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文檔簡介

1、圖論知識及運(yùn)用舉例 1概論 圖論中的“圖”是指某類具體事物和這些事物之間的聯(lián)系。如果我們用點(diǎn)表 示這些具體事物,用連接兩點(diǎn)的線段(直的或曲的)表示兩個(gè)事物的特定的聯(lián)系,就得到了描述這個(gè)“圖”的幾何形象。 圖論為任何一個(gè)包含了一種二元關(guān)系的離散系統(tǒng)提供了一個(gè)數(shù)學(xué)模型,借助于圖論的概念、理論和方法,可以對該模型求 圖是運(yùn)籌學(xué)(OperationsResearch中的一個(gè)經(jīng)典和重要的分支,所研究的問題涉及經(jīng)濟(jì)管理、工業(yè)工程、交通運(yùn)輸、計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息技術(shù)、通訊與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等諸多領(lǐng)域。下面將要討論最短路問題、最大流問題、最小費(fèi)用流問題和匹配問題等。 2圖的基本概念 2.1 無向圖 一個(gè)無向圖(undir

2、ectedgraph)G 是由一個(gè)非空有限集合 V(G)和 V(G)中某些 元素的無序?qū)?E(G)構(gòu)成的二元組,記為 G=(V(G),E(G)。其中 V(G)=v1,v2,,Vn稱為圖 G 的頂點(diǎn)集(vertexset)或節(jié)點(diǎn)集(nodeset,V(G) 中的每一個(gè)元素M(i=1,2,,n)稱為該圖的一個(gè)頂點(diǎn)(vertex)或節(jié)點(diǎn)(node); E(G)=e,e2,,嘴稱為圖 G 的邊集(edgeset),E(G)中的每一個(gè)元素 Q(即 V(G)中某兩個(gè)元素Vi,Vj的無序?qū)?記為ek=(Vi,Vj)或ek=VM=VjM (k=1,2,,m),被稱為該圖的一條從va4的邊(edge)。 當(dāng)

3、邊4=VM時(shí),稱M,vj為邊Q的端點(diǎn),并稱vj與vi相鄰(adjacent);邊4 稱為與頂點(diǎn)vi,vj關(guān)聯(lián)(incident)。如果某兩條邊至少有一個(gè)公共端點(diǎn),則稱這兩 條邊在圖 G 中相鄰。 邊上賦權(quán)的無向圖稱為賦權(quán)無向圖或無向網(wǎng)絡(luò)(undirectednetwork)。我們 對圖和網(wǎng)絡(luò)不作嚴(yán)格區(qū)分,因?yàn)槿魏螆D總是可以賦權(quán)的。 一個(gè)圖稱為有限圖,如果它的頂點(diǎn)集和邊集都有限。圖 G 的頂點(diǎn)數(shù)用符號 |V|或(G)表示,邊數(shù)用|E|或 aG)表示。 當(dāng)討論的圖只有一個(gè)時(shí),總是用 G 來表示這個(gè)圖。從而在圖論符號中我們常 略去字母 G,例如,分別用 V,E,v和名代替 V(G),E(G),v(G

4、)和G)。 端點(diǎn)重合為一點(diǎn)的邊稱為環(huán)(loop)。 一個(gè)圖稱為簡單圖(simplegraph),如果它既沒有環(huán)也沒有兩條邊連接同一對頂點(diǎn)。 2.2 有向圖 定義一個(gè)有向圖(directedgraph或digraph)G 是由一個(gè)非空有限集合 V 和 V 中某些元素的有序?qū)?A構(gòu)成的二元組,記為 G=(V,A)。其中 V=v1,V2,,Vn稱為圖 G 的頂點(diǎn)集或節(jié)點(diǎn)集,V 中的每一個(gè)元素 Vi(i=1,2,n)稱為該圖的一個(gè)頂點(diǎn)或節(jié)點(diǎn);A=a1,a2,,am稱為圖 G 的弧集 (arcset),A 中的每一個(gè)元素ak(即 V 中某兩個(gè)元素vi,vj的有序?qū)?記為ak=(M,Vj)或ak=MV

