的速度表示為（ v,0,0）,即人沿 x 周方向走， v0,而設(shè)語(yǔ)雨速為（ x,y,z）,行走距離為 L，則淋雨量 Q 的表達(dá)式為：Q= Q=|x-a|+a|y|+b|z|*L/v記 q=a|x|+b|z|,則q xL(1),v xvQ(v)=q xL(+1),vxv

4、在 qx和 qxqx1q/xxv0xv2.解：由于教授每天借一本書(shū)，即一周借七本書(shū)，而圖書(shū)館平均每周收回書(shū)的 1/10，設(shè)教授已借出書(shū)的冊(cè)數(shù)是時(shí)間t 的函數(shù)小 x(t)的函數(shù)，則它應(yīng)滿足（時(shí)間t 以周為單位）X(0)=0其中 初始條件表示開(kāi)始時(shí)教授借出數(shù)的冊(cè)數(shù)為 0。-t/1=701-et10解該線性方程初始問(wèn)題得 X(t)由于當(dāng) t時(shí)，其極限值為 70,故在充分長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，一位普通教授大約已借出70本書(shū)。3.解：我們從山腳 A 點(diǎn)為始點(diǎn)記路程，設(shè)從 A 到B 路程函數(shù)為 f（t）,即 t 時(shí)刻走的距離為 f（t）;同樣設(shè)從B 點(diǎn)到 A 點(diǎn)的路程為函數(shù)g（t）。由題意有f(8)=0,f(18)

5、=|AB|，g（8）=|AB|，g（18）=0；令 h（t）= （ft）-g（t），則有 h(8)= f(8) -（g8）=- |AB|0又注意 f（t），g（t）都是時(shí)刻 t 的連續(xù)函數(shù)，因此 h（t）也是時(shí)刻 t 的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)定理，一定存在某時(shí)刻t。使 h（t。）=0，即 f（t。）=g（t。）所以存在一個(gè)時(shí)刻t,這兩天都在這一時(shí)刻到達(dá)同一地點(diǎn)。4.解：設(shè) I 為平面上任一封閉曲線，p 為平面上一點(diǎn)（不妨設(shè)p 在 I內(nèi)），則存在已過(guò)點(diǎn)p 的直線，將 I 所圍的面積二等分，如下圖lS2pS1a0設(shè) l 為過(guò)點(diǎn) p 的一條直線，若 S1= S1，則得證，否則設(shè) S1 S2,l

6、與 x 軸夾角為 a，讓 l 逆時(shí)針繞 p 旋轉(zhuǎn) S2 ，S2，則 S1，S2 隨 a 的變化連續(xù)的變化，記其面積為 S1a），S2（a）,則記 S1（a）= S1, S2（a）= S2,f(a+)0, 且 f （a）連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在（0，）存在使f （）=0，a=對(duì)應(yīng)的直線即為所求。5解：哥哥與妹妹的速度分別為3 公里 / 小時(shí)及 2 公里 / 小時(shí)，因此一小時(shí)后，哥哥與妹妹都已到家，而狗一直在二者之間，因此狗已到家。6解：設(shè)甲乙兩人分別在12 點(diǎn) x 分及 y 分等可能到達(dá)到達(dá)約定地點(diǎn)，顯然 0x60,0 y60，若兩人相遇則有 |x-y|10，這是一個(gè)幾何概率問(wèn)題，其中樣

7、本空間為A=（x，y）| x60,0 y60它構(gòu)成了空間直角標(biāo)系中的正方形，相遇空間為y60ag1006010xG=（x，y）, |x-y|10其圖形見(jiàn)上圖陰影部分，Sa，Sg 分別表示正方形、陰影部分的面積，從而相遇的概率為P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)0.3067. 證明：設(shè)第 i 個(gè)人認(rèn)識(shí)的人為 s（ i ），則 s（i ）0.1.2.3N-1設(shè)沒(méi)有兩個(gè)人認(rèn)識(shí)的人一樣多，則s（1），s（2）， 互不相等，則 s（i ）取遍集合 0 、1、2N-1 中的一個(gè)值，即至少存在某兩個(gè)人 k1，k2 使 s（k1）=N-1，s（k2）=0，而對(duì)第 ki 個(gè)人

8、，由于（ki ）=N-I ，故他必然認(rèn)識(shí)第k2 人，故 s（k）至少為 1，與 s（k2）=0 矛盾，得證。8解：由水力學(xué)定律可知Q=dv/dt=0.62S2gh ，其中 0.62 為流量系數(shù) S 為空口橫截面， g 為重力加速度， h 為從從空口到水面的高度，故有 dv=0.312gh dt ，另一方面，在 t 時(shí)間內(nèi)，水面由h 降至 h+dh（dh0）, 則僅有dv=- r*r*dh=- /3*h*h*dh,所以有0.31 2gh dt=- /3*h*h*dh，再由 h(0)=10, 聯(lián)立求得其解為t=( /3)*(2/5)*1/(0.31(2.510-2.5h,當(dāng)水流完時(shí)，2gh=0解得

9、 t=2 /(15*0.31 2g )*2.5109解：設(shè) t=0 時(shí)為開(kāi)始剎車(chē)的時(shí)刻， x（t ）為從 t=0到 t 時(shí)刻所幸的距離，由剎車(chē)時(shí)所受的制動(dòng)力為-uW 100-W* 1100* 1001，其中 W為車(chē)重，故 x（t ）滿100* 100 1足 w *d （dt/dt）/dt=-uW-W* 1100* 100 1g又由 x（0）=0，dx/dt| t=0=v。解得 x（t ）=-1/2 （ 100ug100* 1001+ g 100* 1001 ） t2 +v。*t故制動(dòng)時(shí)間為t b=v。/( 100ug+ g 100* 100 1 )100* 100 1因此剎車(chē)距離為x(t )=1/2* v。 /(100ug+ g 100* 1001 )b100* 1001同 理 可 得 汽 車(chē) 由 西 駛 來(lái) 時(shí) ， 剎 車(chē) 距 離 為1/2*v 。/( 100ug+ g 100* 100 1 )100* 100110. 解：假設(shè)管道是直的圓的、粗細(xì)