5、j(k=1,2,n),被稱為該圖的一條從Vi到Vj的弧(arc)。 當(dāng)弧ak=vM時(shí),稱Vi為ak的尾(tail),Vj為ak的頭(head),并稱弧ak為M 的出弧(outgoingarc),為vj的入弧(incomingarc)。 對應(yīng)于每個(gè)有向圖 D,可以在相同頂點(diǎn)集上作一個(gè)圖條弧,G 有一條有相同端點(diǎn)的邊與之相對應(yīng)。這個(gè)圖稱為給定任意圖G,對于它的每個(gè)邊,給其端點(diǎn)指定一個(gè)順序,此得到一個(gè)有向圖,這樣的有向圖稱為 G 的一個(gè)定向圖。 以下若未指明“有向圖”三字,“圖”字皆指無向圖。 2.3 完全圖、二分圖 每一對不同的頂點(diǎn)都有一條邊相連的簡單圖稱為完全圖個(gè)頂點(diǎn)的完全圖記為( 若 V(G)

6、=XUY,XY=,|X|Y|#0(這里|X|表示集合X中的元素個(gè)數(shù)),X中無相鄰頂點(diǎn)對,Y中亦然, 則稱 G為二分圖(bipartitegraph);特別地, 若寸 xWX,VyWY,則 xyWE(G),則稱 G 為完全二分圖,記成K兇,Y1。 2.4 子圖 圖H叫做圖 G 的子圖(subgraph),記作 H=G,如果 V(H)=V(G), E(H)cE(G)0若H是 G 的子圖,則 G 稱為H的母圖。 G 的支撐子圖(spanningsubgraph又成生成子圖)是指滿足 V(H)=V(G)的 子圖H。 2.5 頂點(diǎn)的度 設(shè) vWV(G),G 中與v關(guān)聯(lián)的邊數(shù)(每個(gè)環(huán)算作兩條邊)稱為v的度

7、(degree) 記作 d(v)。若 d(v)是奇數(shù),稱v是奇頂點(diǎn)(oddpoint);d(v)是偶數(shù),稱v是偶頂 G,使得對于D的每D的基礎(chǔ)圖。反之,從而確定一條弧,由 (completegraphbn 點(diǎn)(evenpoint)。關(guān)于頂點(diǎn)的度,我們有如下結(jié)果: 、d(v)=2;v.V (ii)任意一個(gè)圖的奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)。 2.6 圖與網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化研究的是網(wǎng)絡(luò)上的各種優(yōu)化模型與算法.為了在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò) 優(yōu)化的算法,首先我們必須有一種方法(即數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu))在計(jì)算機(jī)上來描述圖與網(wǎng)絡(luò)。一般來說,算法的好壞與網(wǎng)絡(luò)的具體表示方法,以及中間結(jié)果的操作方案是 有關(guān)系的。這里我們介紹計(jì)算機(jī)上用

8、來描述圖與網(wǎng)絡(luò)的5種常用表示方法:鄰接 矩陣表示法、關(guān)聯(lián)矩陣表示法、弧表表示法、鄰接表表示法和星形表示法。在下 面數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的討論中,我們首先假設(shè) G=(V,A)是一個(gè)簡單有向圖, |V|=n,|A|=m,并假設(shè) V 中的頂點(diǎn)用自然數(shù) 1,2,,n表示或編號,A中的弧用自 然數(shù) 1,2,,m 表示或編號。對于有多重邊或無向網(wǎng)絡(luò)的情況,我們只是在討論完 簡單有向圖的表示方法之后,給出一些說明。 (i)鄰接矩陣表示法 鄰接矩陣表示法是將圖以鄰接矩陣(adjacencymatrix)的形式存儲在計(jì)算機(jī) 中。圖 G=(V,A)的鄰接矩陣是如下定義的:C 是一個(gè)nn的0-1 矩陣,即 C=(Gj)nnW0

9、,1n Z(i,j)WA,Gi=ja(i,j)更A. 也就是說,如果兩節(jié)點(diǎn)之間有一條弧,則鄰接矩陣中對應(yīng)的元素為1;否則 為0??梢钥闯?,這種表示法非常簡單、直接。但是,在鄰接矩陣的所有 n2個(gè)元 素中,只有m個(gè)為非零元。如果網(wǎng)絡(luò)比較稀疏,這種表示法浪費(fèi)大量的存儲空間,從而增加了在網(wǎng)絡(luò)中查找弧的時(shí)間。 (ii)關(guān)聯(lián)矩陣表示法 關(guān)聯(lián)矩陣表示法是將圖以關(guān)聯(lián)矩陣(incidencematrix)的形式存儲在計(jì)算機(jī) 中.圖 G=(V,A)的關(guān)聯(lián)矩陣B是如下定義的:B是一個(gè)nm的矩陣,即 8=(為).式1,0,1nm, 1,jV,k=(i,j)-A, 以=1,司 WV,k=(j,i)wA, 0,其它.

10、也就是說,在關(guān)聯(lián)矩陣中,每行對應(yīng)于圖的一個(gè)節(jié)點(diǎn),每列對應(yīng)于圖的一條弧。 如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)是一條弧的起點(diǎn),則關(guān)聯(lián)矩陣中對應(yīng)的元素為1;如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)是 一條弧的終點(diǎn),則關(guān)聯(lián)矩陣中對應(yīng)的元素為1;如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)與一條弧不關(guān)聯(lián),則關(guān)聯(lián)矩陣中對應(yīng)的元素為0。 對于簡單圖, 關(guān)聯(lián)矩陣每列只含有兩個(gè)非零元(一個(gè)十1,一個(gè)_1)??梢钥闯?,這種表示法也非常簡單、直接。 止匕外,還有鄰接表表示法,弧表示法,星形表示法等。 2.7軌與連通 W7001Vle2ekvk,其中ewE(G),1EiEk,VjwV(G),0jk,e與 Vi,Vi關(guān)聯(lián),稱 W 是圖 G 的一條道路(walk),k為路長,頂點(diǎn)v和Vk分別稱為 W

11、的起點(diǎn)和終點(diǎn),而V1,V2,,V稱為它的內(nèi)部頂點(diǎn)。 若道路 W 的邊互不相同,則 W 稱為跡(trail)。若道路 W 的頂點(diǎn)互不相同,則 W 稱為軌(path)o 稱一條道路是閉的,如果它有正的長且起點(diǎn)和終點(diǎn)相同。起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的軌叫做圈(cycle) 若圖 G 的兩個(gè)頂點(diǎn)u,V間存在道路,則稱u和V連通(connected)u,V間的最 短軌的長叫做u,v間的距離。記作 d(u,v)0若圖 G 的任二頂點(diǎn)均連通,則稱 G 是 連通圖。 顯然有: (i)圖P是一條軌的充要條件是P是連通的,且有兩個(gè)一度的頂點(diǎn),其余頂 點(diǎn)的度為2; (ii)圖 C 是一個(gè)圈的充要條件是 C 是各頂點(diǎn)的度均為2的

12、連通圖。 3應(yīng)用一最短路問題 兩個(gè)指定頂點(diǎn)之間的最短路徑 問題如下:給出了一個(gè)連接若干個(gè)城鎮(zhèn)的鐵路網(wǎng)絡(luò),在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)指定 城鎮(zhèn)間,找一條最短鐵路線。 以各城鎮(zhèn)為圖 G 的頂點(diǎn),兩城鎮(zhèn)間的直通鐵路為圖 G 相應(yīng)兩頂點(diǎn)間的邊, 得圖 G。對 G 的每一邊 e,賦以一個(gè)實(shí)數(shù) w(e)直通鐵路的長度,稱為e的權(quán), 得到賦權(quán)圖 GoG 的子圖的權(quán)是指子圖的各邊的權(quán)和。問題就是求賦權(quán)圖 G 中指定的兩個(gè)頂點(diǎn)u,V0間的具最小權(quán)的軌。這條軌叫做u,V0間的最短路,它的權(quán) 叫做u0,V0間的距離,亦記作d(u0,v。)。 求最短路已有成熟的算法:迪克斯特拉(Dijkstra)算法,其基本思想是按 距u。從

13、近到遠(yuǎn)為順序,依次求得u。到 G 的各頂點(diǎn)的最短路和距離,直至V0(或 直至 G 的所有頂點(diǎn)),算法結(jié)束。為避免重復(fù)并保留每一步的計(jì)算信息,采用了標(biāo)號算法。下面是該算法。 (i)令l(u0)=0,對vu0,令 l(v)=8,S0=u0,i=0 (ii)對每個(gè)vwS(S=VS),用 minl(v),l(u)-w(uv)u.Si 代替 l(v)。計(jì)算 minl(v),把達(dá)到這個(gè)最小值的一個(gè)頂點(diǎn)記為 u 卡,令v.S S卅=SUUiQ。 .若 i=|V|-1,停止;若 i|V|-1,用 i+1 代替 i,轉(zhuǎn)(ii)。 算法結(jié)束時(shí),從小到各頂點(diǎn)v的距離由v的最后一次的標(biāo)號 l(v)給出。在v進(jìn) 入Si

14、之前的標(biāo)號 l(v)叫T標(biāo)號,v進(jìn)入S時(shí)的標(biāo)號 l(v)叫P標(biāo)號。算法就是不斷修改各項(xiàng)點(diǎn)的T標(biāo)號,直至獲得P標(biāo)號。若在算法運(yùn)行過程中,將每一頂點(diǎn)獲得P標(biāo)號所由來的邊在圖上標(biāo)明,則算法結(jié)束時(shí),Uo至各項(xiàng)點(diǎn)的最短路也在圖 上標(biāo)本出來了。 例1某公司在六個(gè)城市c1,c2,,c6中有分公司,從到9的直接航程票價(jià) 記在下述矩陣的(i,j)位置上。(g 表示無直接航路),請幫助該公司設(shè)計(jì)一張城 市G到其它城市間的票價(jià)最便宜的路線圖。 一0 50 O0 40 25 10 50 0 15 20 od 25 00 15 0 10 20 00 40 20 10 0 10 25 25 00 20 10 0 55 -

15、10 25 O0 25 55 0_ 用矩陣an殉(n為頂點(diǎn)個(gè)數(shù))存放各邊權(quán)的鄰接矩陣,行向量 pb、index1、 index2、d 分別用來存放P標(biāo)號信息、標(biāo)號頂點(diǎn)順序、標(biāo)號頂點(diǎn)索引、最短通路的值。其中分量 1當(dāng)?shù)趇頂點(diǎn)已標(biāo)號 pb=; 0當(dāng)?shù)趇頂點(diǎn)未標(biāo)號 index?存放始點(diǎn)到第 i點(diǎn)最短通路中第 i頂點(diǎn)前一頂點(diǎn)的序號; d(i)存放由始點(diǎn)到第 i點(diǎn)最短通路的值。 求第一個(gè)城市到其它城市的最短路徑的Matlab程序如下: clear; clc; M=10000; a(1,:)=0,50,M,40,25,10; a(2,:)=zeros(1,2),15,20,M,25; a(3,:)=zer

16、os(1,3),10,20,M; a(4,:)=zeros(1,4),10,25; a(5,:)=zeros(1,5),55; a(6,:)=zeros(1,6); a=a+a; pb(1:length(a)=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a); d(1:length(a)=M;d(1)=0;temp=1; whilesum(pb)=2 index=index(1); end index2(temp)=index; end d,index1,index2 每對頂點(diǎn)之間的最短路徑 計(jì)算賦權(quán)圖中各對頂點(diǎn)之間最短路徑,顯然可以調(diào)用Dijkstra算法

17、。具體方法是:每次以不同的頂點(diǎn)作為起點(diǎn), 用Dijkstra算法求出從該起點(diǎn)到其余頂點(diǎn)的最短路徑, 反復(fù)執(zhí)行n次這樣的操作,就可得到從每一個(gè)頂點(diǎn)到其它頂點(diǎn)的最短 路徑。這種算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n3)。第二種解決這一問題的方法是由FloydRW提出的算法,稱之為Floyd算法。 假設(shè)圖 G 權(quán)的鄰接矩陣為A, a11a2a1n a21a22a2n A0=: _an1an2ann_ 來存放各邊長度,其中: aH=0i=1,2,n; a。=gi,j之間沒有邊,在程序中以各邊都不可能達(dá)到的充分大的數(shù)代 a。=WjWj是 i,j之間邊的長度,i,j=1,2n。 對于無向圖,A是對稱矩陣,aj=2/。

18、Floyd算法的基本思想是:遞推產(chǎn)生一個(gè)矩陣序列A,A,,人,其中 Ak(i,j)表示從頂點(diǎn)Vi到頂點(diǎn)Vj的路徑上所經(jīng)過的頂點(diǎn)序號不大于 k的最短路徑 長度。 計(jì)算時(shí)用迭代公式: Ak(i,j)=min(Ak(i,j)A(i,k)A(k,j) k是迭代次數(shù),i,j,k=1,2,,n。 最后,當(dāng) k=n時(shí),人即是各頂點(diǎn)之間的最短通路值。 例2最短路問題(SPPshortestpathproblem 一名貨柜車司機(jī)奉命在最短的時(shí)間內(nèi)將一車貨物從甲地運(yùn)往乙地。從甲地到乙地 的公路網(wǎng)縱橫交錯(cuò),因此有多種行車路線,這名司機(jī)應(yīng)選擇哪條線路呢?假設(shè)貨柜車的運(yùn)行速度是恒定的,那么這一問題相當(dāng)于需要找到一條從甲

19、地到乙地的最短路。 Floyd算法的Matlab程序如下: clear; clc; M=10000; a(1,:)=0,50,M,40,25,10; a(2,:)=zeros(1,2),15,20,M,25; a(3,:)=zeros(1,3),10,20,M; a(4,:)=zeros(1,4),10,25; a(5,:)=zeros(1,5),55; a(6,:)=zeros(1,6); b=a+a;path=zeros(length(b); fork=1:6 fori=1:6 forj=1:6 ifb(i,j)b(i,k)+b(k,j) b(i,j)=b(i,k)+b(k,j); pat

20、h(i,j)=k; end end end end b,path 4樹 基本概念 連通的無圈圖叫做樹, 記之為 To若圖 G 滿足 V(G)=V(T),E(T)uE(G),則稱T是 G 的生成樹。圖 G 連通的充分必要條件為 G 有生成樹。一個(gè)連通圖的生成樹的個(gè)數(shù)很多,用E(G)表示 G 的生成樹的個(gè)數(shù),則有公式 公式(Caylay)i(Kn)=nn/。 公式.(G)=.(Ge)(Ge)。 其中 Ge 表示從 G 上刪除邊 e,G.e 表示把e的長度收縮為零得到的圖。 應(yīng)用一連線問題 欲修筑連接n個(gè)城市的鐵路, 已知 i城與 j城之間的鐵路造價(jià)為Cj,設(shè)計(jì)一個(gè)線路圖,使總造價(jià)最低。連線問題的數(shù)

21、學(xué)模型是在連通賦權(quán)圖上求權(quán)最小的生成樹。賦權(quán)圖的具有最小權(quán)的生成樹叫做最小生成樹。 構(gòu)造最小生成樹的兩種常用算法:prim算法和Kruskal算法。 這里重點(diǎn)介紹prim算法。 設(shè)置兩個(gè)集合P和 Q,其中P用于存放 G 的最小生成樹中的頂點(diǎn),集合 Q 存放 G 的最小生成樹中的邊。 令集合P的初值為P=必(假設(shè)構(gòu)造最小生成樹時(shí), 從頂點(diǎn)v1出發(fā)),集合Q的初值為Q=60prim算法的思想是,從所有peP,vEV-P的邊中,選取具有最小權(quán)值的邊 pv,將頂點(diǎn)v加入集合P中,將邊 pv加入集合 Q 中,如此不斷重復(fù),直到 P=V 時(shí),最小生成樹構(gòu)造完畢,這時(shí)集合 Q 中包含了最小生成樹的所有邊。

22、prim算法如下: P=vj,Q=中; pv=minw(pv,pP,vV-P P=Pv Q=Qpv end 例3用prim算法求右圖的最小生成樹。 我們用result3M的第一、二、三行分別表示生成樹邊的起點(diǎn)、終點(diǎn)、權(quán)集合 Matlab程序如下: clc;clear; M=1000; (ii)whileP=V a(1,2)=50;a(1,3)=60; a(2,4)=65;a(2,5)=40; a(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50;a(4,6)=30;a(4,7)=42; a(5,6)=70; a=a;zeros(2,7); a=a+a;a(find(a=0)=M; re

23、sult=;p=1;tb=2:length(a); whilelength(result)=length(a)-1 temp=a(p,tb);temp=temp(:); d=min(temp); jb,kb=find(a(p,tb)=d); j=p(jb(1);k=tb(kb(1); result=result,j;k;d;p=p,k;tb(find(tb=k)=; end result Euler圖和Hamilton圖 基本概念 定義經(jīng)過 G 的每條邊的跡叫做 G 的Euler跡;閉的Euler跡叫做Euler回路或E回路;含Euler回路的圖叫做Euler 直觀地講,Euler圖就是從一頂

24、點(diǎn)出發(fā)每邊恰通過一次能回到出發(fā)點(diǎn)的那種圖,即不重復(fù)地行遍所有的邊再回到出發(fā)點(diǎn)。 定理(i)G 是Euler圖的充分必要條件是 G 連通且每頂點(diǎn)皆偶次。 d G 是Euler圖的充分必要條件是 G 連通且 G=UCi,G是圈, i1 E(C”E(Cj)=G(ij)。 G 中有Euler跡的充要條件是 G 連通且至多有兩個(gè)奇次點(diǎn)。 定義包含 G 的每個(gè)頂點(diǎn)的軌叫做Hamilton(哈密頓)軌;閉的Hamilton軌叫做Hamilton圈或H圈;含Hamilton圈的圖叫做Hamilton圖。 直觀地講,Hamilton圖就是從一頂點(diǎn)出發(fā)每頂點(diǎn)恰通過一次能回到出發(fā)點(diǎn)的那種圖,即不重復(fù)地行遍所有的頂點(diǎn)再回到出發(fā)點(diǎn)。 6.2Euler回路的Fleury算法 1921年,F(xiàn)leury給出下面的求Euler回路的算法。 Fleury算法: 10Vv0eV(G),令亞0=v0O 2假設(shè)跡WieM已經(jīng)選定,那么按下述方法從E-s,,e中選 取邊ei書: e.和M相關(guān)聯(lián); (ii)除非沒有別的邊可選擇,否則e+不是Gi=G-e:,e的割邊(cut ed

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